「集合・位相入門」輪読会★2

77：たま(☆1) </b><font color=#FF0000>（RT2HgTis）</font><b>：2005/03/30(水) 16:28:54: [選出公理⇒命題A]
　集合族(M｜M∈N)を考えると、Nの定義より∀M∈N(M≠φ)が成り立つので
　選出公理より、Π[M∈N]M≠φ
　ゆえにΠ[M∈N]Mの一つの元をΦとすると
　任意のM∈Nに対してΦ(M)∈M　　//
　(cf.直積の定義http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/556)

[命題A⇒選出公理]
　∀λ∈Λ(A_λ≠φ)であるとする。
　∪[λ∈Λ]A_λを考えて、その空でない部分集合の全体Nとすると、
　命題Aより、
　任意のM∈Nに対してΦ(M)∈MとなるようなNで定義された写像Φが存在する。
　ここで、∀λ∈Λ(A_λ≠φ）、かつ、∀λ∈Λ(A_λ⊂∪[λ∈Λ]A_λ)なので
　∀λ∈Λ(A_λ∈N)である。
　従って、∀λ∈Λ(Φ(A_λ)∈A_λ)が成り立つ。
　λにA_λを対応させるような写像をf：Λ→Nとすれば
　∀λ∈Λ(Φf(λ)∈A_λ)　　(ΦfはΦとfの写像の合成)
　よって、Φf∈Π[λ∈Λ]A_λとなるので、
　Π[λ∈Λ]A_λ≠φ　　//

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