「集合・位相入門」輪読会★2

113：たま </b><font color=#FF0000>（RT2HgTis）</font><b>：2005/05/01(日) 03:05:23: あっ、文字化けた。訂正してもっかいはります。

B)順序数の大小

順序数に順序を入れることを考えます。
μ、νを二つの順序数とし、A、BをordA=μ、ordB=νでなるような整列集合とすれば、
整列集合の比較定理(http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/929)より
次の３つの場合のいずれか１つしかも１つだけが成り立ちます。
　　(1)A、Bは順序同型である。
　　(2)AはBのある切片と順序同型である。
　　(3)BはAのある切片と順序同型である。
(1)の場合、定義よりμ=νです。
そこで、(2)の場合μ＜ν、(3)の場合ν＜νと定義します。（注１）
通常と同じようにμ＜ν又はμ=νであることをμ≦νと書くことにすれば、
≦は明らかに順序数の間の全順序となります。

注１.well-definedであることの証明
　ordA=ordA'=μ、ordB=ordB'=νとすると、A～A'、B～B'（順序同型）
　AはBのある切片と順序同型であるとすると、
　∃b∈B A～B<b>
　f：B→B’；順序同型写像とすると
　A'～A～B<b>～B'<f(b)>となるので、
　μ＜νの定義はA、Bのとり方によらない。
　BがAのある切片と順序同型である場合も同様。　　//

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