「集合・位相入門」輪読会★2

67：たま </b><font color=#FF0000>（RT2HgTis）</font><b>：2005/03/29(火) 23:12:13: 従って、A)の補題１より、Nの元(W,O)の台集合全部の和集合∪{W|(W,O)∈N}=W^*には、
次のような性質をもつ順序O^*が定義できる：
(1)(W,O)は整列集合である。(従って、(W^*,O^*)∈M)
(2)Nの各元(W,O)は(W^*,O^*)と一致するか、またはその切片となる。(従って、(W,O)ρ(W^*,O^*))
この(W^*,O^*)がMにおけるNの上限となることは明らかである。――(注２)
従って、(M,ρ)は帰納的となる。ゆえに、Zornの補題より、(M,ρ)には極大元(W_0,O_0)が存在する。
このとき、W_0=Aでなければならないことが次のように示される。
もし、W_0≠Aならば、A-W_0≠φなので、A-W_0から１つの元aをとって、W_0∪{a}=W_1とし、
aを最後の元としてW_0の順序O_0を拡張する。(すなわち、W_0上ではO_1はO_0そのままとして、
∀x∈W_1に対してxO_1aとする。)そうすれば、明らかに(W_1,O_1)∈Mで、
(W_0,O_0)は(W_1,O_1)の切片となる。すなわち、(W_1,O_1)は順序ρの意味で
(W_0,O_0)よりも大きいMの元となる。これは(W_0,O_0)の極大性に反する。
よって、W=Aでなければならない。そこでO_0を≦と書くことにすれば、
≦はAにおける順序で、(A,≦)は整列集合となる。　//

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