「集合・位相入門」輪読会★2

47：臺地 </b><font color=#FF0000>（qpPuO9q2）</font><b>：2005/03/21(月) 11:31:18: >>28
＞あるY⊂Xについて(*)が成り立つが別のY'⊂Xについて(*)が成り立たないとき
＞Cは有限的な性質と言うのか？

言わないと思います。以下理由
その一：定義におけるXの存在意義
性質Cが有限的であるとは、>>28では
＞（*）Xの部分集合Yが性質Cをもつ　⇔　Yのすべての有限部分集合が性質Cをもつ
を満足することと定義されています。もしYで（*）が成り立つがY'で成り立たないのなら、
YはXの部分集合という条件に意味はなくなると思います。
CというのはXの部分集合Y（→変数）についての命題ですが、（*）はX（→任意固定）に
についての命題だと思います。

その二：証明における有限性の利用
裏画像氏は>>30において
＞∴N'⊂N_0。N_0はCを満たすから性質Cの有限性によってN'もCを満たす。
＞任意の有限部分集合N'が性質Cを満たすので、∪НもCを満たす。∴∪Н∈М。
を述べていますが、この二つで（*）が∀Yの意味で利用されていると思います。
(*)が∃Yの意味なら、この二つは言えないのではないでしょうか。

その三：反例の存在
Cを「その集合の中に上限を持つ」という実数の集合Rの部分集合について
の性質とします。これは有限的性質でしょうか？（*）が∃Yの意味でだとすると、
たとえば閉区間[0，1]は上限1を持ち、その有限部分集合がRの中に上限を当然持つので、
（*）を満たすY=[0，1]が存在します。よって∃Yの意味でCは有限的性質です。
それなら定理6(a)>>29によれば、Cを満たすRの（包含関係の意味で）極大な部分集合が
存在することになります。が、それは存在しません(証明できないですけど。直感的に)
なので構成上(*)は∀Yの意味でなくてはなりません。

ついでに、もしCが「有界ならばその集合の中に上限を持つ」だったとします。これは
∀Yの意味で(*)は成立しています。定理6(a)によれば極大元が存在しなくてはなりません
が、R全体がCを満たす(仮定が偽なので)以上、それが極大元です。

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