◆ わからない問題はここに書いてね ◆ - 1078053072

122：名無し研究員さん：2004/03/21(日) 11:30: 三段目のsomeってsumじゃないんだよね？
123：名無し研究員さん：2004/03/21(日) 11:31: ↑
ゴメソ
四段目のマチガイ
124：名無し研究員さん：2004/03/21(日) 11:47: もしsumだったらこんな感じになると思うんだけどなあ・・・（無責任）
「（私が）5個の時計を設定して、（あなたは）いくつかの時計を進めて5個の時計が同じ時刻をさすようにし、
更に、それぞれの時計の進めた時間の区間を加算するものとする。
私はこの合計ををどの位の大きさにする(させる)ことができるだろうか？
たとえ、あなたがどうその時計を巧妙に操作するにしても。」
125：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/21(日) 13:56: ありがとうございます。
おっしゃるとおりsumの間違いです。
しかし1440でも2880でも違うんだよな～
0でもいいような・・・
ちなみに"不親切極まりない問題"らしいです。
126：こけこっこ：2004/03/22(月) 20:36: f(x)=f'(x) という微分方程式を解くとき，まずはじめに，両辺をf(x)で割りますよね。
そのとき，f(x)≠0 と f(x)=0 で場合分けすることになりますが，
この「f(x)≠0」という意味は，
「任意の実数xに対して，f(x)≠0 が成立する」・・・A
と言う意味なのでしょうか。それとも，
「f(x) は f(x)=0 という定数関数ではない」・・・B
という意味なんでしょうか。

ここで，f(x)≠0 という意味をBの方で解釈した場合について考えます。
このとき，ある実数tに対して，f(t)=0 が成立するときは，
x≠t という条件下においてのf(x)≠0 としなければならないんでしょうか。

勉強していてなんとなく疑問に感じたのでお願いしますです。。
127：こけこっこ：2004/03/22(月) 20:43: ちなみに，旧々課程の「微分・積分」の教科書を持っているんですが，
それによると，なぜか微分方程式の問題では「0で割ってはいけない」
という意識が微妙に薄れた記述がなされています。

(答案)
y=y'
y'/y=1
両辺をxで積分し，logy=x+C (C：積分定数)
・・以下続く
といった感じで，y=0かどうかには触れずに，いきなり両辺をyで割ってしまっています。
当時の高校生だった方々は，現実的にはどういう対応をしていたのでしょうか？
128：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/22(月) 21:00: 黙秘します
129：名無し研究員さん：2004/03/22(月) 21:23: yが高等的に0じゃないときは割ってよいと思う
130：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/22(月) 23:36: 　　　　　　　　　⊂⊃
　　　　　　　　　　∫ 　　・～
　～・　　＿＿＿__ 　　
　　　／￣　 //u　0￣＞
　 ∠|　　　　U　τ　　<　　　
⊂二|　　　　　u│.0＿＞
　　　￣∠／￣ζ＿;:
131：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/22(月) 23:37: >>130
セミナースレどうするんでしょうか？
132：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/23(火) 00:16: >>131
９待ちかと思ってたんですが。
定理の証明俺も考え直してみます。
133：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 00:31: >>132
(4.2)',(4.3)',(4.4)が未解決という認識でよろしいですか？
134：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/23(火) 00:37: あ、えっと(4.2)もです。
135：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 00:44: >>134
あ、(4.3)もですね。
136：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/23(火) 00:55: (4.3)は本に載ってるので問題ないと思うんですが。
いやー、このあたり難しいです・・・
137：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 01:09: >>136
セミナースレの>>338-350の問答を９が納得した時点で解決。
と思ってたもので。。

このあたり、最初の小関門ですかね。
結果についてまとめたら
　　　逆像についてはある程度ラフに扱える
ってことが言えますね。各自で発見すべきことかもしれないけど。
138：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/23(火) 02:01: >>137
こけ氏の質問どうなんでしょう？
実は俺も、そういうもんなんだ、とやりすごしてた所なんですが。
139：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 02:24: >>138
f(x)とf'(x)がxの値に関わらず等しいなら
A={x|f'(x)≠0}とおくとAにおいてf'(x)/f(x)=1です。
で、R-Aにおいてf(x)=f'(x)=0です。
R-A=φなら問題ないわけですよね。
A=φならこの微分方程式の解はf(x)は恒等的に0ですね。
R-A≠φでA≠φのときですが、このときは
R-Aでf(x)=f(0)*e^x、Aでf(x)=0ですがf(0)=0でない限りこのfは
連続性を失う。よってこの微分方程式の解は
R-A=φでf(x)=f(0)*e^xかA=φでf(x)≡0。
R-A≠φ∧A≠φとなることはありえない。

ってかんじかなあ。
140：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/23(火) 02:37: >>139
＞R-Aでf(x)=f(0)*e^x、Aでf(x)=0ですが
R-AとAは逆ですよね？
納得です。
ちゃんと考えると結構難問ですね。
入試でここまで要求されることはないですよね？
141：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 02:47: >>140
あ、失礼。逆です。
＞入試でここまで要求されることはないですよね？
…ない…と思いたいですね。なんだか無駄に厳密にやってる感じだし。
ここを厳密に考えられる力と、変数分離形が解ける力と、どちらが大切か
のバランスを考えたらここまでさせてはいけない気がしますが。
…ちょっと採点基準会議ものかもしれないですね。
「ただし{x|f'(x)≠0}=Rとする」の一言がほしいところです。
142：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/23(火) 02:48: 1つ疑問が・・・
＞Aでf(x)=f(0)*e^x、R-Aでf(x)=0ですが
微分方程式をAで解くっていうのは問題ないんでしょうか？
(Aが不連続(？)でも問題ないんでしょうか？)
143：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 02:55: >>142
ははあ。
Aが連結(まあ区間のことだと思ってください)ならオッケーですね。
Aが区間の和集合の形ときもオッケーと。
Aがディスクリートのとき(有限集合みたいに点がぽつぽつある集合のことだと思ってください)なら
連続性からf(x)≡0のケースになりますね。

ってのは納得いきませんか？
144：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/23(火) 03:10: 納得です。
Aがディスクリートのときはあり得ないんですね。(A=Φになる)
145：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/23(火) 03:17: 微分方程式っていう時点で微分可能なんだから連続性が結構使えるんですね
146：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 03:25: >>144-145
そうですね。
こういうのをもし大学入試で出題するなら、
微分方程式を解くことがメインではない問題で
出してほしいところですね。
　　　　　　　
　　　　　　　　　　微分可能ならば連続

ってのを決まり文句みたいに思ってる人が結構いるかもしれませんが
ちゃんと使えるケースもあるということで。
147：438：2004/03/23(火) 15:33: ちょっとお邪魔させてください。。
実は、本スレ>>445の問題で、9さんの指摘を解決するために>>479の続きとして僕が考えていた
ものは、まさに上で議論されていたことなんですよ。
もしこのことを利用すれば僕の答案の不備は埋まるのでしょうか。
横槍で申し訳ないのですが、どうしても気になったので・・・・

昔の教科書か・・・漏れも見てみたいな・・
148：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 16:45: >>147
では、上の議論を考慮に入れた精密な答案を作成してみてください。
前みたいに(続き)などと書かずに、1からお願いします。
149：438：2004/03/23(火) 17:19: >>148
了解です。自分でもそうしたかったのですが、本スレでは完全な答案を載せるタイミングを
見逃してしまったのでｗ、この機会にまとめたいと思います。

載せる場所はここでよいのでしょうか？とりあえず答案を作成しにいってきます
150：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/23(火) 17:27: >>149
ここでどおぞ。問題文も添えて。
151：438@爆死：2004/03/23(火) 18:35: 自分の議論に致命的な欠陥を発見してしまった・・・

問題は「すべてのxで|f'(ｘ)|≦|ｆ(x)|, f(0)=0を満たしているような微分可能な関数f(x)を求めよ. 」。

僕の基本方針はf'(ｘ)/ｆ(x)=g(x)とおいて両辺積分・・・・というものでしたが、
f'(ｘ)が連続かわからない→g(x)が連続かわからない→g(x)は積分可能かわからない
と言う事態が発覚。
漏れの解き方ではﾀﾞﾒﾎﾟだったようです・・・鬱　＿|￣|○
152：こけこっこ：2004/03/23(火) 20:43: >>Ενταξει先生，LAR-men先生ありがとうございました。
10％ほど理解できた悪寒。
入試ではそれほどの厳密性は要らないぽいですね。。
(教科書がそうなっているように)
そこらへんは常識的に対処していこうと思いました。
153：438：2004/03/24(水) 15:21: 僕の方法でもf'(x)の連続を仮定すればいけるとは思いますが、
やっぱり>>151の問の解法は本スレに書かれていたものが一番エレガントですね。
この問題で実数や関数の連続性といったものに対する認識の甘さに気づかされました。
先生にはいろいろお手数かけてしまいすみませんでした。 m(__)m
154：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/24(水) 15:48: >>153
c.f.>>108-116
155：臺地：2004/03/31(水) 09:17: 何でも、ｆ（ｘ）=Σ[n=0,∞]a^n*cos(b^n*π*x) （0<a<1、bは奇数、ab>1+1.5π）
という関数は各点で微分不可能な連続関数らしい。証明は・・・（畧、か・・・・
156：名無し研究員さん：2004/03/31(水) 10:38: >>155
詳細ｷﾎﾞｿﾇ
157：臺地：2004/03/31(水) 12:50: >>156
本にこの関数が紹介されてたけど、
「・・・この関数は連続であるが、どこの点xを取ってもlim[h→0]f(x+h)-f(x)/h=±∞となって、
微分不可能であることが示される。（この証明は容易でない。証明を知りたい人は～」
と書いてあって証明そのものは他の本に丸投げされてたっつｰことっす。。
158：９ （SpxcWT76）：2004/04/13(火) 20:58: …ふと思い出した。
任意の x∈Q で微分不可能、任意の x∈R－Q で微分可能な関数があった気がする。
ディラック函数だっけ？？？
159：臺地 （qpPuO9q2）：2004/04/14(水) 01:02: >>158
うひ、そんなのも
どの辺の分野で出てきますか？
160：名無し：2004/04/14(水) 09:05: 超関数ですね
161：９ （SpxcWT76）：2004/04/14(水) 21:25: 超関数。。。だったっけ？
162：クウラ：2004/04/15(木) 23:08: 超関数って値が０のところではいたるところ微分可能だったっけ？

とかとぼけてみるテスト
163：９ （SpxcWT76）：2004/04/19(月) 07:50: 前に本スレで出てきましたが、
　　f(x)＝1　(when x∈Q)
　　　　＝0　(when x∈R－Q)
とすると、（要はこれってQの定義関数ですよね）
f は任意の x∈R－Q で微分可能、
任意の x∈Q で微分不可能になりませんか？？？

学校逝っちきます。
164：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/19(月) 11:21: >>163
なりません。

問題にしましょうか？

問題　χ_Q∈R^Rはいかなるx∈Rでも微分可能でないことを示せ.
165：臺地 （qpPuO9q2）：2004/04/19(月) 22:22: >>164
高校範囲で解けますか？
166：９ （SpxcWT76）：2004/04/19(月) 22:30: >>164
ならないんですか。。。じゃあたぶん俺の勘違いですね。
問題、考えてみまつ。
167：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/19(月) 23:24: >>165
極限をどれほど正確に理解してるかによりますが。

ε-δは要りませんが。
168：９ （SpxcWT76）：2004/04/21(水) 00:49: うーん。ε-δも必要ないんですか。。。
169：名無し研究員さん：2004/04/21(水) 00:55: >>168
ええ、
lim[x→a]f(x)=b
の高校生的な定義で十分かと。
170：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/21(水) 00:55: ↑また名前忘れ。
171：n （oBOk1n/o）：2004/04/22(木) 00:10: 今回も簡単でした
172：臺地 （qpPuO9q2）：2004/04/22(木) 00:48: >>164
なんかそもそも連続でない気がするんですが・・・

ある区間でf(x)が連続であるとすると、実数の連続性よりある有理数a,無理数bがあって
f(x)は[a,b]で連続とできる。すると中間値の定理よりf(a)=1とf(b)=0の間の
任意の実数cに対して、f(x)=cとなるxが存在することになるが、これはf(x)の定義に矛盾。
よってf(x)は∀x∈Rで不連続、よって微分不能。
173：приезд(☆4) （DTxrDxh6）：2004/04/22(木) 02:09: >>172
＞ある区間でf(x)が連続であるとすると、実数の連続性よりある有理数a,無理数bがあって
＞f(x)は[a,b]で連続とできる。

この部分を詳しく書いてください。
174：臺地 （qpPuO9q2）：2004/04/22(木) 18:02: 検索したところ、
①実数の任意の開区間は必ず有理数を含む。
②実数の任意の開区間は必ず無理数を含む。
と言う定理がありました。

f(x)が(p,q)で連続とすると、①を用いてp<a<qなる有理数aが存在し、
②を用いてa<b<qなる無理数bが存在することがわかります。
[a,b]⊂(p,q)よりf(x)は[a,b]で連続・・・

↑の証明は大学の範囲なので、
よくわかってないのに使うな!といわれればおしまいなんですけど、高校範囲なら
直感的に書いても大丈夫じゃないかなと思ってやってしまいました・・・
175：９ （SpxcWT76）：2004/04/23(金) 06:44: そうか！！fは連続関数ではないのか！！！
こんな感じじゃダメですか？？？

Qの定義関数
　　f(x)＝1　(when x∈Q)
　　　　＝0　(when x∈R－Q)
について、任意のx∈Rでfは不連続である。

［証］　x_0∈R を任意の定数としたとき、
x_0に収束する有理数列、x_0に収束する無理数列（こんな言い方しますか？）が
共に存在するので、それらの数列によってxをx_0に限りなく近づければ、それぞれ
　　lim[x→x_1, x∈Q]f(x)＝1, lim[x→x_1, x∈R－Q]f(x)＝0.
となる。その極限値が異なるので、fは不連続。
176：приезд(☆5) （DTxrDxh6）：2004/04/28(水) 17:03: >>175
それでオッケーです。
下から二行目のx_1はx_0ね。

できたらx_0が有理数の時と無理数の時に分けて
x_0に近づく有理数列と無理数列を実際に構成する方が
親切な説明かもしれませんね。
177：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/01(土) 00:27: >>175
そおか、それなら項広範囲っすね・・・流石
結局不連続ってことでＦＡ？
178：９ （SpxcWT76）：2004/05/01(土) 00:36: >>176
x_0∈Q の場合、
a_n:＝(x_0)[(10^n)√2]/{(10^n)√2}　([・]はGauss記号)　とすれば
これはx_0に収束する無理数列。

x_0∈R－Q の場合、
a_n:＝[(x_0)(10^n)]/(10^n)　([・]はGauss記号)　とすれば
これはx_0に収束する有理数列。

こんな感じでおｋでしょうか？？

>>177
任意のx∈Rで不連続ってことになるね。
179：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/01(土) 00:44: なる！！
その型の数列、ver11.0の最初でも見ましたね・・（て言うかもっと前に出てきたんでしたっけ）
ところでそのスレの>>39って未解決じゃないですか？ふと気になってみた
180：приезд(☆5) （DTxrDxh6）：2004/05/03(月) 05:30: >>179
ver12.0あたりで解決したような、してないような…
181：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/03(月) 08:47: なるほどそうなのでつか
つかぬことを申しましたm(_ _)m
182：приезд(☆5) （DTxrDxh6）：2004/05/04(火) 01:37: >>181
問題そのものに対するちゃんとした回答は得られてないので
再掲しておきましょう。
臺地くんたちの挑戦を期待して。。。

問題
αを正の実数とする。
αが有理数であるための必要十分条件は
「どんな自然数の組(p, q)に対してもp, qに無関係な自然数nで
{α｝∩( (q/p) , ((q (1/n))/p) )=Φ
となるものが存在する。」
であることを証明せよ。
183：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/11(火) 16:38: 返事遅れて申し訳ありません。いえ決して問題をスルーしようとしていたのではなく、
問題を「≠Φ」のままで解釈していたため「また題意が把握できない・・・orz」と言う状況
に陥ってました・・。・・・やっぱり言い訳にしか聞こえないですね（謝
今から気を取り直して取り組みたいと思います。。
184：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/13(木) 01:15: だめだﾜｶﾝﾈｰ○|￣|＿

考えたこと：
α∈Q⇔∀(p,q)∈N^2;∃n∈N〔{α｝∩(q/p , (q＋(1/n))/p) =Φ〕を示す
必要性はnを十分大きく取れば示せる。
十分性は、対偶：￢(α∈Q)⇒∃(p,q)∈N^2;∀n∈N〔{α｝∩(q/p , (q＋(1/n))/p)≠Φ〕
を示せばよい。しかし大きなnに対してやはり=Φとなる・・・・・破綻

どの部分の解釈がまずいのでしょうか
185：приезд(☆5) （DTxrDxh6）：2004/05/13(木) 02:05: >>184
>>182の日本語と>>184の論理式は同じじゃないですね。
186：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/13(木) 17:17: >>185
やはりそうでつか・・・問題文の意味を把握できていないようです。
特に「p, qに無関係な自然数n」ってのが頭に引っかかって・・・・
これって「ある自然数ｎが定まり、全てのp,qで～」ってことでしょうか？
すると命題は
α∈Q⇔∃n∈N;∀(p,q)∈N^2〔{α}∩(q/p , (q＋(1/n))/p) =Φ〕
かなぁと思ったのですが・・・・
187：приезд(☆5) （DTxrDxh6）：2004/05/13(木) 18:10: >>186
その通りでございます。
188：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/16(日) 20:38: では突撃。

α>0のもとで
α∈Q⇔∃n∈N;∀(p,q)∈N^2〔{α}∩(q/p , (q＋(1/n))/p) =Φ〕を示す。

（必要性）
q/p>=αのとき明らかに{α}∩(q/p , (q＋(1/n))/p) =Φだからq/p<αの時を考える。
αは有理数だからα=b/aとおけて、q/p<b/a,bp-aq>0。ここで
q＋(1/n))/p<=b/a⇔n>=a/(bp-aq)・・・①(>0)で、bp-aqは自然数だから十分大きなnをとれば
任意のp,qに対して①が成立。
このときq/p<q＋(1/n))/p<=α、つまり{α}∩(q/p , (q＋(1/n))/p) =Φ。
以上より{α}∩(q/p , (q＋(1/n))/p) =Φ。

（十分性）
対偶：￢(α∈Q)⇒∀n∈N;∃(p,q)∈N^2〔{α}∩(q/p , (q＋(1/n))/p)≠Φ〕
　　　　　　　　　　⇔∀n∈N;∃(p,q)∈N^2{q/p<α<(q＋(1/n))/p}・・・②を示す。
ここで、αとしては0<α<1をみたす無理数を考えればよい。

┃∵0<α<1なるαに対して②が成立しているとする。
┃この場合各nに対してq/p<α<(q＋(1/n))/pを成立させている(p,q)=(p_0(n),q_0(n))とおくと、
┃各nに対してp=p_0(n),q=q_0(n)＋p_0(n)*[α]と定めることにより、
┃全ての正の無理数αで②が成立することが分かる。

(�)n=1のとき
任意の自然数kに対してI_k=(1/(k＋1),1/k)とすると、0<α<1なる無理数αはすべて
∪[k=1,∞]I_kにふくまれる。∴∃k;I_k∋α⇔∃k;(1/(k＋1)<α<1/k<=2/(k＋1))。
よってp=k 1,q=1と定めていくと②が成立。

(�)n>=2のとき
J_m=(k/m,(k＋1)/m)とする。（mは任意の自然数で、kは1<=k<=m-1を満たす自然数）
α>0だから∃m;J_m∋α。ここでα∈J_m⇒∃(p,q)∈N^2;{q/p<α<(q＋(1/n))/p}を示すが、
それにはk=1の時のみ示せばよい。
(∵q pkを改めてqと置きなおせばk>=2の場合もOK)
そこで1/m<α<2/m⇒∀n∈N;∃(p,q)∈N^2;{q/p<α<(q＋(1/n))/p}を示す。

(p,q)=(m,1),(mn,n＋1),・・・・,(mn^r,��[i=0,r]n^i)・・・・(無限に続く)・・・・・として得られる
開区間(q/p,(q＋(1/n))/p)の全ての和集合を取ると、これに含まれているαの満たす条件は
α∈(1/m,1/m＋1/mn)∪(1/m＋1/mn,1/m＋1/mn＋1/mn^2)∪・・・・・
・・・∪(��[i=0,r]1/mn^i,��[i=0,r＋1]1/mn^i)∪・・・・・
⇔α∈(1/m,1/m＋1/mn＋1/mn^2)・・・・・・(∵αは無理数)これを繰り返して
⇔α∈(1/m,��[r=0,∞]1/mn^r)=(1/m,1/m＋1/m(n-1))

(1/m,1/m＋1/m(n-1))及び、
(p,q)=(m(n-1),n),・・・・,(m(n-1)^r,��[i=0,r](n-1)^i)・・・・(無限に続く)・・・・・として得られる
開区間(q/p,(q＋(1/n))/p)の全ての和集合を取ると、これに含まれているαの満たす条件は
上と同様に計算してα∈(1/m,��[r=0,∞]1/m(n-1)^r)=(1/m,1/m＋1/m(n-2))。

以下同様にしていくと、α∈(1/m,1/m＋1/m(n-3)、α∈(1/m,1/m＋1/m(n-4)・・・・・・
・・・・・α∈(1/m,1/m＋1/m(n-n 1)=(1/m,2/m)がわかる。
∴1/m<α<2/m⇒∀n∈N∩(1,∞);∃(p,q)∈N^2;{q/p<α<(q＋(1/n))/p}
∴α∈J_m⇒∀n∈N∩(1,∞);∃(p,q)∈N^2;{q/p<α<(q＋(1/n))/p}
mは任意であり、J_m∋αなるJ_mが必ず存在するので、
結局α∈(0,1)⇒∀n∈N∩(1,∞);∃(p,q)∈N^2;{q/p<α<(q＋(1/n))/p}

以上(�)(�)より②が示された。

∴α∈Q⇔∃n∈N;∀(p,q)∈N^2〔{α}∩(q/p , (q＋(1/n))/p) =Φ〕□
189：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/16(日) 20:42: やたら長いのは作文能力ないからでつ・・・・ora

あと文字化けしてますね・・
(�)は(i)、(�)は(ii)のつもりでした
190：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/05/17(月) 00:32: 　　　　　　　　　　　　　　人
　　　　　　　　　　　　　（＿_）
　　　　　　　　　　　　（＿＿）
　　　　　　　ｳﾝｺｰ　　(・∀・,,）
　　　　　　　　　　　　O┬O　)
＿|￣|○　　ｷｺｷｺ　◎┴し'-◎ ≡

　　人　　　　　　　　
　（＿_）　　　　　　　　　　　　　　（,,・∀・)
　（＿＿）　　　　　　　　　　　(　O┬O
＿|￣|○i|!　　　　　　　　　≡ ◎-ヽJ┴◎ 　ｷｺｷｺ
191：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/17(月) 00:48: ヽ( ・∀・)ﾉｳﾝｺｰ
192：приезд(☆5) （DTxrDxh6）：2004/05/18(火) 18:31: >>188
長らくお待たせ。

(必要性):十分大きなnとは実際には何ですか？
その値の算出が困難でないのなら構成しといたほうがよいかと。

(十分性):言いたいことは伝わったのですが
n≧2のときはどうにかして書く順序を逆にしたほうがいいでしょうね。
つまりα∈(1/m,2/m)⇒∃q/p;α∈(q/p,(q (1/n))/p)がよく見えるような
順序で。
193：臺地 （qpPuO9q2）：2004/05/18(火) 20:57: 拙い答案見ていただき感激です・・・

必要性：a＋1以上の自然数ですね。わざわざ限定する必要もないかなと思って省略してました

十分性：頭の中で考えたことをそのまま答案に表したらこうなっちゃいました。。。
これでも結構ふんばったんですが、自然な流れで
α∈(1/m,2/m)⇒∃q/p;α∈(q/p,(q＋(1/n))/p)
を示すにはどう書いたらよいか混乱してしまって・・・・再挑戦の余地有りですね。。

ともかく時間割いて頂きありがとうございました！！
194：こけこっこ：2004/06/20(日) 19:39: [ｔ大スレの過去問]
a,b,cは相異なる数、x、y、zは連立方程式
x+ay+a^2*z=a^3,x+by+b^2*z=b^3,x+cy+c^2*z=c^3
の根とするとき、a^3+b^3+c^3をx、y、zで表せ。

この問題、ほとんどの人は↓のように解くと思います。

＞a，b，cはtに関する3次方程式 t^3-zt^2-yt-x=0 の3解であるから，
＞解と係数の関係より，a+b+c=z，ab+bc+ca=-y，abc=x．
＞∴ a^3+b^3+c^3=(a+b+c){(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)}+3abc=3x+3yz+z^3・・・答

でも，t^3-zt^2-yt-x=0 という3次方程式は実数係数の方程式とは限りません。
複素数係数の方程式に解と係数の関係を用いて，大減点(記述式の場合)される
可能性ってありますか？
この問題の場合、特に「a,b,cは相異なる数」っていう条件が書いてあるので
出題者の意図は「0で割らないことに注意して真面目に連立方程式解けや(ﾟДﾟ)ｺﾞﾙｧ!!」
という風に感じたのです。

「複素数係数の方程式にも解と係数の関係は使える」
「複素数係数の2次方程式にも解の公式は使える」
この２つが数学的に正しいことは既成事実として知っていますが、
これを果たして記述式で堂々と既知のこととして振舞ってもいいのかだろうか？
という疑問です。特に上記の問題のような場合、どういうふうに採点されるんでしょうか？
195：名無し研究員さん：2004/06/21(月) 01:47: >>194
複素係数でも成り立つんだから使ってOKに決まってるやん。
196：こけこっこ：2004/06/21(月) 04:38: >>195
おはやうございます。

使っても大丈夫ですたか（´Д｀;）。。意味ないことを心配し杉ですたね。
197：臺地 （qpPuO9q2）：2004/06/21(月) 08:50: 恒等式
a(x-α)(x-β)=ax^2+bx+c(a≠0)が成立する条件は
x,a,b,cが実数でも複素数でも同じってことでおｋでは？

n次方程式が必ず重複をこめてn個の解を持つことは・・流石に認めてもらえるでしょうし
ていか前俺が出した問題じゃん(＾-＾;)
198：名無し研究員さん：2004/06/21(月) 12:59: >>194
なぜ「a,b,cは相相違なる数」との条件が課されているのかよく考えてみよ。
199：名無し研究員さん：2004/06/21(月) 21:55: ３次方程式の解と係数の関係は、
(x-α)(x-β)(x-γ)=0
⇔x^3-(α+β+γ)x^2+(αβ+βγ+γα)x-αβγ=0
から導かれるけど、ここでα,β,γには実数とか複素数とかの制限を課してないから、
もちろん実数でも複素数でも成り立つ。

”複素数係数で断らないといけないのならば、実数係数でも断らないといけない”のではないだろうか。
でも、”実数係数で断らなくていい”は（おそらく）真なので、対偶を取って、
”実数係数で断らなくてもいい　ならば　複素数係数でも断らなくてもよい”
ということになると思う。
200：こけこっこ：2004/06/21(月) 22:51: >>197-198
ありがとうございます。。
Σ(ﾟДﾟ)！！438氏は台地氏？

>>199
なるほど。。。対偶のところが素晴らしい（´Д｀;）。。
よくわかりました。ありがとうございます
201：Renaissance(☆6) （DTxrDxh6）：2004/06/21(月) 22:58: 臺地くんは438というHNで今年の三月七日、
ver[5e]で９マンスレデビューしました。
202：臺地 （qpPuO9q2）：2004/06/22(火) 15:22: >>200
ver[5e],[10√2]はあまりレスを読んでないですね？（￣ー￣）ﾆﾔﾘｯ

>>201
なんかそんな風に言われると恥かしくなってきまつね(^-^;)
203：こけこっこ：2004/06/26(土) 15:04: 本スレ155の[1]が解けません＿|￣|○
途中まで考えたのでカキコしておきます

[問題]f(x)(x≠０)は実関数で、次の条件を満たしている。
(イ)f(xy)=f(x)f(y)
(ロ)f(x)≠０
(ハ)f(x)は連続関数である
(ニ)f(x)は奇関数である
f(x)を求めよ。
204：こけこっこ：2004/06/26(土) 15:04: ｆ（ｘ）は奇関数であるから、以下ではf(x)の定義域をｘ＞0として考える。
（イ）でｙ＝ｘとすると、f(x^2)={f(x)}^2＞０．（∵（ロ)より、ｆ（ｘ）≠０）
よって、任意の正の実数ｔに対して、ｆ（ｔ）＞０であるから、ｆ（ｘ）＞０．
このとき、ｇ（ｘ）＝log{ｆ（ｘ）} (x＞0) とおけて、
任意の正の実数ｐ、ｑに対して、g(ｐｑ)=g(ｐ）+g(ｑ)となる。(∵（イ））
ここで、ｐ＝e^s、ｑ＝e^t (s、ｔは任意の実数）として、
ｇ（e^s)=h(s) とおけば、ｈ（ｓ＋ｔ）＝ｈ（ｓ）＋ｈ（ｔ）・・・☆

任意の実数ｓ、ｔで☆が成立し、ｈ（ｓ）は連続な実数値関数だから、
☆の式から、ｈ（ｓ）={ｈ（１）}ｘ＝〔log{f(e）}〕＊ｓ　と定まると思う。
この場合ｈ（ｓ）が微分可能なら証明はできるけど、ｈ（ｓ）が微分可能であるか
どうかは分からないので確証は持てません（´Д｀;）

で、ここの証明がクリアできれば、
ｘ＞０のとき、ｆ（ｘ）＝ｘ^〔{log{f(e)}〕になる。
log{f(e)}=ｋとおけば、ｆ（ｘ）＝ｘ＾ｋ（ｘ＞０）、ｆ（ｘ）＝－ｘ＾ｋ（ｘ＜０）
かなと思った。
205：臺地 （qpPuO9q2）：2004/06/26(土) 18:14: 漏れはこう考えました。ノートないので雑です・・・

ｆ(ｘ)は奇関数だからとりあえずｘが正のときを考える。ｘ>0のとき、f(x)=｛f(√x)｝^2＞0。
ｆ(1)=1。m,nを整数としてf(x^(n/m))=f(x)^(n/m)。

ある1以外の正の実数αに対し、f(α)=α^rとなる実数rが存在する。有理数qをとる。
x=α＾qに対し、f(x)=α＾(rq)=x＾r。任意の実数pに収束する有利数列q_kが存在し、
この点列に沿って極限を取るとlim[k→∞]f(x＾q_k)=lim[k→∞](x^q_ｋ)^r=(x^p)^r。
一方f(x)の連続性より、k→∞つまりx^q_k→x＾pのとき
lim[k→∞]f(x＾q_k)=lim[x^q_k→x＾p]f(x＾q_k)=f(lim[x^q_k→x＾p]x＾q_k)=f(x＾p)。
∴f(x＾p)=(x^p)^r。p=log{x}yとして、f(y)=y^r。

f(y)=y^r(y>0),f(y)=-y^r
206：臺地 （qpPuO9q2）：2004/06/26(土) 18:15: おっと

f(y)=y^r(y>0),f(y)=-|y^r|(y<0)　か
207：名無し研究員さん：2004/06/27(日) 06:03: >>204
h(x)の連続性で証明できます。牛涎日暮の問題07（3）。
208：臺地 （qpPuO9q2）：2004/06/27(日) 07:36: おお、確かに。。
>>204
(･∀･)ｶｺｲｲ!方法ですね。。f(x+y)=f(x)+f(y)まで直せるとは思わなかったorz
209：名無し研究員さん：2004/06/27(日) 15:22: >>207
9manスレでも昔出てきてます。
準同型で連続な関数がy=axに限られることの証明。
210：n厨：2004/06/27(日) 17:08: 【1】は
ｆ(x)=
|x|^k,x>0
-|x|^k,x<0
となります
211：こけこっこ：2004/06/27(日) 21:36: >>207
とても勉強になりました。
でも難しいＹＯ～。定石としてとりあえず暗記したので，
あとで少しずつ考えてみます。

>>210
あ・・絶対値が付きますね（´Д｀;）。。
問題ありがとうございました。
212：名無し研究員さん：2004/07/27(火) 06:43: age
213：我疑う故に存在する我：2004/10/16(土) 09:44: .　　　　　　　 ,ｲ' /／ .::::／:::::::! .／ /　 /　　 ,ｲ! 　 l:|Lﾘﾚ／ィﾘ　ｌ　iﾄ　　 j!
　　　　　　　/ i /　.::::::./:::::::::;: ﾚ〃/　〃　.:/ ,ｲ|　ｌｌ j!　　マl!l　 |　ハ　/
　　　　　　 ,'　|　　.:::　,':::::::::::;ｒj/ l l : : :jｌ:: _,.レ!Ｈ-､|i |　　　〉　 l　 l ／
　　　　　　 |　 !　　::　::::::::::://i　,! l ::.:::| !:::ﾉl,.=ﾄ､| :::|i |　　_,.//.:〃::::!.:::|l
　　　　　　ｌ　 l　　:　 ::::::::::ﾘ/l ,ﾊ ,ｒ, ::::|ハr「:ﾊﾉl ヽ ! ヽ　_ノヽｧｿ::::/::/:ﾘ
　　　　　　　　ﾚ　 !　 ::::::;ｲ/ !/　! {ヽ､ i　ﾘ{o:::ﾘ　　　　 /じ} /:::／:ソ::ﾉ
　　　　　　　　 !　　 i　::::::し! l/ 　＼_,.ヾ　　￣　　　　　{ソ'ｿ／_／／
　　　　　　　　,'　　　|　::::::::!/　　.::::::/::}ヽ　　　　　　__ '　´ / 　　　　
　　　　　　　 /　　 .::l　::::::::/　　 .::::/::/,. -ヽ､　　　　　 _／
i　　　　　 ,.ィ /　..:::/: .::::::/　　..:::::/／　　　＼ _,.. ィi:::!:|
ゝ､_　 _,／/ /　..::〃::::::::/　 ..:::::; '/!　　　　　　ヽ:::::::l::::ﾄl
. ヽニ -ｧ /　..:::,' i::::::::/　..::::;ｒ' ./ |l　　　　　　　　';::::::l ハヽ、
　　　　,'　i　..:::/::::!::::;ｒ ..::::／::::/　 !l　　　　　　　　 V/　　|! ｀`ー'　　馬鹿レイナ
　　　　{i ,' .:::〃:::::ﾚ'　.:／:::::::: !　　|l　　＼　　　　　ヽ､　ﾘ
　　　　ゝ| .:::i :::::;ｒ　.／.::::::::::/l　　 |_!　　　 ',.　　　　 ', ヾ､
　　　　ヽ ::ｌ:: ::/ ／ ..::::::::::/:::|　　 !　ヽ､　　'､　　　　 ',　ヽ
　　　　　',　|!:/ /　 .: .:::::::/::::::l　 /　　　 ` ーヽ　　　　ヽリ
　　　　　ヽV 〃　.:　:::::/::::::::::レ　_,. -─ ''　'' ヽ　　　　 V
　　　　　　 /ﾚ! 　.:　::: ,'::::::::::::::レ'　　　　　　　　＼　　　ヾｰ- ､_
　　　　　 /ｲ!　　　 :: :l::::::::::::::::|!　　　　　　　　　　ヽ　　　　Vヽ　ﾞi
　　　　　 ,'　|!　　　 :: :|::::::::::::::l:::!　　　　　　　　　　i ヽ　　　　! ﾘ　　|
　　　　　 !　 |i　　　 :　l::::::::::::::l:ﾘ　　　　　　　　　 /!　ヽ.__　ノ　|!　　',
214：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/26(火) 00:02:07: >>126-127
今こそその質問を解決してみる
y=y'の場合で考えます。まず、その教科書のように大らかに両辺yで割って
積分して出た解y=Ce^x(Cは0以外の実数)をu_0とします。∀x∈R；u_0≠0です。
で、他の形の解があるかもしれないと仮定して、その解をuとおいてみます。
u_0=u_0'・・・①、u=u'・・・②。
ここでd/dx*(u/u_0)を計算してみると、なんと0になることがわかります！
実際、
(u/u_0)'=(u'u_0-uu_0')/u_0^2　←これに①、②を代入して
=(u*u_0-u*u_0)/u_0^2=0です。

すると、u/u_0=A(Aはxに無関係の定数)⇔u=A*u_0と書けることがわかります。
つまり、y=y'の解の中で、「y=Ce^x(Cは0以外の実数)」と書けないものは、
∀x∈R；y=0(yが恒等的に0)の場合だけなのです。

結局、y=y'⇔y=Ce^x(Cは任意の実数)というわけです。
あとは一点での値(初期値)を指定すれば完全に関数が確定します。
215：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/26(火) 00:09:10: y=y'とかは「初期値問題」の特別な場合らしいです。初期値問題では、
①解は積分を使って具体的に書ける
②初期値問題の解は存在して一意に決まる
そうです。この辺りはよくわかりません。

なんで急にこんなこと書いたかというと(一年以上も前の話なのに・・・)、
授業で出てきたからです。決して俺が自分で思いついたからではないです。。
こけ氏が帰ってきてたのでノリでやりました。すみません。
216：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/05/22(日) 04:49:28: 1 名前：ももんがZ 投稿日： 2005/05/06(金) 16:27:04

有限集合の部分集合は、有限集合であることを数学的帰納法で証明できますか？
デキル人にはできるんでしょうね・・。誰かへるぷみー。。たすけてください
217：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/05/22(日) 04:49:54: 2 名前： Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）投稿日： 2005/05/06(金) 23:53:45

>>1
#A=0とするとA=Φ.Φの部分集合はΦのみ.#Φ=0なので,#A=0のとき,Aの部分集合はみな有限集合.
#A=nであるAの部分集合が皆有限集合であるとし,#B=n+1とすると,B≠ΦなのでBには少なくともひとつの元
が存在する.その元をbとする.
帰納法の仮定より2^(B-{b})のすべての元は有限である.
(2^B)-(2^(B-{b}))={C|C∈2^B,b∈B}であるがこの集合の元Cに対してC-{b}は2^(B-{b})の元であるので
これは有限集合.よってCはC-{b}と{b}に直和分割されるので#C=#(C-{b})+1<アレフ_0.即ちCも有限.

ですかね。

えと、当研究所では単発質問のためのスレッド
◆ わからない問題はここに書いてね ◆
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078053072/
をちゃんと用意していますので、次からはそこへどーぞ。

というわけで、このスレッド、消していい？返事ください。
返事があってもなくても、
この>1と>>2だけを上のスレに写して削除しますけど。
219：Phiz：2006/05/18(木) 19:10:41: はじめまして。「問題」ではありませんが、本を読んでいてわからない
部分があったので、質問させて下さい。場違いであれば、そう言って
下さって結構です。

岩波基礎数学選書の「群論」（近藤武）３２ページ(1.17)についてです。

版によって、多少ページ番号が違うかもしれませんが、例1.14の
「４元数型の群」に続く部分です。因みに、今手元にあるのは2002年発行
のものです。

(1.17)の３つ目の式：b^(-1)ab＝a^r　
がなぜ満たされるのか分からなくて困っています。r^2≡1 (mod m)
の条件が必要になる気がするのですが、どうなのでしょうか？
同じ理由により、(1.17)の６行下にある(鄯)式も分からずにいます。

もう数週間考えたのですが、流石に時間をとられすぎなので、どなたか
この本を読んだ方がいれば、教えてくださいm(_ _)m
220：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/05/18(木) 23:20:15: >>219
よおこそ。
場違いでは全然ありませんが、
できれば本を持ってない人にも分かるように書いてもらえないでしょうか。
それでもお答えできないかもしれませんが。
221：Phiz：2006/05/19(金) 14:34:13: わかりました。多少、ごちゃごちゃしそうですが…。

次のような群 Z(m,n,r,k) を構成することを考えます。

構成法：Z(+) ＝{n∈Ｚ|n≧0}（Ｚは整数全体の集合）, rを任意の整数
として、Ｚ×Z(+)の上に、
(i, j)(i', j')＝(i＋i'r^j, j＋j') ((i, j), (i', j')∈Ｚ×Z(+))
によって演算を定義すると、Ｚ×Z(+)は単位元(0,0)を持った半群となる。
（わかりにくいかもしれないので、注意しておくと、i'r^jは、i'×ｒ^j
です…そのままですが…。）

さらに、m, n, k を整数で次の条件が満たされているものとする：
m＞0, n＞0, rk≡k (mod m), r^n≡1 (mod m).
（kは正でなくても構いません）

このときＺ×Z(+)の上の関係：
(i,j)～(i', j') ⇔ j－j'≡0 (mod n), k(j－j')/n ＋i－i'≡0 (mod m).
（２つのmod が違うことに注意）は、補題1.2の条件を満たす半群Ｚ×Z(+)
の上の同値関係である。

｜＜補題1.2＞Ｓは単位元１を持った半群で、Ｓの上に次の条件を満たす
｜同値関係～が与えられているとする：
｜(鄯) x～x', y～y' ⇒ xy～x'y'
｜(鄱) Ｓ∋∀x, Ｓ∋∃x', xx'～1
｜このとき、この同値関係による商集合[S]＝Ｓ/～は演算を自然に定義
｜して群となる。
｜
｜[一応、証明]　Ｓ∋x に対して、xを含む同値類を[x]で表す。このとき、
｜[S]∋[x],[y] に対して
｜(*)　　[x][y]＝[xy]
｜によって[S]の上に演算を定義することができる。それには、この演算の
｜定義が同値類の代表元のとり方によらないこと、すなわち
｜ [x]＝[x'], [y]＝[y'] ⇒ [xy]＝[x'y']
｜を確かめねばならないが、上の条件(鄯)はこれが成り立つことにほかなら
｜ない。Ｓは半群であるから、[S]のこの演算も結合法則を満たす。また[1]
｜は[S]の単位元であり、条件(鄱)は[S]の各元が逆元を持つことを示す。
｜したがって、[S]は演算(*)に関して群になる。　□

したがって補題1.2により、半群Ｚ×Z(+)の上の、この同値関係による
商集合は群となる。これを Z(m,n,r,k) と書くことにする。
（ようやく構成が終わりました…）

ここで、a＝[1,0]（＝(1,0)を含む同値類）, b＝[0,1]とおくと、
a,b は関係：
(1.17) b^n＝a^k , a^m＝1 , b^(-1)ab＝a^r .
を満たすことが直接の計算で確かめられる。

…と書いてあったのですが、(1.17)の３つ目の式が満たされることが
示せません。ab＝ba^r を示そうとやってみたのですが…。

また、さらに↓

『関係(1.17)をみたすような任意のa' , b'を考える。すなわち、a', b'は
(b')^n＝(a')^k , (a')^m＝1 , (b')^(-1)(a')(b')＝(a')^r
を満たす。今、a' , b'から生成される群G'＝<a' , b'>と、
写像ｆ：Ｚ×Z(+) → G'　　（ f((i,j))＝(a')^i(b')^j ）を考えると、
fは、半群Ｚ×Z(+) から G'の上への準同型：
(☆)　f((i,j)(i', j'))＝f((i,j))f((i', j'))
である。』

(☆)の成立が示せずに困っています。

以上、必要と思われることは全て書いたつもりですが、何か不明な点など
あるようでしたら、その旨お伝え下さい。

この疑問点が気になって、全く先に進めない状況なので、ご協力お願い
しますm(_ _)m
222：あしぺた：2006/05/19(金) 20:35:12: 紙を使わず暗算しただけですが

たしかにr^2≡1 (mod m)が示される必要がありますね

b^(-1)ab = (1/r,0)
a^r = (r,0)

ですよね。これらが同値であるにはr^2≡1 (mod m) であることが必要。

う～ん、ちょっと考えましたがr^2≡1 (mod m)を示すことが出来るかは分かりませんでした。

まあ数学書は間違いがあって当たり前ということにそろそろお気づきでしょうけど、
やはり気になりますよねえ。。
223：Phiz：2006/05/19(金) 22:07:24: >>222
＞b^(-1)ab = (1/r,0)
え～と…分数の1/r が出てくるのはまずい気がしますが、自分では
ab＝[1, 1] , ba^r＝[r^2, 1]
となったところで、[1, 1]＝[r^2, 1]が言えずに困っていたので、
本質的な部分は同じです。レスありがとうございます。

＞数学書は間違いがあって当たり前
そうですね…。間違いであることも疑ってみたのですが…。
本文中には、Z(m,n,r,k)に関連した問や例も出てくるのですが、
それらも全てr^2≡1 (mod m) に関しては書いていないので、
う～ん…と思っているところでした。

間違っているとしても、どこを間違いとして処理すればいいのだろう
という悩みもあり…他の本も見てみたのですが、Z(m,n,r,k)に相当する
群は書いていなかったので、単にr^2≡1 (mod m)を条件に入れれば
いいだけなのか、別の部分が間違っているのかすら分かりません。
う～む…。

あ、質問して終わりというのも悪いので、一応、自己紹介（？）を
しておきます。あまり詳しく書くと、すぐに身元が割れそうなのですが、
所属は東大の物理学科です。よろしくお願いします。
224：あしぺた：2006/05/19(金) 23:21:28: >>223

物理なのに、岩波講座基礎数学の群論にまで手を広げているなんて勉強熱心ですね
2年生くらいかな？

私は4年数学科、大学は内緒＾＾；
こちらこそよろしくお願いします。
225：Phiz：2006/05/19(金) 23:38:31: >>223

将来、数理物理の方面に行きたいので、数学もやっています…が、
実験などに時間をとられた結果、あまり進んでいません（泣）。
思う存分数学ができる生活に憧れます…。
226：Phiz：2006/05/19(金) 23:39:47: >>224　の間違えでした…。
227：Phiz ◆Oudnx64fmo：2006/05/22(月) 21:44:12: ふとひらめいて、かすかな期待を抱きつつ、図書館へ…。
問題の本の問題の箇所を見てみる。

１冊目…表紙からして綺麗な状態。予想通り、役に立たず。
２冊目…薄汚れた表紙。いけるかも、と思いページをめくると…

書き込みを発見！！

『(i, j)(i', j')＝(i＋i'r^{(n-1)j}, j＋j') と定義するとうまくいく。』

感激した瞬間でした…。
う～ん、演算の定義を変更することまでは考えなかった…。

どこの誰だか知らないけど、ありがとうっ！！
でも書き込みはダメだようっ！！
228：あしぺた：2006/05/22(月) 22:59:01: いいアイデアですね。
やっぱり本が間違ってたんだろうね。
さすがT大、気の利いた書き込みありなんて。
229： ◆ZFABCDEYl.：2006/05/27(土) 23:50:16: うーん・・・

∫[0,1]sin(2√(1-x^2))dx って計算可能ですか？
230：うどん ◆csFiRniTeg：2006/06/11(日) 14:13:09: f(x)を実係数のn次の整式とし、すべての実数xに対して、f(x)≧0とする。
このとき、すべての実数xに対し、f(x)+f'(x)+・・・+f^(n)(x)≧0で
あることを示せ。(f^(k)(x)はf(x)のk次導関数を表わすとする)

お願いします
231：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/06/11(日) 22:34:27: >>230
できますた。
一応高校範囲で厳密に示せますよ。
232： ◆ZFABCDEYl.：2006/06/11(日) 22:57:33: >>231

さすがは神！
教えてください！！

x=sinθとおくと
∫[0,π/2]{sin(2cosθ)}cosθdθ
になりますよね・・。この後∫[0,π/4]と∫[π/4,π/2]とで分けるのかなあ
とは思ったんですけど実行はしてないという。解けない気がしちゃって挫折
してたんです。
233： ◆ZFABCDEYl.：2006/06/11(日) 23:03:00: tan(θ/2)=tとおいても解けなかったので途方に暮れておりました。
近似値解でもいいから知りたいです。
この積分計算はｔ大作悶スレの問題の計算途中で出現した式なんです。
ここで詰まっておりました。
234： ◆ZFABCDEYl.：2006/06/12(月) 21:48:10: レス番勘違いしてしまいました・・。
すみません！
235： ◆ZFABCDEYl.：2006/06/12(月) 21:50:18: うどん氏の問題解けません!!!
先生教えてください!

にしてもこの問題はじめて見ました。
236： ◆ZFABCDEYl.：2006/06/12(月) 21:53:02: うどん氏が解けないってことは僕が解けるはずなかろうて・・。

f(x)={g(x)}^(2m) + a (mは負でない整数、a≧0) とおくのかなあと。
237：いうおい様信者：2006/06/18(日) 01:53:04: 最近引きこもり化しつつあります。

>>230
f(x)を実係数のn次の整式とし、すべての実数xに対して、f(x)≧0とする。
このとき、すべての実数xに対し、f(x)+f'(x)+・・・+f^(n)(x)≧0で
あることを示せ。(f^(k)(x)はf(x)のk次導関数を表わすとする)

g(x)=f(x)+f'(x)+・・・+f^(n)(x)と置く。
すべての実数xに対して、f(x)≧0であることから
f(x)のn次の項はax^nとかける。（a>0かつnは偶数）
したがってg(x)のn次の項の係数もax^nであり、g(x)は最小値のみをもつ。

g(x)は整式であるので最小値ではg'(x) = 0となっていなければならない。
g'(x) = 0のm個の解（ただしmはm<nである負でない整数）をそれぞれ
x1,x2,x3…,xmとすると、
g(x1) = f(x1) + g'(x1) ≧0
同様にしてg(x2),g(x3),…,g(xm)≧0
最小値でg(x)≧0が示されたから、全てのxについてg(x)≧0がいえる。
Q.E.D
238：あしぺた：2006/06/20(火) 09:55:16: >>237
引きこもりしてる割には冴えてますね！
いろいろやりましたがその解法でしか出来ませんでした
239：Je n'ai pas de nom!：2006/06/20(火) 21:59:29: 重積分で出てくる変数変換の公式って二次元のときはグリーンの定理で示せるけど
n次元のときはどうやって示せばいいか教えてください
240：あしぺた：2006/06/21(水) 01:09:59: >>239
杉浦先生の解析入門Ⅱにありますよ
難しいですよ
241： ◆ZFABCDEYl.：2006/06/22(木) 00:43:30: >>237
神

>>238
生きてた・・Σ(ﾟДﾟ)

＃今日はテスト勉強をした！
かしこさが１あがった！

さすがぁ（＾∀＾ヾ
242：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/08/29(火) 18:58:31: 投下

算数のテストに１００人が参加し、第一問～第五問の五問が出題されました。各問題の正解者は、
第一問９２人、第二問は８６人第三問は６１人、第四問は８７人、第五問は５７人でした。
このテストでは５問中３問以上正解の人を合格者としました。
合格者は最も少ない場合で何人ですか。
243： ◆ZFABCDEYl.：2006/08/30(水) 06:27:27: 受験生100人を2^5=32個の枠1，2，・・・，32に分類する。

[1][2][3][4][5][6][7](8)
[9][10][11](12)[13](14)(15)(16)
[17][18][19](20)[21](22)(23)(24)
[25](26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)

このうち，[ ]の番号に分類された人は合格者(￣ー￣)。
( )の番号に分類された人は不合格者(´；ω；`)。

[1] + [2] + [3] + ・・・ + (32) = 100

[1] + [2] + [3] + [4] + [5] + [6] + [7] + (8) + [9] + [10] + [11] + (12) + [13] + (14) + (15) + (16) = 92

[1] + [2] + [3] + [4] + [5] + [6] + [7] + (8) + [17] + [18] + [19] + (20) + [21] + (22) + (23) + (24) = 86

[1] + [2] + [3] + [4] + [9] + [10] + [11] + (12) + [17] + [18] + [19] + (20) + [25] + (26) + (27) + (28) = 61

[1] + [2] + [5] + [6] + [9] + [10] + [13] + (14) + [17] + [18] + [21] + (22) + [25] + (26) + (29) + (30) = 87

[1] + [3] + [5] + [7] + [9] + [11] + [13] + (15) + [17] + [19] + [21] + (23) + [25] + (27) + (29) + (31) = 57

を満たす非負整数[1],[2],・・・,(32)において，
[1]+[2]+[3]+[4]+[5]+[6]+[7]+[9]+[10]+[11]+[13]+[17]+[18]+[19]+[21]+[25]
の最小値を求める。

(32)の大きさから考えるのかな。
244：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/01(金) 22:49:21: 俺は65人だと思うんだけど、答え分かる？＞真の出題者ﾗﾒﾝ氏

不合格者を最大にすることを考える。
100人*5問の解答状況は○：383個、×：117個
不正解は、第一問8人、第二問14人、第三問39人、第四問13人、第五問43人
100人のうち、×を3つ以上持つ人を出来るだけ多くしたい。まず、それは117/3=39(人)を超えない。

次に、不合格者は第三問と第五問を両方間違ってると考えてよい。
なぜなら、第三問か第五問を正解している不合格者Aがいると仮定する。
すると、第三問か第五問でAと同じ問題を間違っている合格者Bがいる。
そこでその問題について、Aの○と、Bの×とを入れ替えても不合格者数は不変。
この作業をくりかえせばよい。

この下で不合格者数が最大になるのは、
8人が第一三五問だけ不正解、14人が第二三五問だけ不正解、13人が第三四五問だけ不正解になる場合。
したがって不合格者数の最大値は35人、合格者数の最小値は65人。
245： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/01(金) 23:18:38: >>244
さすが数学家じゃ！！
不合格者が第三問と第五問を両方間違ってる理由が良く分からなかった
どの設問の正解者にも合格者と不合格者が混在しているから32個の
ブロックのどこを塊にして動かせばよいかが分からなかったです
246： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/01(金) 23:22:42: あれ？ラメ神が出題者だったとは・・。
247：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/01(金) 23:45:54: >>245
合格者は39人以下で、③と⑤の不正解者が39人以上ってことを使ってます。
不合格者で、たとえば③を正解している人がいたら、③の39個の×を不合格者に配分していくときに、
×が少なくとも1個合格者の方に「あぶれる」はず。⑤についても同じ(まあこっちは43個でもともとオーバーしてるけど)。
鳩ノ巣原理って言うんだっけ？
248： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/01(金) 23:51:48: ああそうかぁ。そこに気づけなかった。

さすが東大エリート学生じゃな(￣酈￣)
249：ﾗﾒﾝ氏：2006/09/02(土) 00:25:19: >>244
正解です。流石。
250： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/02(土) 23:00:19: この問題，数値を変えるととても微妙になりますね。
どこをどうやっても鳩ノ巣にひっかからないような数値調整が
できるというか。あとこの問題で面白いと思ったことは
合格者と分散の関係。
251： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/02(土) 23:13:10: 入試の理想は得点分布グラフに２個の山ができてその間の谷で分ける
のが（･∀･）ｲｲ!と聞いたことがある。
この問題の受験生の数を３２人にしていろいろ条件を変えたりすると
何か面白いネタが出来そうなお棺ですな。
252： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/15(金) 03:24:20: ああそうだ。ついでだからこの場で数学の質問を
させていただきたいのですが、
253： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/15(金) 03:44:43: 直線y=mxと曲線y=f(x)が異なる2点(α,f(α)),(β,f(β))で交わっていて
y=mxとy=f(x)で囲まれる部分を直線y=mxのまわりに回転してできる立体の
体積をVとします。2006/08/19 の問題を自作して気づいたんですが、
垂線を下ろして積分する方法を使うと，体積Vは

V=〔π/{(m^2+1)√(m^2+1)}〕*∫[α,β]〔{f(x)-mx}^2*{1+mf'(x)}〕dx

となりますが、傘型分割公式を使うと
V={π/√(m^2+1)}*∫[α,β]{f(x)-mx}^2dx
となります。m=1/2，f(x)=sinx とすると確かに両者の値は一致します。

つまり、
〔π/{(m^2+1)√(m^2+1)}〕*∫[α,β]〔{f(x)-mx}^2*{1+mf'(x)}〕dx={π/√(m^2+1)}*∫[α,β]{f(x)-mx}^2dx
が成り立つはずだから、
∫[α,β]〔{f(x)-mx}^2*f'(x)〕dx = m*∫[α,β]{f(x)-mx}^2dx
という式が成り立つはず。そこで疑問なんですが、
この式は図形的に何か背景のある式でしょうか？？
あとこの式はどんなf(x)やmでも成り立ちますかね？
254： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/15(金) 03:45:55: まだ質問を思いついただけの段階で、計算していないので
煮詰めた段階で質問したわけではないのですが、よろしくお願い致します。。
255： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/15(金) 03:57:22: 以前、受験前に先生が曲面(円錐)の表面積を求める問題を下さったとき、
表面積の近似の仕方で悩んだことがあったんです。それと同じで
傘型分割の公式の正当性については自分のなかでは消化していなかった
ことに気づきました。面積や体積を求める際の近似の入れ方はとても
難しいので、受験生当時から今現在に至っても自分のレベルは、
完全に「正しいとされる」方法だけを模倣して適用するレベルです。
つまり、自分から積極的に新しく「近似の仕方」を考えて
解く段階には至ってないのです。これは志賀浩二の微積本にも
載っていないので、面積や体積を求める時の「近似の入れ方」と
その正当性の確認方法をマスターしたいのです。
256：ﾗﾒﾝ：2006/09/15(金) 20:45:18: >>255
解法の探求Ⅱに載ってるお
257：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/15(金) 22:45:46: >>253
とりあえず、
＞∫[α,β]〔{f(x)-mx}^2*f'(x)〕dx = m*∫[α,β]{f(x)-mx}^2dx
これは、移行して積分記号の中にすべて式を入れてしまえば、
等式が成立することが置換積分ですぐわかるよ。
258： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/16(土) 00:33:56: >>256
お。ありがとうございます。

>>257
その等式を示すことで傘型分割の公式が示されるんですね。
そこらへんをまとめればちょっとした証明問題になりますね。
259： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/16(土) 00:44:05: ∫[α,β]〔{f(x)-mx}^2*f'(x)〕dx = m*∫[α,β]{f(x)-mx}^2dx
の証明。

左辺-右辺
=∫[α,β]〔{f(x)-mx}^2*{f'(x)-m}〕dx
=[(1/3){f(x)-mx}^3][α,β]
=(1/3){f(β)-mβ}^3 - (1/3){f(α)-mα}^3
=(1/3)*0^3-(1/3)*0^3
=0 (∵ f(β)=mβ，f(α)=mα)

であるから，逆算していけば傘型分割の公式は確かに正しい。
うーんでも何かしっくりしない・・。
260： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/16(土) 00:49:06: まあ確かにこういうふうに逆算的に考えれば
傘型分割の公式の正当性についてはいちおう納得はできますね。
まあそれで良しとするかな・・。
261： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/16(土) 00:57:49: ていうかやっぱ別にどうでもいいことなのかも。
曲線y=f(x)から直線y=mxに下ろした垂線の足を
集めて回転させても、傘型図形の側面積を集めて
積分してもどっちでも同じだよってことなんだな。やっぱ。

受験生的には前者の考え方の方が馴染みがあるから
敢えて傘型分割の概念を導入する必要はないってことか。
同じ結果になるわけだし，それだったら何も難しい近似を入れる必要は
ないというか。
262：ﾗﾒﾝ：2006/09/16(土) 00:58:02: ＞面積や体積を求める時の「近似の入れ方」と
＞その正当性の確認方法をマスターしたいのです

これ載ってるお
263： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/16(土) 01:47:05: >>262
ぐお！買うしかないですな(￣ー￣)
264：ﾗﾒﾝ：2006/09/21(木) 17:15:26: http://www2.ic-net.or.jp/~takaken/game/index.html

WATTA Freak stage4　わからない・・・orz
265：&lrm;：2006/09/21(木) 20:32:38: テスト
266：ﾗﾒﾝ：2006/09/21(木) 22:10:34: 全クリアー

ｷﾀ━━━ヽ(ﾟ∀ﾟ)ﾉ━( ﾟ∀)ﾉ━(　　ﾟ)ﾉ━ヽ(　　)ﾉ━ヽ(ﾟ　　)━ヽ(∀ﾟ )ﾉ━ヽ(ﾟ∀ﾟ)ﾉ━━━!!
　　　　　　　へ　)　　 (　　ノ　　(　　)ﾉ　　 (　　)　　　へ　)　　　へ　) 　　へ　 )
　　　　　　　　　>　　　　>　　　　<　　　　　 <　　　　　　　<　　　　　 >　　　　　 >
267：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/09/29(金) 22:56:56: ∫[0→∞]exp(-x^2)dxを極座標を用いないで求めたいのですが、、、
268：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/29(金) 23:17:15: >>267
「スレにおける未解決問題。」
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1092449075/l100
の序盤参照。ぎりぎり高校範囲の模様。
ちなみに、動機は？
269：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/09/29(金) 23:53:01: なんとなく
置換積分を駆使してやりましたが挫折しますた
それどういう風に参照すればいいのか分かりません
270：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/09/30(土) 00:19:47: 悪い、間違えた
「東大」「数学」「補完」
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1081779039/
の97からを見てみてください。
271：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/09/30(土) 00:30:13: なるほどぉ
挟み撃ちか　確かに発想としては自然ですよね。勉強になります多。
じゃあ俺は別の方法を模索することにします
272：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/09/30(土) 23:51:16: Oを原点とするxy平面に２個の格子点P,Qをとり、三角形OPQを作る。
(1)三角形OPQの最小値が1/2であることを示せ
(2)三角形OPQが鋭角三角形であるとき、
　 |↑OP|^2=p、|↑OQ|^2=q、(↑OP)･(↑OQ)=rとおく。
(i)p>rを示せ
(ii)三角形OPQの面積の最小値が3/2であることを示せ。

昔やった問題です
当時(鄱)がうまくできなくて又改めてやってみてもうまくできませんでした（汗）
273：Je n'ai pas de nom!：2006/10/01(日) 04:27:07: OPQの面積は1/2、1、3/2となっていくので
1/2のときと1のとき鋭角にならないこと示して
3/2のとき鋭角になる組み合わせがあることを示すっていうのはどうでしょう
274：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/01(日) 14:20:14: 模範解答では（鄯）をうまく利用していた記憶があるんですが
275：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/02(月) 19:54:03: >>272
省きまくりですが
p,q,rは自然数でp>r,q>r.r>0。p=r+a、q=r+bとおく(a,bは自然数)。pq-r^2>4を示せばよい。
pq-r^2=ar+br+ab。a=b=r=1の場合がありえないのでこれは成立。等号成立確認は容易。
模範解答はもっと上手い？
276：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/03(火) 00:26:27: あーそんな感じだったと思います
どうも。
277：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/03(火) 00:33:01: というかp=r+1 q=r+1って置いてやった跡があるし
278：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/05(日) 23:48:57: Π[k=1～m]4[sin{kπ/(2m+1)}]^2=？
これってどうやれば、、、
279：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/06(月) 00:06:34: (1+x/n)^n-(1-x/n)^nを級数展開してそして無限積展開してxの項の係数比較したら
できました。数学的な妥当性が怪しいですが。
それ以外の方法は考えられますかね？
280：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/06(月) 00:17:17: まあ某参考書を読んでたらたまたまこのことが書いてあったんですがｗ
281：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/11/06(月) 01:47:28: 倍角の公式と正(2m+1)角形を使って、2m+1
282：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/11/06(月) 13:57:10: 勘違いorz
283：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/06(月) 19:05:00: !と思ったらレスが
複素平面ですかね？
>倍角の公式と正(2m+1)角形を使って、2m+1

f(z)=z^(2m+1)-1と置けばf(z)=0の解はz=exp(-2πki/(2m+1)){k=0,1,2,..,2m}
だからf(z)=(z-1)Π[k=1～2m][z-exp{2πki/(2m+1)}]=(z-1)(z^(2m)+z^(2m-1)+・・・+1)
z=1からf(z)=0のz=1以外の解までの距離は2sin{kπ/(2m+1)}
対称性からF(z)=Π[k=1～2m]|z-exp{2πki/(2m+1)}|=Π[k=1～m]|z-exp{2πki/(2m+1)}|^2=(z^(2m)+z^(2m-1)+・・・+1)
|1-exp{2πki/(2m+1)}|がz=1からf(z)=0のz=1以外の解までの距離2sin{kπ/(2m+1)}に他ならないので
F(1)=Π[k=1～m]4[sin{kπ/(2m+1)}]^2=2m+1■

こんな感じですかね
勘違いはしていない気はしますが、、、
284：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/06(月) 19:10:32: >>281のレスの正2m+1角形でピンときました。さすがweapon氏
ピントはずれだったらすみませんが
weapon氏も複素平面使いましたか？
285：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/06(月) 22:19:18: おひさです
>>279
某参考書(大学入試用？)のそのやり方が気になるので、よかったらもう少し詳しく書いてみてくれませんか？

あーそれと「問題作るスレ」の内接円の問題、完全にギブなんでこっちも気が向いたらでいいんで、
あっちのスレに解答載せてくれると嬉しいです。
286：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/07(火) 00:48:58: >>285
↑のとややかぶります。
関数f(z)=z^(2m+1)-1を考えてf(z)=0の解はz=exp(-2πki/(2m+1)){k=0,1,2,..,2m}
これより
f(z)=(z-1)Π[k=1～2m][z-exp{2πki/(2m+1)}]
=(z-1)Π[k=1～m][z-exp{2πki/(2m+1)}][z-exp{-2πki/(2m+1)}]
=(z-1)Π[k=1～m][z^2-2zcos{2πk/(2m+1)}+1]
そして
(1-x/(2m+1))^(2m+1)*f({1+x/(2m+1)}/{1-x/(2m+1)})
={1+x/(2m+1)}^(2m+1)-{1-x/(2m+1)}^(2m+1)・・・①
=2x/(2m+1)*Π[k=1～m]2{1-cos(2πk/(2m+1))}{1+x^2/(2m+1)^2*{(1+cos(2πk/(2m+1)))/(1-cos(2πk/(2m+1)))}
=2x/(2m+1)*Π[k=1～m]4{sin(πk/(2m+1)}^2*Π[k=1～m]{1+x^2/(2m+1)^2*{(1+cos(2πk/(2m+1)))/(1-cos(2πk/(2m+1)))}・・・②

ここで①をべき級数で展開すればxの項は2になって、②の方は2/(2m+1)Π[k=1～m]4{sin(πk/(2m+1)}^2
なのでΠ[k=1～m]4{sin(πk/(2m+1)}^2=2m+1になります。
ちなみに参考書は大学入試用ではなくて大学の参考書です。
287：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/07(火) 00:49:53: 例の内接円の問題も近いうちに解答を書きます。
288：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/07(火) 00:54:52: 図形的な考察を全然してなかったので複素平面が頭になかったのが原因ですねｗ
複素平面で考える方が全然自然で楽なのに、、、ｗ
289：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/08(水) 09:42:55: >>286
どうもありがとう。恒等式
z^(2m+1)-1=(z-1)(z-α)(z-α^2)・・・(z-α^2m)；α=cos(kπ/2m+1)+isin(kπ/2m+1)
にz=({1+x/(2m+1)}/{1-x/(2m+1)}を代入して係数比較を行った感じですね。
それだけでΠ[k=1～m]4{sin(πk/(2m+1)}^2=2m+1が示せたのはビクーリ。
級数も積も有限個にしか展開していないから、「数学的な妥当性」は全然問題ないんじゃないの？

そういえば、参考までに、n/2^(n-1)=sin(π/n)sin(2π/n)・・・sin((n-1)π/n)を示せって問題が
北大に出てました。
290： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/08(水) 22:39:46: >>289

>n/2^(n-1)=sin(π/n)sin(2π/n)・・・sin((n-1)π/n)

ひぇぇぇ・・
すごくカビ臭い(旧課程臭がする)問題じゃ(´Д｀;)
291：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/08(水) 23:33:06: >>290
旧課程って～1996の？～2005の？
北大の誘導は、、一応新課程でも範囲内だったような。
ていうか確かこの大学2年連続で範囲外の問題出したからまたやりかねないなｗ
292： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/09(木) 00:30:30: >>291
～2005のほうです。
～1996のほうはあまり知らないです・・

北大の過去問は一回も見たことがないので良く分かりませんが
いかｓかの80年代後半～90年代前半の過去問はすごいユニークです。
英語と数学がくっついていたり，物理と数学がくっついていたり。
しかも物理は微分方程式まで出ているわ，化学はいつも範囲外だわで。
それでひとつの結論を得ました。
293：geen：2006/11/09(木) 00:37:02: >>291
臺地さんは毎年の入試問題をチェックしてるのですか？
294： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/09(木) 00:42:12: 「この学校は英数だけできればおｋ」
295： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/09(木) 00:43:21: >>293
すみからすみまで。
296：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/09(木) 01:02:15: >>292
やりたい放題ｗ
制限時間つきじゃなかったら面白いだろうけど、高々2時間程度でやらせるのは地獄だな

>>295　ちげーよｗｗｗｗ

>>293
数年分持ってる大数で特集されてる問題はざっと見たから、記憶に残っているのも結構あるんで。
297： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/10(金) 01:09:21: >>296
またまたぁ
298：green：2006/11/15(水) 04:55:32: >>296
なるほど
299：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2007/02/28(水) 23:03:01: 半径が1の球を互いに平行なn-1枚の平面で体積が等しいn個の立体に
分割する。この時n-1枚の断面の円の面積をSn.1,Sn.2,…,Sn.n-1と
する時lim(n→∞){1/(n-1)}Σ(k=1～n-1)Sn.kの値を求めよ。

これうまく解けないです、、、
300：たま ◆U4RT2HgTis：2007/03/01(木) 23:34:44: 不等式でまじめに評価すると長くなるので，適当に。
中心を原点にとり，球の体積をVとおく．
x=tで球をきった断面積をS(t)とすると，S(t)dtは平面x=tとx=t+dtで
挟まれた部分の微小体積の表す．
このことから，nが十分大きいときx=t～t+dtにある等体積分割平面の個数は
S(t)dt/(V/n)と近似できる．よって，
lim(n→∞){1/(n-1)}Σ(k=1～n-1)Sn.k
=lim(n→∞){1/(n-1)}∫[-1,1]{S(t)}^2/(V/n)dt
=(∫[-1,1]{S(t)}^2dt)/V
=224π/45

ちゃんと評価するならば，[-1,1]を等間隔分割したときの各区間に入る
等体積分割平面の個数を不等式で評価．Sn.kも区間の端の面積で挟んでおいて，
limの式を挟み撃ち。
このとき、等間隔分割に対して等体積分割の分割数が十分大きくないと
個数の評価が甘くなるので，その辺だけ注意すればちゃんと示せると思いますよ。
301：リンゴ：2007/04/20(金) 11:52:28: P（E1∩E2∩…∩Eｎ）＝P（E1）P（E2｜E1）P（E3｜E1∩E2）×…×P(Eｎ｜E1∩E2∩…∩Eｎ－１)
の証明を教えて下さい。
302：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/04/20(金) 22:44:04: 帰納法じゃね、とあまり考えずにレスしてみる。
303：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/04/21(土) 00:02:25: 右辺を条件付確率の定義に則って計算したら自然に左辺と一致する。

って書いたらだめなんですかね。
304： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/15(金) 22:02:21: 数列の極限値の問題で頻出する典型的な難問は，そのほとんどが，
「lim[n→∞]a(n)=α のとき，lim[n→∞]〔n{α-a(n)}〕を求めよ」
といったタイプの∞×0型だと思います。

a(n)が三角関数ネタに絡んでいたり，f(x)=1/x の凸不等式を使ったりと
その内訳は多岐にわたるけど。

そこで僕がふと思ったことは，

a(n)={(1/n)Σ[k=1,n]f(k/n)}-∫[0,1]f(x)dx (n=1，2，3，・・・)

という数列です。もちろん，lim[n→∞]a(n)=0 です。このとき，lim[n→∞]{n*a(n)}・・・★
はどうなりますか？

大昔の受験板とか質問スレに出てきたこのタイプの問題を見てると，
どうやら★は常に収束しそうな気がしてならないんです。
305： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/15(金) 22:03:28: 以前，「a(n)=Σ[k=1,n]{1/(k+n)}のとき，lim[n→∞]〔n{(log2)-a(n)}〕を求めよ」
って問題が質問スレにありました。これは長助流に y=1/x の凸性を利用した
面積比較の不等式を作って，はさみうちの原理より1/4に収束することが分かります。
で，気づいたんだけど，このlog2っていう値は∫[0,1]{1/(x+1)}dxに等しいんですよね。

だから，この問題は
「f(x)=1/(x+1) として，数列{a(n)}を a(n)=∫[0,1]f(x)dx-(1/n)Σ[k=1,n]f(k/n) で定めるとき，
lim[n→∞]{n*a(n)} を求めよ．」
っていう風に言い換えられるんです。
そこで★の極限値を一般化できないかなと考えたんです。
306： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/15(金) 22:09:56: そこで，定積分の基礎を根底から考えていくと，
本には
(k-1)/nとk/nの区間ζ(x)の代表値をとると
その極限値はこの代表値の取り方によらず，常に収束し
これを定積分の値としています。（wikiで調べたら
正確にはリーマン積分というみたいだけど。。）
このとき，区間⊿でとる代表値を極端に偏らせても定積分は
１つの値に定まるのだから，★は収束するんじゃないかと考えました。
307： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/15(金) 22:15:11: もしお受験公式化できれば受験生としてはロピタルみたいに簡単に計算
できるからいいんじゃないかと思った次第です。慶應とかで便利そうというか。
私大医学部は答えがあってればかなり点を貰えるとか聞くわけでして。もちろん
国立は論述に厳しいから，お受験公式は一切使えないけど。
308： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/17(日) 20:23:31: 条件付きだけど一般化できた。

すべての実数xに対して，f'(x)，f''(x)，f'''(x)が存在して，かつ，
f'''(x)が連続ならば，
a(n)={(1/n)Σ[k=1,n]f(k/n)}-∫[0,1]f(x)dx (n=1，2，3，・・・)
に対し，
lim[n→∞]{n*a(n)}=(1/2){f(1)-f(0)}になりました。
これを使うと長助流の不等式を使わなくてもおｋですね。ただ
f(x)の満たすべき条件がきつくなるけど。
309： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/17(日) 20:26:17: lim[n→∞]{n^2*a(n)}もlim[n→∞]{n^3*a(n)}もおんなじ感じで
一般化できそうですな・・。
310： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/17(日) 20:42:18: >>308の訂正。

「f(x)(x≧0)は負でないすべての実数xに対して，f'(x)，f''(x)，f'''(x)が存在して，かつ，
f'''(x)が連続ならば，」
でした。f(x)=1/(x+1)が代表例かな。
311： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/17(日) 23:20:15: すみません。再訂正

x≧0を定義域とする連続関数f(x)が第一次導関数f'(x)，
第二次導関数f''(x)を持ち，かつ，f''(x)が連続ならば

です・・。

です。
312： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/18(月) 03:42:58: すみませぬ。自作していて，分からない箇所が出てきてしまいました。

n，kを 1≦k≦n を満たす整数とし，(k-1)/n≦x≦k/n を定義域とする
連続関数f(x)の最大値をM(k)，最小値をm(k)とする．
このとき，lim[n→∞]{m(1)+m(2)+・・・+m(n)}/n^2=0，
lim[n→∞]{M(1)+M(2)+・・・+M(n)}/n^2=0
が成り立つことを示せ．

これ，本当に成り立つかどうか分からないですが，
うまい証明方法があれば教えてください。
313：Je n'ai pas de nom!：2009/10/07(水) 03:36:34: >>312
ε-δつかわずにできるのかなあ。
「一様連続」とか「有界単調列は収束」とかをつかっていいなら…。

f(x)は[0,1]で連続だから,一様連続.
よって
man{M(1)-m(1),…,M(n)-m(n)}<(1/n)
とでき,
0≦[{M(1)-m(1)}+…{M(n)-m(n)}]/n≦(1/n)
よって
lim[{M(1)-m(1),…,M(n)-m(n)}/n]=0……★.

{{M(1)+…M(n)}/n},{{m(1)+…+m(n)}/n}はともに有界単調列ゆえ
収束する.
★より両者は同じ値に収束する.
{m(1)+…m(n)}/n≦{f(1/n)+…+f(n/n)}n≦{M(1)+…+M(n)}/n
より
lim{{M(1)+…M(n)}/n}=lim{{m(1)+…+m(n)}/n}=∫[0→1]f(x) dx
よって
lim{{M(1)+…M(n)}/n^2}=lim{{m(1)+…+m(n)}/n^2}=0.
314：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2009/10/07(水) 03:37:09: あ、313は僕。
315：Je n'ai pas de nom!：2009/10/26(月) 23:36:04: lim[n→∞]{m(1)+m(2)+・・・+m(n)}/n
も
lim[n→∞]{M(1)+M(2)+・・・+M(n)}/n
も有限値。
よって自明。
316：Je n'ai pas de nom!：2009/12/05(土) 01:09:18: 次の問題がわからないので教えてください。

凸多角形を底面とする角錐が与えられた時、
角錐をその頂点を中心とする小さい半径の球面Sで切ると、
切り口は球面上の凸多角形となることを示せ。

よろしくお願いします。
317：Je n'ai pas de nom!：2011/05/07(土) 18:11:12: 模範解答の途中に

　sin(60°-x)+sin(120°-x)
=2sin(90°-x)*cos(-30°)

という変形があったのですが、どのようにして導いているのか検討が付きません。
加法定理でぐちゃぐちゃやってみたのですが分からなくなってしまいました。
お願いします。
318：Je n'ai pas de nom!：2011/05/11(水) 20:36:17: 和積
319：Je n'ai pas de nom!：2011/05/23(月) 06:41:43: 次の問題で質問があります．

楕円x^2/9 + y^2/4 = 1 から直線x+2y=7までの最短距離を求めよ．

自分の解答

楕円上に点P(a,b)をとったとき，点Pと直線x+2y=7の距離d(a,b)は，
d(a,b)=|a+2b-7|/√(a^2+b^2)　　　　（ただし，a^2/9 + b^2/4 = 1　…①）
d(a,b)が最小となるときは，線分が点Pにおいての楕円の法線の一部になるとき，
すなわち点Pにおいての接線が直線x+2y=7と平行になるときである．
接線の方程式はax/9 + by/4 = 1 ⇔ y=(-4a/9b)x + 4/b なので，
x+2y=7⇔y=(-x/2)+7/2と傾きをくらべて，4a/9b = 1/2 ⇔ 8a=9b　…② を得る．
①，②を解くと
(a,b)=(9/5,8/5)
mind(a,b)=d(9/5,8/5)=|9/5+16/5-7|/(√(81+64)/25)=2√145/29

となりましたが，①，②を解いたときに(a,b)=(-9/5,8/5)なども出てきます．
でも図で確認してみると，それらは正しくありません．
どのようにしてそれらを不適と示せばよいのでしょうか．
また，自分の解答のプロセスは合っていますか？？少し自信がありません．
320：Je n'ai pas de nom!：2011/05/23(月) 19:06:03: 2chにて、点と直線の距離が違っていることを教えていただきました。
321：Je n'ai pas de nom!：2011/05/23(月) 20:02:36: 結局このようになりました。

楕円上に点P(a,b)をとったとき，点Pと直線x+2y=7の距離d(a,b)は，
d(a,b)=|a+2b-7|/√(1^2+2^2)=√5|a+2b-7|/5　　　　（ただし，a^2/9 + b^2/4 = 1　…①）
d(a,b)が最小となるときは，線分が点Pにおいての楕円の法線の一部になるとき，
すなわち点Pにおいての接線が直線x+2y=7と平行になるときである．
接線の方程式はax/9 + by/4 = 1 ⇔ y=(-4a/9b)x + 4/b なので，
x+2y=7⇔y=(-x/2)+7/2と傾きをくらべて，4a/9b = 1/2 ⇔ 8a=9b　…② を得る．
①，②を解くと，(a,b)=(±9/5,±8/5)
ここで，(-9/5,-8/5)は最大距離の点にあたる．
よって，mind(a,b)=d(9/5,8/5)=√5|9/5++16/5-7|/5=2√5/5