「集合・位相入門」輪読会★2

115：たま </b><font color=#FF0000>（RT2HgTis）</font><b>：2005/05/01(日) 03:11:02: さっき定義した≦によって、任意の順序数からなる集合は全順序集合をなしますが、
さらに詳しく、整列集合をなすことが証明されます。
そのことを証明するために、１つ補題を示しておきます。

【補題】
　μを１つの順序数とし、ν＜μであるような順序数ν全体の集合をS_μとすれば
　S_μは整列集合であって、しかもordS_μ=μとなる。
　
【証明】
　AをordA=μであるような集合とする。
　aをAの任意の元とするとA<a>～A<a>なので、定義よりordA<a>＜ordA=μ
　故に、∀a∈A ordA<a>∈S_μ
　逆に、ν∈S_μとすると、∃a∈A ordA<a>=μ
　しかも、§２の補題３(http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/916)より
　a≠a'ならばA<a>とA<a'>は順序同型でないので、このaはνに対して一意的に定まる。
　従って、Aの各元aに対してordA<a>=νを対応させる写像はAからS_νへの全単射である。
　しかも、この写像は順序同型写像になる。
　実際、a＜a'ならばA<a>～(A<a'>)<a>よりordA＜ordA'であり、
　ordA<a>＜ordA<a'>ならば∃a''∈A<a'> A<a>～(A<a'>)<a''>=A<a''>よりa=a''であり、
　a=a''∈A<a'>よりa＜a'となる。
　従って、A～S_μ
　故に、S_μは整列集合であり、S_μ=μ　　//

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