「集合・位相入門」輪読会★2

114：たま </b><font color=#FF0000>（RT2HgTis）</font><b>：2005/05/01(日) 03:06:50: 有限順序数の間では、いま定義した順序≦が自然数または０の間の通常の順序と一致します。
n個の元からなる有限整列集合はどれも整列集合{1,2,3,・・・,n}と順序同型であること(>>99)とかを鑑みれば、
これは明らかですね。
また、任意の無限整列集合はNと順序同型であるか、またはNと順序同型な切片を含むことが示されます。(後述）
従って、任意の超限順序数μに対してω≦μとなります。
これは、ωが'最小'の超限順序数であることを意味します。

補足.
任意の無限整列集合はNと順序同型であるか、またはNと順序同型な切片を含むことを示せ。

証明
　Aを任意の無限順序集合であるとする。
　整列集合の比較定理より
　　(1)A、Nは順序同型である。
　　(2)AはNのある切片と順序同型である。
　　(3)NはAのある切片と順序同型である。
　のうちいずれか１つしかも１つだけが成り立つ。
　もし、AがNのある切片と順序同型だったとすると、
　∃n∈N A～N<n>となるが、N<n>は有限集合であり、
　これは、Aが無限順序集合であることに矛盾。　　//

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