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「集合・位相入門」輪読会
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細かいトコ少しだけ訂正させてください。
f_3(x)=x^3-x。
【f_3が全射であることの証明（やり直し）】
lim[x→∞]f_3(x)＝∞、lim[x→-∞]f_3(x)＝-∞。
つまり ∀y∈R(∃x_1∈R(∀x≧x_1(f_3(x)≧y))), ∀y∈R(∃x_2∈R(∀x≦x_2(f_3(x)≦y)))。
f_3はRからRへの連続写像であるから（p.175以降で扱う）、
閉区間 I＝[x_2, x_1] で中間値の定理を適用できて、
∀y∈R(∃x∈I(f_3(x)=y)), すなわち ∀y∈R（f_3^(-1)(y)≠φ）。
よってf_3は全射。
※中間値の定理
Rの有界閉区間 I＝[a, b] で連続な実数値関数fは、
f(a)とf(b)の間の任意の実数γを値に取る：∃c∈I(f(c)=γ)。
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