◆ わからない問題はここに書いてね ◆

237：いうおい様信者：2006/06/18(日) 01:53:04: 最近引きこもり化しつつあります。

>>230
f(x)を実係数のn次の整式とし、すべての実数xに対して、f(x)≧0とする。
このとき、すべての実数xに対し、f(x)+f'(x)+・・・+f^(n)(x)≧0で
あることを示せ。(f^(k)(x)はf(x)のk次導関数を表わすとする)

g(x)=f(x)+f'(x)+・・・+f^(n)(x)と置く。
すべての実数xに対して、f(x)≧0であることから
f(x)のn次の項はax^nとかける。（a>0かつnは偶数）
したがってg(x)のn次の項の係数もax^nであり、g(x)は最小値のみをもつ。

g(x)は整式であるので最小値ではg'(x) = 0となっていなければならない。
g'(x) = 0のm個の解（ただしmはm<nである負でない整数）をそれぞれ
x1,x2,x3…,xmとすると、
g(x1) = f(x1) + g'(x1) ≧0
同様にしてg(x2),g(x3),…,g(xm)≧0
最小値でg(x)≧0が示されたから、全てのxについてg(x)≧0がいえる。
Q.E.D

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