「集合・位相入門」輪読会★2

81：たま(☆1) </b><font color=#FF0000>（RT2HgTis）</font><b>：2005/03/30(水) 22:13:04: 再開。

さて、最後に、整列定理および整列集合の比較定理を用いれば、
濃度の比較可能定理(テキストではP.69の末尾の注意参照)が容易に導かれることを示します。
(スレではhttp://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/766)

定理８(濃度の比較定理)
　任意の２つの濃度は比較可能である。
　すなわち、m,nを任意の濃度とすれば、m≦nまたはn≦mのいずれかが成り立つ

証明
　A,BをそれぞれcardA=m,cardB=nであるような集合とする。
　整列定理(>>66)によって、A,Bにそれぞれ適当な順序≦_A,≦_Bを導入して、
　(A,≦_A),(B,≦_B)を整列集合とすることができる。
　さらに、整列集合の比較定理(http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/929)より
　次の２つ場合のいずれか片方が必ず成り立つ。
　　(1)(A,≦_A)が(B,≦_B)またはその切片と順序同型になる。
　　(2)(B,≦_B)が(A,≦_A)またはその切片と順序同型になる。
　(1)の場合、AがBと対等になるか、もしくは、Bのある部分集合
　(この場合、特に(B,≦_B)のある切片)と対等になるので、
　m≦nが成り立つ。
　(2)の場合、BがAと対等になるか、もしくは、Aのある部分集合
　(この場合、特に(A,≦_A)のある切片)と対等になるので、
　n≦mが成り立つ。　　//

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