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「集合・位相入門」輪読会
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fをAからBへの写像とするとき、その逆対応 f^(-1):B→A は一般には写像ではありません。
どのような場合にこれが写像となるかについては、次の定理が成立します。
定理4 写像 f:A→B の逆対応 f^(-1):B→A が写像となるための必要十分条件は，
fがAからBへの全単射であることである．またそのとき，f^(-1)はBからAへの全単射となる．
［定理4の証明］
対応 f^(-1):B→A が写像であることは、定義によって、
任意の b∈B に対して、f(a)＝b となるような a∈A がただ1つだけ存在することである。
このとき a_1≠a_2 かつ f(a_1)＝f(a_2) であることはありえないから、
a_1≠a_2 ⇒ f(a_1)≠f(a_2)。よってfは単射。
またこのとき ∀b∈B(f^(-1)(b)≠φ)。よってfは全射。
次に f:A→B を全単射とする。このとき f^(-1):B→A は写像となるが、
その逆対応 {f^(-1)}^(-1)＝f が写像であるから、上の議論から f^(-1):B→A も全単射。 （糸冬）
f:A→B が全単射である場合、定理4によってその逆対応 f^(-1):B→A も写像となります。
これをfの”逆写像”と言います。この場合は写像の記法に従って、
f^(-1)(b)＝{a} の代わりに f^(-1)(b)＝a と書きます。
このとき明らかに f^(-1)(b)＝a ⇔ f(a)＝b。
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