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「集合・位相入門」輪読会
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次です。
f_4(x)=a^x （a>0, a≠1）， f_5(x)=x^2．
について。
f_4: R→R は単射であるが、全射ではない。ｌ
【単射であることの証明】
a>1 ならば x_1＜x_2 ⇔ a^x_1＜a^x_2 ⇔ f(x_1)＜f(x_2)。
0<a<1 ならば x_1＜x_2 ⇔ a^x_1＞a^x_2 ⇔ f(x_1)＞f(x_2)。
いずれの場合も f(x_1)＝f(x_2) ⇔ x_1＝x_2 が成立するから、単射。
【全射でないことの証明】
a>0 のとき ∀x∈R(a^x>0) であるから、
たとえば f_4(x)＝a^x＝0 を満たす x∈R は存在しない。
よって f_4 はRからRへの全射ではない。
f_5: R→R は全射でも単射でもない。
【全射でないことの証明】
∀x∈R(x^2≧0) であるから、
たとえば f_5(x)＝x^2＝-1 を満たす x∈R は存在しない。
よって f_5 はRからRへの全射ではない。
【単射でないことの証明】
たとえば、f_5(-1)＝f_5(1)＝1。よってf_5は単射ではない。
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