「集合・位相入門」輪読会★2 - 1110808043

1：Мечислав(☆9) </b><font color=#FF0000>（DTxrDxh6）</font><b>：2005/03/14(月) 22:47:23: えと
「集合・位相入門」輪読会
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/
のつづきです。
詳細は>>2以下。
287：あしぺた：2006/03/03(金) 01:12:56: 訂正

Qだと最大値の定理成り立たないや

-(x-√2 )^2
を反例として考えれば良い

Q上の微積分学だと
中間値の定理は成り立つけど最大値の定理は成り立たない
だから平均値の定理やテイラーの定理は言えない
例えば、x^3 を[0，1] で考えると反例になってる

なるほどだからわざわざQでなくてR上で微積分学をやるわけか
288：あしぺた：2006/03/03(金) 02:09:39: C上の解析学も可能なんだよね
Cは順序の入ってない体だから平均値の定理とかナシの世界

一般に距離の入った体上の解析学ってどんなかなと思ってたら
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/Articles/p-adic_number.txt
に遭遇(笑)
ついでにHaar測度を知った
289：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/03(金) 02:36:27: ＞C上の解析学

普通の函数論のことじゃなくって？

　＃無限次元空間上の解析学ってのもありますね
　(修士のときに手を染めてました。)
290：あしぺた：2006/03/03(金) 03:06:05: 関数論です

無限次元解析学とは、関数解析ですかね？
作用素の強微分とかスペクトル分解とかあるみたいですが、
一般のノルム空間からノルム空間への作用素に対して微分や積分が定義されてるのは見たことないです
例えばどんなものがありますか？
291：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/03(金) 04:00:18: >>290
＞一般のノルム空間からノルム空間への作用素に対して微分や積分が定義されてるのは見たことないです
＞例えばどんなものがありますか？

つフレシェ微分

＞無限次元解析学とは、関数解析ですかね？

えーと、
ブラウン運動を函数空間上のメジャーだと思うわけです。
このメジャーから積分が定義できますね。
ブラウン運動はバナッハ空間で実現されるので
フレシェ微分が考えられますが、これだと確率微分方程式の解
が微分できないとか、いろいろ不都合があるんで
微分概念の拡張が(とくにブラウン運動の積分と調和するような微分概念)
考えられたりしています。

＞初学者のみなさん。
すみません。上の話はまだよく分からんとおもいます。
まあフレシェ微分ってのはノルム空間(松坂で後のほうででてきます)
からノルム空間への写像に対するある種の微分概念です。
メジャーについてはこのスレが位相に入ったら伊藤清三を読むスレを
立てる予定ですのでそれまでお待ちを。
292：あしぺた：2006/03/03(金) 07:47:37: >>291 なるほどありがとう！
フレシェ空間での解析学というのも聞いたことがあるなあ
293：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/03/03(金) 19:07:55: おお何やら難しい話が・・・後で読んでみます。

p126
第3章　Zornの補題
§5　Zornの補題の応用
A)　濃度に関する二三の定理
本項ではZornの補題を用いて、濃度に関するいくつかの命題を証明する。
これは本書の主題の一つである'集合論'に直接関係するものである。
【定理11】
Mをひとつの無限の濃度とし、nをn≦mであるような任意の濃度とする。そのとき
　　　(5.1)　m+n=m
が成り立つ。

【証明】
[命題1]　2m=mを示せば十分。
　∵m≦m+n≦m+m=2mだから、2m=mが示されていればベルンシュタインの定理
(http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/748定理2)よりm+n=m。

そこでこれを示そう。
[準備1]　文字設定
AをcardA=mとなるような1つの集合とし、I={0,1}とする。
Aの部分集合Bと、I×BからBへの写像fに関する次の条件(*)を考える。
　　　(*)fはI×BからBへの全単射
そして条件(*)を満足する組(B,f)全体の集合をΜとする：Μ=｛(B,f)∈2^A×B^(I×B)｜fは全単射｝。
また叙述を明確にするため、組(B,f)を一般にPのような文字で表し、P=(B,f)であるときB=B_P,f=f_Pと書くことにする。

[命題2]　Μ≠φ
　∵mが無限の濃度という仮定からAは無限集合で、その部分集合Bとして可算集合B_0を取ることができる
(参照：http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/769定理4)。
2cardN=cardN(参照：http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/841(3.16))だから、
I×B_0からB_0への全単射f_0が存在する。そこで(B_0,f_0)∈ΜだからΜは空でない。

[準備2]　Μ上の順序
P,Q∈Μに対し、B_P⊂B_Q(したがってI×B_P⊂I×B_Q)で、写像f_Qが写像f_Pの拡大になっているとき
(すなわちI×B_P上でf_Qがf_Pと一致するとき)、P≦Qと定めることでΜ上に順序を導入する：P≦Q⇔B_P⊂B_Qかつf_P=f_Q｜I×B_P
294：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/03/03(金) 19:09:08: >>293の続き
[命題3]　≦についてΜは帰納的順序集合
ΝをΜの任意の全順序部分集合として、ΝがΜの中に上限を持つことを示す。まずB*=∪[P∈Ν]B_Pとする。
I×B*からB*への写像で、全てのf_P(P∈Ν)の拡大となっているものをf_*とする：∀P∈Ν；f_P=f*|I×B_P

・命題3-1
f*は定義できる。つまり、x∈I×B*を取るとx∈I×B_PとなるP∈Νが存在するが、f_P(x)の値はPの取り方に
よらず一意的に定まる。そこでこの値をf*(x)とすることになる。
∵
∀x∈I×B*；∀P,Q∈Ν；(x∈I×B_P∧x∈I×B_Q)⇒f_P(x)=f_Q(x)を示せばよい。
ΝがΜの全順序部分集合という仮定から、P<Q,P=Q,P>Qのどれか一つだけが必ず成立。
P=Qのときにf_P(x)=f_Q(x)となるのは明らかである。P<Qのときは、順序の定義より
B_P⊂B_Qだからx∈I×B_P⊂I×B_Qで、これまた順序の定義よりf_P=f_Q|I×B_Pゆえ
f_Q(x)= (f_Q|I×B_P)(x)=f_P(x)。P>Qのときも同様。よって示された。

・命題3-2　(B*,f*)∈Μ
f*：I×B*→B*が全単射であることをしめせばよい。全射であることは、任意のB*の元bを取ると、∃P∈Μ；b∈B_P。
Μの定義よりf_Pは全単射であるから、逆写像f_P^(-1)が存在する。f_P^(-1)(b)∈I×B_Pなのでf*の定義より
f*（f_P^(-1)(b)）=f_P（f_P^(-1)(b)）=bとなることからわかる。単射であることは、f*(x)=f*(x')∈B*を仮定すると、
∃P∈Μ；f*(x)=f*(x')∈B_P。f_PというI×B_PからB_Pへの全射が存在することからx,x'∈ I×B_P。
よってf*の定義からf_P(x)=f*(x)=f*(x')=f_P(x')となり、f_Pは単射なのでx=x'となることよりわかる。よって示された。

・命題3-3　(B*,f*)=sup(_Μ)Ν
3-2より(B*,f*)∈Μだから、あとは∀(B,f)∈Ν；(B,f)≦(B*,f*)を示せばよい。
これは、B*,f*の定義よりB⊂B*かつf=f*|I×Bとなることからわかる。

以上より、Μの任意の全順序部分集合はΜの中に上限を持つことがわかったので、
Μは≦に関して帰納的順序集合である。(命題3証明終わり)
295：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/03/03(金) 19:11:59: >>294の続き
そこでZornの補題によりΜに極大元(それより大きな元が存在しないような、その集合の要素)(B~,f~)が存在する。

[命題4]　A-B~=Cとすると、Cは有限集合。
Cが無限集合と仮定して矛盾を導く。Cが無限集合なら、可算集合B'を含む
(参照：http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/769定理4)。
I×B'からB'への全単射が存在するが(参照：http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/841の(3.16)))、
それをf’とする。

・命題4-1　B'~=B~∪B'(直和)とおくと、I×B'~=(I×B~)∪(I×B')(直和)
∵まず、B'⊂C、C∩B~=φだからB'∩B=φなのでB~∪B'は実際直和である。次に、
(I×B~)∩(I×B')≠φと仮定すると、x∈(I×B~)∩(I×B')を取ることが出来るが、
pr(_B)x∈B~∩B'=φ(pr(_B)はB成分への射影)となり矛盾する。
そこで(I×B~)∩(I×B')=φだから(I×B~)∪(I×B')も直和である。

・命題4-2　(B'~,f'~)∈Μ
I×B'~からB'~への写像で全単射となるものが存在することを示せばよい。
f’~｜I×B~=f~、f’~｜I×B'=f’で写像f’~：I×B'~→B'~を定める(4-1より(I×B~)∪(I×B')が直和だから、この方法で写像を構成できる)
と、これが全単射となる。全射であることは、任意のb∈B'~を取ると、b∈B~ならf（f~^(-1)(b)）=b、b∈B'なら
f（f’^(-1)(b)）=bとなることからわかる。
単射であることは、f’~(x)=f’~(x')を仮定すると、f’~(x)=f’~(x')∈B~のときf~(x)= f’~(x)=f’~(x')=f~(x')でf~は単射ゆえx=x'となるし、
f’~(x)=f’~(x')∈B'のときも、f’(x)= f’~(x)=f’~(x')=f’(x')でf’は単射ゆえx=x'となることからわかる。

・命題4-3　(B~,f~)<(B'~,f’~)
これは、B'~,f’~の定義からB~⊂B'~=B~∪B'かつf~=f’~|I×B~となることよりわかる。

4-2,4-3は(B~,f~)がΜの極大元であることに矛盾する。よってCは有限集合である。(命題4証明終わり)
296：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/03/03(金) 19:13:31: >>295の続き
するとA=B~∪Cで、cardA=card(B~∪C)=cardB~
（参照：http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/777系1）。
よって、m=cardA=cardB~=card(I×B~)=2m。以上より定理11が示された。□

【系】mが無限の濃度ならば、m=2m=3m=・・・、つまり∀n∈N；nm=m。
∵nに付いての帰納法。n=1は明らか、n=2は定理11。n-1(n≧3)まで示されたと仮定してnの場合を示す。
　(n-1)m=m、m=mを辺々たしてnm=2m、n=2の場合よりnm=mとなる。よって示された。□

f'とダッシュが半角だと非常に見づらいので、全角にしました：f’
ふー。分量が多いですね。この項、これで終わりでなくてさらにもう一個定理が出てきます・・・
この定理11の結果を使うのでいくぶん短くはなるみたいです。
297：あしぺた：2006/03/03(金) 22:57:32: このあたりは証明をフォローする以上にやることがないね
見るべき深いものがないというか

位相空間の章に入ったら具体例を考えたり概念のつながりを調べたりと楽しい

ところで負の濃度を考えられないかとか濃度全体のクラスはどんな代数構造なのかとか濃度の演算を他に定義できないかとか
１人で無理やり盛り上げてみた(笑)
298：たま ◆U4RT2HgTis：2006/03/04(土) 00:53:36: 臺地氏乙です。

>>270
この選択公理から排中律をしょうめするってやつ、
論理展開は理解できるんですが、排中律が成り立つか成り立たないか分からない命題Pに対して
Ａ＝{ｘ|(ｘ＝０∧Ｐ)∨ｘ＝１}
っていう集合を定義するのはありなんですか？
というか、このAは集合と呼べるんですか？
なんか中身がはっきりしてないかもしれないものを集合だと呼ぶことに違和感があるんですけど。
299：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/04(土) 00:59:02: >>297
まあまあ。あせらないで。
楽しみはあとにとっときましょう。
300：たま ◆U4RT2HgTis：2006/03/04(土) 01:08:45: >>298
ああ、勘違いしてた。
Pは命題だから真偽ははっきりしてるからAの中身ははっきりしてるはずだし、問題ないのか。
排中律ってPが命題でも￢Pが命題でないかもしれないって意味か。
301：たま ◆U4RT2HgTis：2006/03/04(土) 03:50:23: やっぱりよくわからんな。
A,Bを仮に集合と認めると、A,Bは有限集合の部分集合なんだから、
選択関数なんか用いなくても元を選択する気もするし。

やっぱり、どんなものを命題と認めるかとか、どんな述語で定義したものを
集合とよぶのかとかいう公理的扱いを学ばないとこの辺は考えても
哲学的になっていくだけっぽい。
てことで混乱を招きそうなので、>>298>>300の僕のレスは華麗にスルーしてください。
そのうち論理学とか公理的集合論もしっかりやって、この辺説明できるようになりたいな。
302：あしぺた：2006/03/04(土) 11:01:34: A,Bは集合です
xのみを量化されてない変項とする論理式に対して
{x∈U|Q(x)}
は、集合です
ただしUは議論領域

だから
{x∈N|x=1∧3=4}
は集合だね、空集合
{x∈R|∀y∈N,y≠x}も集合だよ
∀y∈N,y≠xにおいてyは量化されてるから、
量化されてない変項はxのみ
よって集合

あとPを任意の閉論理式(量化されてない変項を含まない論理式)としたとき
{x∈U|Q(x)∧P}
も集合だよ
なぜなら、Q(x)∧Pは、xしか量化されてない変項を含まない論理式だから。
だから、
{x∈N|xは奇数∧(私はあしぺたです)}
も集合なんだ(笑)
この類推で問題になってるA,Bも集合だと分かる
303：あしぺた：2006/03/04(土) 11:09:46: 補足

議論領域を適当に広いものとして解釈すれば
議論領域をUとする論理式P
議論領域をVとする論理の体系の変項xと論理式Q(x)(ただしxのみを量化されてない変項とする)
があって、
U⊆Vではない
だったとしても、
{x∈V|Q(x)∧P}
を
{x∈W|Q(x)∧P} (ただしW=U∪V)
と解釈すれば集合とみなせます

議論領域が拡大しても論理式が論理式でなくなることはありませんから
304：あしぺた：2006/03/13(月) 21:41:22: 最近位相空間論に目覚めた(笑)

児玉之宏、永野啓応『位相空間論』
は、松坂さんの本の次にやるには最適かも(笑)

位相空間に次元があるっていう話が一番オモロかった(笑)
305：green：2006/06/27(火) 00:58:01: 大学で「集合・位相」の授業とってるんですが、何から何まで分かりませぬ。(；´Д｀)
誰か分かりやすく教えてください。
306：green：2006/06/27(火) 01:01:07: 教授に聞きにいったら、「もう少し考えてから来て下さい」と言われますた。
でも、何を書いてあるのか分からないからさっぱり読めないのです。
助けて
307：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/06/27(火) 01:15:50: >>306
テキストは何使ってるんですか？
もし松坂なら、
前スレ
「集合・位相入門」演習スレッド
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1097576246/
と、現行スレのレス番を示して、ココがよくわからんのですが
って言う具合に聞いてくだされば、答えられるかもしれませんよ。
308：green：2006/07/13(木) 23:08:49: >>307
松坂も一応もってるんで、もうちょっと勉強してからきます。
309：Je n'ai pas de nom!：2006/07/22(土) 12:42:27: はじめまして。集合位相の濃度の問題で苦戦しています。
誰かよろしければ教えてください。

次の集合の濃度はアレフ１であることを示せ。
P(N)＼F(N)

単射であることを示したらいいというのはわかったのですが、
単射であるという証明の仕方がわかりません。
お願いします。
310：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/07/22(土) 13:33:28: >>309
P(N)はNのべき集合？
F(N)はなんですか？
311：Je n'ai pas de nom!：2006/07/22(土) 20:21:09: 遅くなってすみません。

P(N)はべき集合で、
F(N)はＮのすべての有限部分集合のなす集合族です。
312：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/07/22(土) 22:02:11: >>311
「集合・位相入門」輪読会
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/777
と
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/841-845
と
「可算集合の有限部分集合全体の集合は可算集合…☆｣
からいえます。

☆は
たとえば∪[n=1,∞]N^nからF(N)への写像を
(a_1,…a_n)（∈∪[n=1,∞]N^n)を{a_1,…a_n}(∈F(N))
に対応させる全射を考えれば分かりますね。
313：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/07/22(土) 22:05:12: 最後の行
×　に対応させる全射を考えれば分かりますね。
○　に対応させる写像とし、これが全射であることを考えれば分かりますね。
314：Je n'ai pas de nom!：2006/07/22(土) 23:47:29: ありがとうございました！！
よくわかりました。
頑張って解いてみます。
315：green：2006/08/03(木) 03:48:37: >>307
テキストは↓でした。
http://www.amazon.co.jp/gp/product/4781910912/250-1587589-6927462?v=glance&n=465392&s=books
316：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/08/03(木) 03:57:35: >>315
章立てとページ数から察するに,濃度とか順序とか選択公理と
その同値な諸命題なんかにはあんまり触れずに,
素朴集合論を最低限みたあと,直ちに
実数の構造を観察し,ユークリッド空間へ,距離空間へ,さらには
一般の位相空間へとだんだんと一般化していく本のようですね.

わからないところがあれば,抜き書きして,ここで質問してみてはどうでしょう.
317：green：2006/08/06(日) 00:18:34: >>316
そうさせていただきまする
318：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/08/21(月) 01:16:25: 「て」にうｐした原稿、三章二節D、「整列集合の比較定理｣の部分追加うｐ。
http://groups.msn.com/61m4frk8dd99uihb3fbshibfu7/page.msnw
よりどぞ。

９スレ発足三周年の日までにうｐしたかったんですけどね。
順序数の積の別定義、確率論をつかったワイヤストラスの多項式近似の証明
いつか書きますんで、気長にお待ちくださいませ。
319：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/22(金) 03:53:49: 三章一節と二節、再読。
323：Je n'ai pas de nom!：2011/05/18(水) 00:32:20: 最近「集合・位相入門」読んでいます。まだ人はいらっしゃいますか？
324：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2011/05/19(木) 02:38:43: >>323
たぶん、３、４人はいるのではないでしょうか。
325：323：2011/05/20(金) 19:13:56: ２週間前から読み始めていま第１章§５です。。。
わけあってあと約280Pを高速で精読しなければいけません。。。
このスレを参考にさせていただきます。。。
326：Je n'ai pas de nom!：2011/06/14(火) 16:02:08: 問題難しいですね。。。

理解していないから解けないのか、
理解しているけど解き方を知らないから解けないのか…
十中八九、前者だろうけど。。。
327：Je n'ai pas de nom!：2011/06/15(水) 04:09:21: (A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A)=(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)の証明ですが，
分配律を用いる方法以外の方法がありましたら教えてください。
330：yuriq：2012/11/10(土) 00:38:14: 最近読み始めました

(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A)=(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)
の一般化ぐらいなら作れます

よむかたいましたら
メールお願いします
(あんまスレチェックしないので
輪読する人いたらここ借りたいと思います)
331：Je n'ai pas de nom!：2013/01/22(火) 14:23:15: 社会人です。
章末問題が解けずに挫折していましたが、また読み始めました。
336：jutano：2017/10/30(月) 22:40:20: 学生です。
以前読みかけて途中で止まっていたのを最近また読み始めて、今4章の位相の比較のところです。
盛り上がってたときに読みたかった。10年以上前ですね…