「集合・位相入門」輪読会★2

68：たま </b><font color=#FF0000>（RT2HgTis）</font><b>：2005/03/29(火) 23:13:52: (注１)
反射率
(W,O)=(W,O)より、(W,O)ρ(W,O)
反対称律
(W,O)ρ(W',O')、(W',O')ρ(W,O)とすると、
(W,O)ρ(W',O')よりW⊂W'、(W',O')ρ(W,O)よりW'⊂Wなので、W=W'
よって、(W,O)が(W',O')の切片となることはない。
したがって、(W,O)ρ(W',O')より、(W,O)=(W',O')
推移律
(W,O)ρ(W',O')、(W',O')ρ(W",O")とすると
∃a∈W,(W,O)=(W',O')<a>　かつ　∃b∈W',(W',O')=(W",O")<b>より
(W,O)=(W',O')<a>=((W",O")<b>)<a>=(W",O")<b>となり
(W,O)ρ(W",O")

(注２)
(W^*,O^*)がMにおけるNの上限となることを示す。
性質(1),(2)より(W^*,O^*)はMにおけるNの上界である。
(W^#,O^#)をNの一つの上界とすると∀(W,O)∈N,(W,O)ρ(W^#,O^#)
ゆえに、∀(W,O)∈N,W⊂W^#となるので∪W=W^*⊂W^#
あとは、W^*上で(W^*,O^*)と(W^#,O^#)の順序が一致することを示せばよい。
a,b∈W^*、aO^*bとすると、∃(W,O)∈N　a,b∈WかつaOb　であり、
しかも(W,O)ρ(W^#,O^#)であるので、aO^#bである。
よって、W^*上で(W^*,O^*)と(W^#,O^#)の順序が一致する。
以上より、(W^*,O^*)はMにおけるNの上限となる。

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