「集合・位相入門」輪読会★2

130：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/05/22(日) 04:33:04: Ｃ）順序数の演算
えー.2つの順序数に対して1つの順序数を対応させる"写像"を考えようというわけです.
写像に""をつけたのは,じゃあ始集合は？って言われたら困るからです.
「すべての順序数の集合(Ωとする)」というの考えてΩ×Ωを始集合にすればよさそう
なのですが,これは,もしあるとすれば>>116によって整列集合になりますので,
ordΩ(=χとおく)が存在します.
Ωの定義からχ∈Ωとなりますが,一方で>>115よりordΩ<χ>=χとなりますので
ordΩ<χ>=ordΩ.即ちΩとΩ<χ>が順序同型となり
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/916
に反します.
したがって「すべての順序数の集合」などというものを集合のうちに入れてしまうのは
ちょとマズーなわけです.
かつて元の族とか集合族を写像で定義した際,「終集合を重視しない立場」に立ちましたが,
こんどは「始集合も重視しない立場」に立って,写像を考えようというわけです.
その"写像"で,2つの順序数をともかく選んできたとき,「和」だの「積」だの「冪」だのと名づけ
るに相応しい,1つの順序数を決める対応を定義しようというわけです.
本来集合Ｓ上の(二項)演算とはS×SからSへの写像のことです.

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