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「集合・位相入門」輪読会
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Xを任意の集合とするとき、
その部分集合全体のつくる集合系、すなわち、
Xのすべての部分集合の集合を、Xの巾集合（power set）と言います。
本書ではこれを ℬฺ(X) で表します。
（確か 2^X って表し方もあったと思います）
特に、X＝φの場合、その部分集合はφただ1つだけなので、ℬฺ(φ)＝{φ}。
一般にXがn個の元から成る有限集合のとき、
ℬฺ(X)は 2^n 個の元を持つ集合となります。 …(☆)
［(☆)の証明］ nに関する数学的帰納法で証明する。
n=1 ならば、Xの部分集合はX自身とφの2つのみであるから(☆)は正しい。
次に n≧2 とし、簡単のため X={1, 2, …, n-1, n}、X'={1, 2, …, n-1} とする。
Xの部分集合でnを含まないものは、X'の部分集合であるから、
それらは帰納法の仮定によって2^(n-1)個存在する。
また、Xの部分集合でnを含むものは、X'の部分集合にnを付け加えて得られるから、
それらも2^(n-1)個存在する。
したがって、Xの部分集合は、全部で 2^(n-1)+2^(n-1)=2^n 個存在する。（終）
# これは X＝φ（すなわちn=0）のときも成立します。
ある1つの普遍集合Xの巾集合ℬฺ(X)の部分集合であるような部分集合系
―すなわちXのいくつかの部分集合から成る集合系― を、
一般にXの”部分集合系”と言います。
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