「集合・位相入門」輪読会★2

31：裏画像収集家 </b><font color=#FF0000>（ggGgggQQ）</font><b>：2005/03/19(土) 12:43:39: [(a)⇒(b)の証明]
(a)　Cを集合Xの部分集合に関する有限的な条件とし、
　Cを満たすようなY⊂Xが少なくとも1つ存在するとする。
　そのときCを満たすXの（包含関係の意味で）極大な部分集合が存在する。（Tukey）
を仮定する。
いま、性質C_0: 「順序集合Xの部分集合が全順序集合である」　を考える。
「全順序集合である」とはすなわち「任意の2元が比較可能である」ということなので
Xの部分集合YがC_0を満たすこととYの有限部分集合がC_0を満たすことは同値である。
ゆえに性質C_0は有限的である。
また、Xから適当に選んだ元の一つをx_0とすれば、Xの部分集合{x_0}は性質C_0を満たす。

以上よりC_0は(a)のCとしての条件をすべて満たしているから(a)をC_0に適用できる。
これよりただちに
(b)　任意の順序集合は（包含関係の意味で）極大な全順序部分集合を持つ。（Kuratowski）
が得られる。//

新着レスの表示

※書き込む際の注意事項はこちら

※画像アップローダーはこちら

（画像を表示できるのは「画像リンクのサムネイル表示」がオンの掲示板に限ります）

掲示板管理者へ連絡無料レンタル掲示板