「集合・位相入門」輪読会★2

30：裏画像収集家 </b><font color=#FF0000>（ggGgggQQ）</font><b>：2005/03/19(土) 12:43:22: [定理５⇒(a)の証明]
М＝{Y⊂X | Yは性質Cを満たす} とする。
НをМの任意の全順序部分集合とする。
∪Н＝∪_{N∈Н}N （集合系の和集合：第１章§2-F参照）を考えたとき
その任意の有限部分集合N'＝{x_i | i=1, 2, …, r}（r∈Ｎ）について
N'⊂(∪Н)より　
(∀i)(∃N_i∈Н)(x_i∈N_i)。
Нは（包含関係における）全順序集合なので
N_0＝max{N_i | i=1, 2, …, r}　が存在する。
このとき
(∀i)(N_i⊂N_0)
より
(∀i)(x_i∈N_0）。
∴N'⊂N_0。
N_0はCを満たすから性質Cの有限性によってN'もCを満たす。
任意の有限部分集合N'が性質Cを満たすので、∪НもCを満たす。
∴∪Н∈М。
すなわちНはМの中に上限∪Нを持つ。

以上よりМの任意の全順序部分集合Нが上限を持つことがわかった。
すなわちМは（順序⊂の意味で）帰納的な順序集合である。
定理５によってそれは極大元を持つ。//

※定理５（Zornの補題）
帰納的な順序集合は少なくとも1つ極大元を持つ。

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