「集合・位相入門」輪読会★2

38：裏画像収集家 </b><font color=#FF0000>（ggGgggQQ）</font><b>：2005/03/21(月) 01:42:31: [(c)⇒定理５の証明]
(c)　順序集合Aにおいて、その任意の空でない全順序部分集合が上に有界ならばAは極大元を持つ。
を仮定する。
いまAを帰納的な集合とすれば
定義よりAの任意の空でない全部分集合がAの中に上限を有するので
すなわち(c)の仮定を満たす。
これよりAは極大元を持つことになる。

以上より
定理５　帰納的な順序集合は少なくとも1つ極大元を持つ。
が示された。//

[(d)⇒(a)の証明]
(d)　Мを集合系とし、その（⊂に関する）任意の全順序部分集合Нに対して、
　Нのすべての元を部分集合として含むМの元が存在するとする。
　そのときМの中には極大な集合が存在する。
を仮定する。
上の[定理５⇒(a)の証明]で、∪НはНのすべての元を含むМの元となっているから、証明は実質これと同じ。

これよりただちに(a)が得られる。//

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