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「集合・位相入門」輪読会
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［(4.1)の証明］
P_1⊂P_2 ならば、すべての b∈f(P_1) に対して
b∈f(P_1) ⇔ ∃a∈P_1(f(a)=b) ⇒ ∃a∈P_2(f(a)=b) ⇔ b∈f(P_2)
が言えるから、f(P_1)⊂f(P_2). （終）
［(4.1)'の証明］
(4.1)で f→f^(-1), P_1→Q_1, P_2→Q_2 と置き換えれば直ちに示される。（終）
［(4.2)の証明］
b∈f(P_1∪P_2) ⇔ (∃a∈(P_1∪P_2))(f(a)=b)
⇔ {∃a∈P_1(f(a)=b)}∨{∃a∈P_2(f(a)=b)} ⇔ b∈f(P_1)∨b∈f(P_2). （終）
［(4.2)'の証明］
(4.2)で f→f^(-1), P_1→Q_1, P_2→Q_2 と置き換えれば直ちに示される。（終）
［(4.3)の証明］
(2.2)'より P_1∩P_2⊂P_1 であるから、(4.1)によって f(P_1∩P_2)⊂f(P_1).
同様して f(P_1∩P_2)⊂f(P_2).
したがって(2.3)'より f(P_1∩P_2)⊂f(P_1)∩f(P_2). （終）
# 等号は必ずしも成立しません。
ex) f が値 b_0 の constant map で P_1∩P_2＝φ の場合、
f(P_1∩P_2)＝φ, f(P_1)∩f(P_2)＝{b_0}.
［(4.3)'の証明］
a∈f^(-1)(Q_1∩Q_2) ⇔ f(a)∈Q_1∩Q_2 ⇔ f(a)∈Q_1 ∧ f(a)∈Q_2
⇔ a∈f^(-1)(Q_1) ∧ a∈f^(-1)(Q_2) ⇔ a∈f^(-1)(Q_1)∩f^(-1)(Q_2). （終）
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