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「集合・位相入門」輪読会
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とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
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>>411
前半了解です。
f_2について
正の実数に対して、実数の範囲での3乗根は正の数ちょうど1つ。
負の実数に対して、実数の範囲での3乗根は負の数ちょうど1つ。
0の3乗根は0のみ。
これも証明しないとダメですか…？？？
単射のほう、x_1≠x_2 ⇔ (x_1)^3≠(x_2)^3 の証明ですか？？？考えてみまつ。
f_3について
良いんではないでしょうか。
lim[x→∞]f_3(x)＝∞ というのは ∀x∈R(∃y_0∈R(∀y≧y_0(f_3(x)≧y))) という意味ですよね。
そしたら中間値の定理適用できると思いますけど。
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訂正
∀y∈R(∃x_0∈R(∀x≧x_0(f_3(x)≧y)))
学校逝っちきまつ
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>>412
＞正の実数に対して、実数の範囲での3乗根は正の数ちょうど1つ。
＞負の実数に対して、実数の範囲での3乗根は負の数ちょうど1つ。
＞0の3乗根は0のみ。
これなんでっていわれたら困るでしょう。だから自明ではないけど、
準備不足で今の我々には不明として保留にしておきましょう。
単射であることの証明は引き続き考えてください。
lim[x→∞]f(x)＝∞⇒∀y∈R(∃x_0∈R(∀x≧x_0(f(x)≧y)))
だったら中間値の定理が適用できるのはなぜか、というより
中間値の定理を実際に適用した形の証明を書いてください。
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【x_1≠x_2 ⇔ (x_1)^3≠(x_2)^3 の証明】
>>412の
＞正の実数に対して、実数の範囲での3乗根は正の数ちょうど1つ。
＞負の実数に対して、実数の範囲での3乗根は負の数ちょうど1つ。
＞0の3乗根は0のみ。
を認めることにすれば、
x_1, x_2∈R に対して (x_1)^3＝(x_2)^3 ⇔ x_1＝x_2。
⇒, ⇐ฺ それぞれについて、その対偶命題も真であるから、
x_1≠x_2 ⇔ (x_1)^3≠(x_2)^3. （終）
中間値の定理のはこの後考え松。
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今度こそ！！！ｗｗｗｗ
f_3(x)=x^3-x。
【f_3が全射であることの証明（やり直し）】
lim[x→∞]f_3(x)＝∞、lim[x→-∞]f_3(x)＝-∞。
つまり ∀y∈R(∃x_1∈R(∀x≧x_1(f_3(x)≧y))), ∀y∈R(∃x_2∈R(∀x≦x_2(f_3(x)≦y)))。
f_3は連続写像であるから（p.175以降で扱う）、閉区間 I＝[x_2, x_1] で中間値の定理を適用できて、
∀y∈R(∃x∈I(f_3(x)=y)), すなわち ∀x∈R（f_3^(-1)(x)≠φ）。
※中間値の定理
Rの有界閉区間 I＝[a, b] で連続な実数値関数fは、
f(a)とf(b)の間の任意の実数γを値に取る：∃c∈I(f(c)=γ)。
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細かいトコ少しだけ訂正させてください。
f_3(x)=x^3-x。
【f_3が全射であることの証明（やり直し）】
lim[x→∞]f_3(x)＝∞、lim[x→-∞]f_3(x)＝-∞。
つまり ∀y∈R(∃x_1∈R(∀x≧x_1(f_3(x)≧y))), ∀y∈R(∃x_2∈R(∀x≦x_2(f_3(x)≦y)))。
f_3はRからRへの連続写像であるから（p.175以降で扱う）、
閉区間 I＝[x_2, x_1] で中間値の定理を適用できて、
∀y∈R(∃x∈I(f_3(x)=y)), すなわち ∀y∈R（f_3^(-1)(y)≠φ）。
よってf_3は全射。
※中間値の定理
Rの有界閉区間 I＝[a, b] で連続な実数値関数fは、
f(a)とf(b)の間の任意の実数γを値に取る：∃c∈I(f(c)=γ)。
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>>415
(x_1)^3=(x_2)^3
⇔(x_1-x_2)((x_1)^2+x_1*x_2+(x_2)^2)=0…(A)
(x_1,x_2)∈Rなので
(A)⇔x_1=x_2でどうですか。
＃後半は余計なような。。。
>>416-417
Хорошо.
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>>418
後半は余計っていうのは、どこを指しているんでしょうか？？？
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>>419
⇒, ?? それぞれについて、その対偶命題も真であるから、
x_1≠x_2 ⇔ (x_1)^3≠(x_2)^3.
は何でいるんですか？ってことです。
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あ、不要ですね。（言ってることは同じですけど）
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次です。
f_4(x)=a^x （a>0, a≠1）， f_5(x)=x^2．
について。
f_4: R→R は単射であるが、全射ではない。ｌ
【単射であることの証明】
a>1 ならば x_1＜x_2 ⇔ a^x_1＜a^x_2 ⇔ f(x_1)＜f(x_2)。
0<a<1 ならば x_1＜x_2 ⇔ a^x_1＞a^x_2 ⇔ f(x_1)＞f(x_2)。
いずれの場合も f(x_1)＝f(x_2) ⇔ x_1＝x_2 が成立するから、単射。
【全射でないことの証明】
a>0 のとき ∀x∈R(a^x>0) であるから、
たとえば f_4(x)＝a^x＝0 を満たす x∈R は存在しない。
よって f_4 はRからRへの全射ではない。
f_5: R→R は全射でも単射でもない。
【全射でないことの証明】
∀x∈R(x^2≧0) であるから、
たとえば f_5(x)＝x^2＝-1 を満たす x∈R は存在しない。
よって f_5 はRからRへの全射ではない。
【単射でないことの証明】
たとえば、f_5(-1)＝f_5(1)＝1。よってf_5は単射ではない。
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とりあえずレス待ちの状態ですが、次の例もいっちゃいます。
例2 Aを任意の集合、Pをその部分集合とするとき、
Pの各元aにa自身を対応させることによって、
PからAへの1つの写像 i を定めることができます。
この写像 i は明らかに、PからAへの単射となります。
（∀x∈P(i(x)＝x) となるように写像 i を定めたので、i(a)＝i(b) ⇔ a＝b。）
これを、「pからaへの標準的単射」と呼びます。
特にP＝Aの場合は、標準的単射 i:P→A は
Aの上への（＝全射）恒等写像 I_A （cf. >>280のex3）となり、
これは単射かつ全射なので、AからAへの全単射となります。
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>>422
Хорошо.
>>423
了解.
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続きは明日の夕方頃にできると思います。
あー、9日以降の授業のとり方も考えないと…
面白そうな講義たくさんあって結構迷いますね。
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>>425
ここで９ちゃんが取る授業ごとにスレッド立てて、
内容を我々に逐一報告してくれたら、復習になって、
シケプリなんぞに頼らなくたって、単位くらい取れるんじゃないですか？
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納得です。中間値あたりはよくわかってませんが、とりあえず俺のことはほっといて
先に進んでください。
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すいません続きは今日帰ってきてから…
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fをAからBへの写像とするとき、その逆対応 f^(-1):B→A は一般には写像ではありません。
どのような場合にこれが写像となるかについては、次の定理が成立します。
定理4 写像 f:A→B の逆対応 f^(-1):B→A が写像となるための必要十分条件は，
fがAからBへの全単射であることである．またそのとき，f^(-1)はBからAへの全単射となる．
［定理4の証明］
対応 f^(-1):B→A が写像であることは、定義によって、
任意の b∈B に対して、f(a)＝b となるような a∈A がただ1つだけ存在することである。
このとき a_1≠a_2 かつ f(a_1)＝f(a_2) であることはありえないから、
a_1≠a_2 ⇒ f(a_1)≠f(a_2)。よってfは単射。
またこのとき ∀b∈B(f^(-1)(b)≠φ)。よってfは全射。
次に f:A→B を全単射とする。このとき f^(-1):B→A は写像となるが、
その逆対応 {f^(-1)}^(-1)＝f が写像であるから、上の議論から f^(-1):B→A も全単射。 （糸冬）
f:A→B が全単射である場合、定理4によってその逆対応 f^(-1):B→A も写像となります。
これをfの”逆写像”と言います。この場合は写像の記法に従って、
f^(-1)(b)＝{a} の代わりに f^(-1)(b)＝a と書きます。
このとき明らかに f^(-1)(b)＝a ⇔ f(a)＝b。
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C) 写像の合成
A, B, C を3つの集合とし、2つの写像 f:A→B, g:B→C が与えられたとします。
このとき a∈A を任意に与えれば、まずaのfによる像として f(a)∈B が定まり、
次にf(a)のgによる像として g(f(a))∈C が定まります。
このようにして各 a∈A に対してそれぞれ1つずつ g(f(a))∈C が定まるので、
aにg(f(a))を対応させるAからCへの写像φが考えられます。
この写像 φ:A→C をfとgとの”合成写像”または”積”といい、gof（またはgf）で表します。
定義により、すべての a∈A に対して
(gof)(a)＝g(f(a))
となります。
注意 写像fとgとの合成写像は、上のようにfの終集合とgの始集合（定義域）とが
一致するときに限って、定義されます。
中途半端だけど、今日はここまで。
明日は一日お出かけなので更新できるかどうか微妙です。
日曜日はたぶん暇。月曜日は武道館で入学式です（遅
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今さらだけど>>423訂正。
× これを、「pからaへの標準的単射」と呼びます。
○ これを、「PからAへの標準的単射」と呼びます。
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>>429-430
ﾅﾄｰｸ
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納得しますた。
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この板、数学科学生のまじめさを象徴しているみたいで、うれしいなー
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ようこそ。数学科スレの568くんですか？
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>>429
A，Bを適当な集合、fを適当な写像として
f : A → B を考えます。
１．fに単射性だけを認めた場合
２．fに全射性だけを認めた場合
f^{-1} が存在するような例はありますか？
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>>436
× 認めた場合
○ 仮定した場合
に訂正します。つまり１⇔２となる例ということです。
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「単射性だけを仮定」ってどういう意味ですか？
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ｻﾊﾟｰﾘわかりません
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「単射であるが、全射ではない」と仮定するってことかな？？？
あと、「f^{-1}が存在するような」は「f^{-1}が写像となるような」って意味？？
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>>440
>「単射であるが、全射ではない」と仮定するってことかな？？？
失敗しました。表現がだめだめで意味不明でした。すみません。
A，Bを適当な集合とし f : A → B を写像とする。
f が単射 ⇔ f が全射
となる例はあるか。
ということを問題にしたかったとです。
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f が単射 ⇔ f が全射？fが全単射ってこと？
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>>441
＞A，Bを適当な集合とし f : A → B を写像とする。
＞f が単射 ⇔ f が全射
この命題はA=Bでfがアイデンティティマップだったら
前件が真、後件が真で
A=B=Rでf(x)=x^3-xだったら
前件が偽、後件が真。
したがって命題自身は偽です。
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問題の意味がよくわかんないんですけど、
「A, Bを任意の集合とするとき、AからBへの全単射を作れるか？」
って話ですか？？
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>>436 >>441
例えば A も B も元の個数が n 個の有限集合とすると、
f が全射 ⇔ f が単射
が成立しますが、質問の主旨はそういうことでしょうか？
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面白い例ですね
出題者さん降臨きぼん
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>>446
そうですね。出題者の真の意図はわかりませんが、
>>445はこの節の節末問題に追加しましょう。20問目として。
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了解です
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では>>436さんが現れて、問題の真意を語ってくれるのを待つとして、
先へ進みませんか？
えーっと。私は今までのようにオブザーバー的な存在でいたほうがいいのでしょうか？
担当者にもなったほうがいいのでしょうか？どちらの立場でいても、
逆のほうがいいのではと思ってしまうので、お二人で決めてもらえないでしょうか。
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↑担当者になったのは問題を解いた回と、わずかな補完したときだけですが。
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>>449
俺は今まで通りで良いと思います。
2人ともわからない場合はお願いします。
先に進めばそういう所がどんどん出てくると思いますので。
でも3人で回した方が速く進みますよね。
うーん、先生も気が向いたら(変な言い方ですが)担当していただけますか？
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441ですが
要するにイグザンプルがつくれますか？
という問題にしたかっただけなのです。
「例はあるか」というのはそういう意味のつもりでした。
例えば f が R^n から R^n への線型写像であれば(線形は好かんとです)
単射性と全射性は同値になるので。
もっと他に面白いイグザンプルが出るのではないかしらん？
と期待しておりまして・・・
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>>452
>>445もそういう例になってるわけですね。
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>>453
もちろんでございます。
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>>451
では早速…。
定理5.
f∈B^A,g∈C^Bとする.
(1) fもgも全射ならばgf∈C^Aも全射である.
(2) fもgも単射ならばgfも単射である.
(3) fもgも全単射ならばgfも全単射である.
定理5の証明.
(1) gが全射であるなら任意のCの元cに対してg(b)=cなるBの元bが存在する.
このときfが全射であるならf(a)=bなるAの元aが存在する.以上より
fもgも全射ならば任意のCの元cに対してg(f(a))=cなるAの元aが存在する.
即ちfもgも全射ならばgfも全射である.
(2) fもgも単射であるなら(gf)(a)=(gf)(a')⇔g(f(a))=g(f(a'))⇔f(a)=f(a')⇔a=a'.
即ちgfも単射である.
(3) fもgも全単射であるなら(1)よりfもgも全射であるからgfも全射である.
またfもgも全単射であるなら(2)よりfもgも単射であるからgfも単射である.
以上よりfもgも全単射であるならgfも全単射である.
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定理6.
(f,g,h)∈(B^A)×(C^B)×(D^C)であるとするとき
(1) (h(gf),(hg)f)∈(D^A)^2であり,h(gf)=(hg)fである.
(2) f(I_A)=f,(I_B)f=fである.
(3) fが全単射ならf(f^(-1))=I_B,f^(-1)f=I_Aである.
＃(1)は写像の合成が結合律を満たすことを示している.
(2)は合成をA^A上の演算とみたときI_Aが単位元となっていることを示している.
(3)は合成をA^A上の演算とみたとき全単射fの逆元がf^(-1)となっていることを示している.
(1),(2),(3)より{f∈A^A|fは全単射}=S_AとおくとS_Aは合成を演算として群をなしていることがわかる.
定理6の証明.
(1) (f,g)∈(B^A)×(C^B)であるならgfはその定義よりC^Aの元である.
このことを繰り返すと(h(gf),(hg)f)∈(D^A)^2.
また,任意のAの元aに対して(h(gf))(a)=h((gf)(a))=h(g(f(a))),
((hg)f)(a)=(hg)(f(a))=h(g(f(a))).
(2) 任意のAの元aに対してf(I_A)(a)=f(I_A(a))=f(a).
任意のBの元bに対して(I_B)f(b)=I_B(f(b))=f(b).
(3) bをBの任意の元としf^(-1)(b)=aとする.このときf^(-1)の定義からf(a)=b.よって
f(f^(-1))(b)=f(a)=b.
aをAの任意の元としf(a)=bとする.このときf^(-1)の定義からf^(-1)(b)=a.よって
(f^(-1)f)(a)=f^(-1)(f(a))=f^(-1)(b)=a.■
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注意.
(f,g)∈(B^A)×(C^B)ならばgfはC^Aの元として定義されるがC⊂Aでない限りfgは定義されない.
仮令(f,g)∈(B^A)×(A^B)でgf,fgが両方とも定義されたとしても,例えばA=B=R,f(x)=x^2,g(x)=x+1
なら(gf)(x)=x^2+1,(fg)(x)=(x+1)^2となり必ずしもfg=gfとはならない.つまり写像の合成は交換律は
一般には満たさない.
以上でC)が終わりですね。
あ、先走ってしまった。>>455-456で出てくる記号A^Bについて。
A,Bがともに集合のときB^AはAからBへの(中への？)写像全体の集合です。
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>>452
へぇ〜。面白い！！！考えてみまつ。
>>455
OKです。
>>456
定理6(2) 証明過程で I_A∈A^A, I_B∈B^B であることは言わなくて大丈夫ですか？
他はOKです。
>>457
OKです。
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>>458
＞定理6(2) 証明過程で I_A∈A^A, I_B∈B^B であることは言わなくて大丈夫ですか？
いったほうがいいですね。
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了解です。
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>>456(2)
＞任意のBの元bに対して(I_B)f(b)=I_B(f(b))=f(b).
任意のAの元aに対して(I_B)f(a)=I_B(f(a))=f(a).
ではないでしょうか？
後は納得です。
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>>461
あ、すんません。そのとおりです。
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あ、本当だ。見逃してたｗｗｗｗ
明日は1限〜5限全部見に行く予定なので、
帰宅してから続きできるかどうか微妙です。
とりあえず、今のうちにD)をやっちゃいます。
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D) 写像の縮小、拡大
f∈B^A, f'∈B^A' とし、A⊃A' とします。
そのとき (∀a∈A')(f(a)＝f'(a)) …☆ となっているならば、
f' を f: A→B の定義域を A' に縮小（または制限）した写像、
あるいは簡単に、fのA'への縮小と言い、
逆に、f を f': A'→B の定義域を A に拡大（または延長）した写像、
あるいは簡単に、f'のAへの拡大と言います。
f: A→B およびAの部分集合A'が与えられたとき、
fのA'への縮小は一意的に定まります。（f'が☆を満たすことから明らか）
それをしばしば、記号 f|A' で表します。
しかし f': A'→B および A' を含む集合 A が与えられたとき、
f'のAへの拡大は一般に多数存在します。
（x∈(A−A') に対しては、f(x) としては多数の候補が考えられるから。）
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>>464
はい。
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E) 写像の終集合に関する注意
写像は対応の特別なものであって、1つの写像には、
必ずその定義域（＝始集合）および終集合が、
それぞれ確定したものとして付随しています。
したがって、2つの写像はそれらの定義域が一致しないか、
または終集合が一致しないならば、等しくないことになります。(cf.>>258)
しかし写像の終集合については、このような厳格な立場を少しゆるめて、
いくらか自由に考えたほうが都合がよいこともあります。
例えば写像 f: A→B が与えられて、
V(f)がBの真部分集合であるとき、（つまり B−V(f)≠φ のとき）
V(f)を含む別の集合B'を考えて、
写像 f': A→B' を ∀a∈A(f(a)＝f'(a)) によって定義すれば、
fとf'は終集合は異なるものの、本質的に大きな違いはありません。
実際、場合によっては、このような2つの写像fとf'を等しい(f＝f')
と考えたほうが便利なこともあります。
このような立場を”終集合を重視しない”立場と言うことにします。
この立場をとる場合、
写像はその定義域と定義域の各元の像のみによって定まる概念とされ、
終集合は値域V(f)を含む集合でありさえすれば、何でもよいとされます。
もっともこのような立場が取られることは決して多くはありません。
本書では、AからBへの写像、あるいは写像 f: A→B などと言うときは
今までどおり、定義域とともに終集合をも重視しているものとします。
終集合を重視しない立場をとっていることを示したい場合には、
定義域だけを強調して、’Aを定義域とする写像’、’Aで定義された写像’
などの語法を用いることにします。
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そろそろ問題を振り分けましょうか。
問題は1-19と>>452で計20問ですが、
1. >>332
2. >>333
5. (a) >>380
6. >>344
7. >>456
これらは既に終わってますね。
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>>464
>>466
納得れす
またmod3でいきますか
俺は1で
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じゃ mod 3 で 2 担当します。
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>>466
はい、了解。
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F) 写像の集合
A, B を任意の集合とするとき、AからBへの写像全部の集合を、
F(A, B) （注; Fはドイツ文字） または B^A で表します。
この集合は、しばしば、Aの上のBの”配置集合”と呼ばれます。
A, Bをそれぞれm個, n個の元からなる有限集合として、
A＝{a_k| k=1, 2, …, m} としておくと、AからBへの写像fは
各々のkに対するf(a_k)の値を一つずつ決めることによって定まりますが、
Bはn個の元を持つので各々のkに対して f(a_k) の決め方はn通りあるので、
結局AからABへの写像は全部で n^m 個存在することになります。
すなわち、B^A は n^m 個の元からなる集合となります。
このことが、Aの上のBの配置集合を B^A と書き表すことの根拠を与えています。
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Xを1つの集合（普遍集合）、Aをその任意の部分集合とするとき、
χ_A(x)＝1 (when x∈A)
＝0 (when x∈A^c)
によって定められる X から {0, 1} への写像 χ_A を、
（Xにおける）Aの”特徴関数”または”定義関数”と言います。
（特に、すべての x∈X に対して χ_X(x)＝1, χ_φ(x)＝0.）
A, A'∈P(X) （注；Pはドイツ文字） に対して、χ_A＝χ_A' ⇒ A＝A' であるから、A≠A' ⇒ χ_A≠χ_A'。
逆に X から {0, 1} への任意の写像fが与えられたとき、
Xの部分集合 {x| f(x)＝1}＝f^(-1)(1) を A とおけば、明らかに、χ_A＝f。
以上により、Xの1つの部分集合を定めることは、
Xから {0, 1} への1つの写像を定めることと内容的に異ならないことがわかります。
詳しく言えば各々の A∈P(X) に χ_A∈{0, 1}^X を対応させる写像をΦとすれば、
Φは P(X) から {0, 1}^X への全単射となります。
このことを根拠として、F(X) はしばしば 2^X という記号でも表されます。(cf. >>126)
# これで§4は一通り終わったかな。ふぅ〜。
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配置集合はどうしてそう名づけるのが相応しいのでしょうか。
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>>473
うーん、あくまで感覚ですけど、
AからBへの写像全体の集合を考えるということは、
Aの1つ1つの元に対してBのどの元を充てるかを考えることに等しいわけで、
その配置のしかたの総体が F(A, B) であるから、
配置集合って名付けたんじゃないでしょうか。
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あ、何か日本語おかしいかも（汗
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>>474
私もそういう気がします。
>>471-472
了解です。
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ドイツ文字が出せないのが残念だな、、
TeXとかだったら出せるんですよね。
演習問題は明日大学で暇なときに解こうと思います。
それでは〜。
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>>477
フラクトゥーア体はpLaTeX2eだけじゃだめでAMS-LaTeXがいるんじゃなかっただろうか。
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４５日でセクション４つぶんか。全部でいくつあるの？
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>>479
1章は6節、2章は3節、3章は5節、4章は5節、5章は3節、6章は6節
計28節分。このペースでいけたら315日か。いいペースだと思いますね。
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そうですか、がんばってください
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>>478
…すいませんがよくわかりませんｗｗｗｗ
>>479-481
何とか1年で完結するといいですね。
頑張りましょう！！！
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>>482
テフは、ネットからとってくるとタダだけど
インストールとか邪魔くさい。
パッケージソフトなら有料だけど
詳しい説明書と使いやすいgui環境がはいってるよ
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>>483
一応 Emacs＋YaTeX は使える状態になってるんですけど。。。
何せ時間がなくて。
夏休みくらいに色々といじくってみようと思います。
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>>484
EmacsってPC版あるの。
日本語環境で使えるんかな。
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>>471,472
納得です。
レス忘れてますた。しつれい。
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>>485
はい、ちょっと前にTeXの入門書買ったんですが
その付属CD-ROMの中に入ってました。
…さて、問題解きましょうか。
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では。。
3. P⊂A,Q⊂B,f∈B^Aとする.
(1) fが単射ならばf^(-1)(f(P))⊂P.
(2) fが全射ならばQ⊂f(f^(-1)(Q)).
解答(1)x∈f^(-1)(f(P))ならばf(x)∈f(P)={b∈B|∃a∈P;f(a)=b}なので
∃a∈P;f(x)=f(a).fは単射なのでx=a.よってx∈P.
(2)x∈Qでfが全射ならば∃y∈f^(-1)({x})={a∈A|f(a)=x}なので
∃y∈A;f(y)=x.よってx=f(y)∈f(f^(-1)({x})).(4.1),(4.1)'より
x∈f(f^(-1)(Q)).
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9. f∈B^A,g∈C^Bとする.
(a) ∀P∈2^A,(gf)(P)=g(f(P)).
(b) ∀R∈2^C,(gf)^(-1)(R)=f^(-1)(g^(-1)(R)).
解答(a)(gf)(P)={z∈C|∃x∈P;(gf)(x)=z}={z∈C|∃x∈P;g(f(x))=z}
={z∈C|∃x∈P;∃y∈B;f(x)=y,g(f(x))=z},
g(f(P))={z∈C|∃y∈f(P);g(y)=z}={z∈C|∃y∈B;∃x∈P;f(x)=y,g(y)=z}.
(b)(gf)^(-1)(R)={x∈A|(gf)(x)∈R}={x∈A|g(f(x))∈R}
f^(-1)(g^(-1)(R))={x∈A|f(x)∈g^(-1)(R)}={x∈A|f(x)∈{y∈B|g(y)∈R}}.
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12. (f,f',g)∈B^A×B^A×C^Bとし,gを単射とする.そのときgf=gf'ならばf=f'.
解答gf=gf'なのですべてのAの元xに対してgf(x)=gf'(x).gは単射なのでf(x)=f'(x).
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15. Xを普遍集合,(A,B)∈(2^X)^2とするとき,すべてのx∈Xに対して
χ_A(x)≦χ_B(x)が成り立つことと,A⊂Bであることとは,同等であることを確かめよ.
また,すべてのx∈Xについて次の等式が成り立つことを証明せよ.
(a) χ_(A∩B)(x)=χ_A(x)χ_B(x).
(b) χ_(A∪B)(x)=χ_A(x)+χ_B(x)-χ_(A∩B)(x).
(c) χ_(A^c)(x)=1-χ_A(x).
(d) χ_(A-B)(x)=χ_A(x)(1-χ_B(x)).
(e) χ_(A△B)(x)=|χ_A(x)-χ_B(x)|.
解答 すべてのx∈Xでχ_A(x)≦χ_B(x)を仮定するとx∈Aでもχ_A(x)≦χ_B(x)が
なりたつのでx∈Aで1≦χ_B(x).V(χ_B)={0,1}なのでx∈Aで1=χ_B(x)即ち
x∈Aならx∈B.またA⊂Bを仮定するとx∈Aでχ_A(x)=1,χ_B(x)=1なのでχ_A(x)≦χ_B(x).
x∈B-Aでχ_A(x)=0≦1=χ_B(x).x∈B^cでχ_A(x)=0≦0=χ_B(x).
(a) x∈(A∩B)^c=A^c∪B^cのとき両辺とも0,A∩B⊂A,A∩B⊂Bよりx∈A∩Bのとき両辺とも1.
(b) A∩B⊂A,A∩B⊂B,A∩B⊂A∪Bよりx∈A∩Bのとき両辺とも1,
A△B∈A∪B,A△B⊂(A∩B)^cよりx∈A△Bのとき両辺とも1,
(A∪B)^c=A^c∩B^cよりx∈(A∪B)^cのとき両辺とも0.
(c) x∈A=(A^c)^cのとき両辺とも0,x∈A^cのとき両辺とも1.
(d) (a),(c)のコロラリー.
(e) x∈A-Bのとき両辺とも1,x∈B-Aのときも同様に両辺とも1,x∈A∩Bのとき両辺とも0,
x∈(A∪B)^cのとき両辺とも0.
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18. Bをn個の元からなる有限集合とする.Bのm個の元からなる部分集合の総数をnCmで表す.
もちろん(m>nならnCm=0.)0≦m≦nのとき
nCm=nPm/m!=n(n-1)…(n-m+1)/m!=n!/m!(n-m)!である.
またΣ[m=0,n]nCm=2^n.Σ[m=0,n](-1)^m*nCm=0.
解答 Bのm個の元からなる部分集合を1つ固定しCと名付ける.CからBへのすべての単射の集合を
Dとおく.Dの元の総数はnPmである.Dの元を1つ固定しfと名付ける.
E_f={g|gは値域がV(f)と一致するDの元}とするとEの元はCからV(f)への単射であるから
E_fの元の総数はmPm.D=∪[f∈D]E_fでf≠f'ならE_f∩E_f'=ΦだからnCm=nPm/mPm.
17.の結果を使えばnPm/m!=n(n-1)…(n-m+1)/m!.右辺の分母分子に(n-m)!をかければ
n(n-1)…(n-m+1)/m!=n!/m!(n-m)!.
上の結果はΣ[m=0,n]nCmがBのすべての部分集合の集合2^Bの元の総数を表している
ので2^nに等しい.
n≧1,1≦m≦nとする.n≧1だから∃b∈B.Bのm個の元からなる部分集合は,
B-{b}の(m-1)個の元からなる部分集合と{b}のユニオンか,B-{b}のm個の元からなる
部分集合のどちらかであり,そのどちらでもあることはない.したがって
nCm=(n-1)C(m-1)+(n-1)Cmである.
nが奇数のときはΣ[k=0,(n-1)/2]nC(2k)=Σ[k=0,(n-1)/2]nC(n-2k)=Σ[k=0,(n-1)/2]nC(2k+1).
nが偶数のときはΣ[k=0,n/2]nC(2k)=nC0+Σ[k=1,(n-2)/2]nC(2k)+nCn
=(n-1)C0+Σ[k=1,(n-2)/2]((n-1)C(2k-1)+(n-1)C(2k))+(n-1)C(n-1)
=Σ[k=0,n-1](n-1)Ck
=Σ[k=1,n/2]((n-1)C(2k-2)+(n-1)C(2k-1))
=Σ[k=1,n/2]nC(2k-1).
いずれにせよΣ[m=0,n](-1)^m*nCm=0.
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なんかすごひ・・・
俺はただ今思考停止モードです・・・
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>>467によると俺の担当は4.10.13.16.19.ですか。
小出しにしてやっていきますので、途中で遮っていただいてもOKです。
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4. f:A→Bが単射ならば、(4.3)で等号が成り立つことを示せ。
f(P_1∩P_2)⊃f(P_1)∩f(P_2)を示せばよい。
x∈f(P_1)∩f(P_2)⇒x∈f(P_1)∧x∈f(P_2)⇒<∃c∈P_1(f(c)=x)>∧<∃d∈P_2(f(d)=x)>
⇒<∃c∈P_1(f(c)=x)>∧<∃c∈P_2(f(c)=x)> (∵fは単射だから、c=d) ⇒∃c∈(P_1∩P_2)(f(c)=x)
⇒x∈f(P_1∩P_2)
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>>495
ok.
最後から2行目
⇒∃c∈P_1∩P_2(f(c)=x)
⇒最後の行
ですね。
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10. f:A→B、g:B→Cとするとき、
(a) gfが全射ならば、gは全射
(b) gfが単射ならば、fは単射
であることを示せ。
(a) gfが全射、かつgが全射でないとして矛盾を導く。
gfが全射だから、cをCの任意の元とすると、c=gf(a)となるようなAの元aが存在するが、
このとき、gが全射でないから、あるCの元dに対してd=g(e)となるようなBの元eが存在
しない場合がある。このようなdに対して、d=gf(m)となるAの元mは存在しない。
よって矛盾。
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>>496
すんませんずれました。
書き込み欄と同じサイズみたいですね。
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(b) gfが単射、かつfが単射でないとして矛盾を導く。
fが単射でないから、ある相異なるAの元x,x'が存在して、f(x)=f(x')となる。
このようなx,x'に対して、gf(x)=g(f(x))=g(f(x'))=gf(x')。
これはgfが単射であることに矛盾。
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>>497
「あるCの元dに対してd=g(e)となるようなBの元eが存在しない場合がある。｣
は
「∃d∈C(∀e∈B(g(e)≠d))｣
つまり
「e∈Bに依らないCの元でいかなるBの元eに対してもg(e)とは等しくならない
Cの元dが存在する｣
ですね。
一応
「このようなdに対して、d=gf(m)となるAの元mは存在しない｣理由を
述べておいたほうがいいのでは。
>>498
ぃぇぃぇ
>>499
納得です。
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>>500
＞「∃d∈C(∀e∈B(g(e)≠d))｣
そうでした。
＞「このようなdに対して、d=gf(m)となるAの元mは存在しない｣理由
直観的にしかわからないです・・・
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>>501
えーっと
f(m)∈Bだからじゃないですか？
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あ、
このようなmが存在すると仮定すれば、d=gf(m)=g(f(m))。
しかし、∃d∈C(∀e∈B(g(e)≠d))より、f(m)=kをみたすBの元kは存在しない。
これは矛盾。
こんなんでいいですか？
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>>503
それでいいと思います。
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13むずいです・・・
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>>505
保留にして16に進むもよし、ですね。
９に託すとか。
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>>506
もうちょっと粘ってみまつ。
残りは明日以降ということで。
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ちーす！！！
すんません、昨日は一日中寝てましたｗｗｗｗ（ぉぃ
とりあえず先生とLAR-men氏の解答を
今日中に全部確認させてもらいまつ。
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16. Aをm個、Bをn個の元からなる有限集合とする。そのとき、AからBへの
単射が(少なくとも1つ)存在するための必要十分条件はm≦n、AからBへの
全射が(少なくとも1つ)存在するための必要十分条件はm≧nであることを
示せ。また、m=nの場合、AからBへの全射、単射、全単射の概念はすべて
一致することをたしかめよ。
まず、AからBへの単射が存在⇔m≦nを示す。
(⇒の証明)AからBへの単射が存在して、かつm>nとして矛盾を導く。
そのような単射をfとし、Aのm個の元をx_k(k=1,2,･･･,m)、Bの元y_kをf(x_k)=y_k
と定める。fは単射だから、y_kは全て異なる。よってBは少なくともm個の元を
持たなければならないが、これはm>nに反する。
(←の証明)Aの元をx_s(s=1,2,･･･,m)、Bの元をy_t(t=1,2,･･･,n)とすると、
m≦nより、g(x_s)=y_sとなるようなAからBへの写像gを定める事ができる。
このようなgは単射。
⇒の左向きになったやつはないのでしょうか？
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次に、AからBへの全射が存在⇔m≧nを示す。
(⇒の証明)AからBへの全射が存在して、かつm<nとして矛盾を導く。
そのような全射をfとし、Aのm個の元をx_k(k=1,2,･･･,m)、Bの元y_kをf(x_k)=y_k
と定める。y_kは最大でm種類(y_kが全て異なる場合)であるが、fは全射だから
y_kはn種類でなければならない。これは矛盾。
(←の証明)Aの元をx_s(s=1,2,･･･,m)、Bの元をy_t(t=1,2,･･･,n)とすると、
m≧nより、g(x_t)=y_tとなるようなAからBへの写像gを定める事ができる。
このようなgは全射。
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m=nの場合、AからBへの写像fについて単射⇔全射を示せば十分。
Aのm個の元をx_k(k=1,2,･･･,m)、Bの元y_kをf(x_k)=y_kと定める。
fが単射ならば、y_kは全て異なるから、y_kはm種類ある。よって、m=nより
fは全射。
fが全射ならば、y_kはn種類なければならないが、y_kは最大でm種類(y_kが全て
異なる場合)。よって、m=nより、y_kは全て異なる。そのとき、fは単射である。
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