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◆ わからない問題はここに書いてね ◆

188臺地 </b><font color=#FF0000>(qpPuO9q2)</font><b>:2004/05/16(日) 20:38
では突撃。

α>0のもとで
α∈Q⇔∃n∈N;∀(p,q)∈N^2〔{α}∩(q/p , (q+(1/n))/p) =Φ〕を示す。

(必要性)
q/p>=αのとき明らかに{α}∩(q/p , (q+(1/n))/p) =Φだからq/p<αの時を考える。
αは有理数だからα=b/aとおけて、q/p<b/a,bp-aq>0。ここで
q+(1/n))/p<=b/a⇔n>=a/(bp-aq)・・・①(>0)で、bp-aqは自然数だから十分大きなnをとれば
任意のp,qに対して①が成立。
このときq/p<q+(1/n))/p<=α、つまり{α}∩(q/p , (q+(1/n))/p) =Φ。
以上より{α}∩(q/p , (q+(1/n))/p) =Φ。

(十分性)
対偶:¬(α∈Q)⇒∀n∈N;∃(p,q)∈N^2〔{α}∩(q/p , (q+(1/n))/p)≠Φ〕
          ⇔∀n∈N;∃(p,q)∈N^2{q/p<α<(q+(1/n))/p}・・・②を示す。
ここで、αとしては0<α<1をみたす無理数を考えればよい。

┃∵0<α<1なるαに対して②が成立しているとする。
┃この場合各nに対してq/p<α<(q+(1/n))/pを成立させている(p,q)=(p_0(n),q_0(n))とおくと、
┃各nに対してp=p_0(n),q=q_0(n)+p_0(n)*[α]と定めることにより、
┃全ての正の無理数αで②が成立することが分かる。

(�)n=1のとき
任意の自然数kに対してI_k=(1/(k+1),1/k)とすると、0<α<1なる無理数αはすべて
∪[k=1,∞]I_kにふくまれる。∴∃k;I_k∋α⇔∃k;(1/(k+1)<α<1/k<=2/(k+1))。
よってp=k 1,q=1と定めていくと②が成立。

(�)n>=2のとき
J_m=(k/m,(k+1)/m)とする。(mは任意の自然数で、kは1<=k<=m-1を満たす自然数)
α>0だから∃m;J_m∋α。ここでα∈J_m⇒∃(p,q)∈N^2;{q/p<α<(q+(1/n))/p}を示すが、
それにはk=1の時のみ示せばよい。
(∵q pkを改めてqと置きなおせばk>=2の場合もOK)
そこで1/m<α<2/m⇒∀n∈N;∃(p,q)∈N^2;{q/p<α<(q+(1/n))/p}を示す。

(p,q)=(m,1),(mn,n+1),・・・・,(mn^r,��[i=0,r]n^i)・・・・(無限に続く)・・・・・として得られる
開区間(q/p,(q+(1/n))/p)の全ての和集合を取ると、これに含まれているαの満たす条件は
α∈(1/m,1/m+1/mn)∪(1/m+1/mn,1/m+1/mn+1/mn^2)∪・・・・・
・・・∪(��[i=0,r]1/mn^i,��[i=0,r+1]1/mn^i)∪・・・・・
⇔α∈(1/m,1/m+1/mn+1/mn^2)・・・・・・(∵αは無理数)これを繰り返して
⇔α∈(1/m,��[r=0,∞]1/mn^r)=(1/m,1/m+1/m(n-1))

(1/m,1/m+1/m(n-1))及び、
(p,q)=(m(n-1),n),・・・・,(m(n-1)^r,��[i=0,r](n-1)^i)・・・・(無限に続く)・・・・・として得られる
開区間(q/p,(q+(1/n))/p)の全ての和集合を取ると、これに含まれているαの満たす条件は
上と同様に計算してα∈(1/m,��[r=0,∞]1/m(n-1)^r)=(1/m,1/m+1/m(n-2))。

以下同様にしていくと、α∈(1/m,1/m+1/m(n-3)、α∈(1/m,1/m+1/m(n-4)・・・・・・
・・・・・α∈(1/m,1/m+1/m(n-n 1)=(1/m,2/m)がわかる。
∴1/m<α<2/m⇒∀n∈N∩(1,∞);∃(p,q)∈N^2;{q/p<α<(q+(1/n))/p}
∴α∈J_m⇒∀n∈N∩(1,∞);∃(p,q)∈N^2;{q/p<α<(q+(1/n))/p}
mは任意であり、J_m∋αなるJ_mが必ず存在するので、
結局α∈(0,1)⇒∀n∈N∩(1,∞);∃(p,q)∈N^2;{q/p<α<(q+(1/n))/p}

以上(�)(�)より②が示された。

∴α∈Q⇔∃n∈N;∀(p,q)∈N^2〔{α}∩(q/p , (q+(1/n))/p) =Φ〕□


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