◆ わからない問題はここに書いてね ◆ - 1078053072

1：９ </b><font color=#FF0000>（SpxcWT76）</font><b>：2004/02/29(日) 20:11: スレッド立てるまでもない質問等はここに書いてください。
274：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/01(日) 14:20:14: 模範解答では（鄯）をうまく利用していた記憶があるんですが
275：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/10/02(月) 19:54:03: >>272
省きまくりですが
p,q,rは自然数でp>r,q>r.r>0。p=r+a、q=r+bとおく(a,bは自然数)。pq-r^2>4を示せばよい。
pq-r^2=ar+br+ab。a=b=r=1の場合がありえないのでこれは成立。等号成立確認は容易。
模範解答はもっと上手い？
276：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/03(火) 00:26:27: あーそんな感じだったと思います
どうも。
277：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/10/03(火) 00:33:01: というかp=r+1 q=r+1って置いてやった跡があるし
278：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/05(日) 23:48:57: Π[k=1～m]4[sin{kπ/(2m+1)}]^2=？
これってどうやれば、、、
279：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/06(月) 00:06:34: (1+x/n)^n-(1-x/n)^nを級数展開してそして無限積展開してxの項の係数比較したら
できました。数学的な妥当性が怪しいですが。
それ以外の方法は考えられますかね？
280：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/06(月) 00:17:17: まあ某参考書を読んでたらたまたまこのことが書いてあったんですがｗ
281：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/11/06(月) 01:47:28: 倍角の公式と正(2m+1)角形を使って、2m+1
282：weapon ◆RRlBLdA0dk：2006/11/06(月) 13:57:10: 勘違いorz
283：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/06(月) 19:05:00: !と思ったらレスが
複素平面ですかね？
>倍角の公式と正(2m+1)角形を使って、2m+1

f(z)=z^(2m+1)-1と置けばf(z)=0の解はz=exp(-2πki/(2m+1)){k=0,1,2,..,2m}
だからf(z)=(z-1)Π[k=1～2m][z-exp{2πki/(2m+1)}]=(z-1)(z^(2m)+z^(2m-1)+・・・+1)
z=1からf(z)=0のz=1以外の解までの距離は2sin{kπ/(2m+1)}
対称性からF(z)=Π[k=1～2m]|z-exp{2πki/(2m+1)}|=Π[k=1～m]|z-exp{2πki/(2m+1)}|^2=(z^(2m)+z^(2m-1)+・・・+1)
|1-exp{2πki/(2m+1)}|がz=1からf(z)=0のz=1以外の解までの距離2sin{kπ/(2m+1)}に他ならないので
F(1)=Π[k=1～m]4[sin{kπ/(2m+1)}]^2=2m+1■

こんな感じですかね
勘違いはしていない気はしますが、、、
284：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/06(月) 19:10:32: >>281のレスの正2m+1角形でピンときました。さすがweapon氏
ピントはずれだったらすみませんが
weapon氏も複素平面使いましたか？
285：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/06(月) 22:19:18: おひさです
>>279
某参考書(大学入試用？)のそのやり方が気になるので、よかったらもう少し詳しく書いてみてくれませんか？

あーそれと「問題作るスレ」の内接円の問題、完全にギブなんでこっちも気が向いたらでいいんで、
あっちのスレに解答載せてくれると嬉しいです。
286：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/07(火) 00:48:58: >>285
↑のとややかぶります。
関数f(z)=z^(2m+1)-1を考えてf(z)=0の解はz=exp(-2πki/(2m+1)){k=0,1,2,..,2m}
これより
f(z)=(z-1)Π[k=1～2m][z-exp{2πki/(2m+1)}]
=(z-1)Π[k=1～m][z-exp{2πki/(2m+1)}][z-exp{-2πki/(2m+1)}]
=(z-1)Π[k=1～m][z^2-2zcos{2πk/(2m+1)}+1]
そして
(1-x/(2m+1))^(2m+1)*f({1+x/(2m+1)}/{1-x/(2m+1)})
={1+x/(2m+1)}^(2m+1)-{1-x/(2m+1)}^(2m+1)・・・①
=2x/(2m+1)*Π[k=1～m]2{1-cos(2πk/(2m+1))}{1+x^2/(2m+1)^2*{(1+cos(2πk/(2m+1)))/(1-cos(2πk/(2m+1)))}
=2x/(2m+1)*Π[k=1～m]4{sin(πk/(2m+1)}^2*Π[k=1～m]{1+x^2/(2m+1)^2*{(1+cos(2πk/(2m+1)))/(1-cos(2πk/(2m+1)))}・・・②

ここで①をべき級数で展開すればxの項は2になって、②の方は2/(2m+1)Π[k=1～m]4{sin(πk/(2m+1)}^2
なのでΠ[k=1～m]4{sin(πk/(2m+1)}^2=2m+1になります。
ちなみに参考書は大学入試用ではなくて大学の参考書です。
287：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/07(火) 00:49:53: 例の内接円の問題も近いうちに解答を書きます。
288：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2006/11/07(火) 00:54:52: 図形的な考察を全然してなかったので複素平面が頭になかったのが原因ですねｗ
複素平面で考える方が全然自然で楽なのに、、、ｗ
289：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/08(水) 09:42:55: >>286
どうもありがとう。恒等式
z^(2m+1)-1=(z-1)(z-α)(z-α^2)・・・(z-α^2m)；α=cos(kπ/2m+1)+isin(kπ/2m+1)
にz=({1+x/(2m+1)}/{1-x/(2m+1)}を代入して係数比較を行った感じですね。
それだけでΠ[k=1～m]4{sin(πk/(2m+1)}^2=2m+1が示せたのはビクーリ。
級数も積も有限個にしか展開していないから、「数学的な妥当性」は全然問題ないんじゃないの？

そういえば、参考までに、n/2^(n-1)=sin(π/n)sin(2π/n)・・・sin((n-1)π/n)を示せって問題が
北大に出てました。
290： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/08(水) 22:39:46: >>289

>n/2^(n-1)=sin(π/n)sin(2π/n)・・・sin((n-1)π/n)

ひぇぇぇ・・
すごくカビ臭い(旧課程臭がする)問題じゃ(´Д｀;)
291：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/08(水) 23:33:06: >>290
旧課程って～1996の？～2005の？
北大の誘導は、、一応新課程でも範囲内だったような。
ていうか確かこの大学2年連続で範囲外の問題出したからまたやりかねないなｗ
292： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/09(木) 00:30:30: >>291
～2005のほうです。
～1996のほうはあまり知らないです・・

北大の過去問は一回も見たことがないので良く分かりませんが
いかｓかの80年代後半～90年代前半の過去問はすごいユニークです。
英語と数学がくっついていたり，物理と数学がくっついていたり。
しかも物理は微分方程式まで出ているわ，化学はいつも範囲外だわで。
それでひとつの結論を得ました。
293：geen：2006/11/09(木) 00:37:02: >>291
臺地さんは毎年の入試問題をチェックしてるのですか？
294： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/09(木) 00:42:12: 「この学校は英数だけできればおｋ」
295： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/09(木) 00:43:21: >>293
すみからすみまで。
296：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/11/09(木) 01:02:15: >>292
やりたい放題ｗ
制限時間つきじゃなかったら面白いだろうけど、高々2時間程度でやらせるのは地獄だな

>>295　ちげーよｗｗｗｗ

>>293
数年分持ってる大数で特集されてる問題はざっと見たから、記憶に残っているのも結構あるんで。
297： ◆ZFABCDEYl.：2006/11/10(金) 01:09:21: >>296
またまたぁ
298：green：2006/11/15(水) 04:55:32: >>296
なるほど
299：駅便所 ◆EhHbCq6J3.：2007/02/28(水) 23:03:01: 半径が1の球を互いに平行なn-1枚の平面で体積が等しいn個の立体に
分割する。この時n-1枚の断面の円の面積をSn.1,Sn.2,…,Sn.n-1と
する時lim(n→∞){1/(n-1)}Σ(k=1～n-1)Sn.kの値を求めよ。

これうまく解けないです、、、
300：たま ◆U4RT2HgTis：2007/03/01(木) 23:34:44: 不等式でまじめに評価すると長くなるので，適当に。
中心を原点にとり，球の体積をVとおく．
x=tで球をきった断面積をS(t)とすると，S(t)dtは平面x=tとx=t+dtで
挟まれた部分の微小体積の表す．
このことから，nが十分大きいときx=t～t+dtにある等体積分割平面の個数は
S(t)dt/(V/n)と近似できる．よって，
lim(n→∞){1/(n-1)}Σ(k=1～n-1)Sn.k
=lim(n→∞){1/(n-1)}∫[-1,1]{S(t)}^2/(V/n)dt
=(∫[-1,1]{S(t)}^2dt)/V
=224π/45

ちゃんと評価するならば，[-1,1]を等間隔分割したときの各区間に入る
等体積分割平面の個数を不等式で評価．Sn.kも区間の端の面積で挟んでおいて，
limの式を挟み撃ち。
このとき、等間隔分割に対して等体積分割の分割数が十分大きくないと
個数の評価が甘くなるので，その辺だけ注意すればちゃんと示せると思いますよ。
301：リンゴ：2007/04/20(金) 11:52:28: P（E1∩E2∩…∩Eｎ）＝P（E1）P（E2｜E1）P（E3｜E1∩E2）×…×P(Eｎ｜E1∩E2∩…∩Eｎ－１)
の証明を教えて下さい。
302：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/04/20(金) 22:44:04: 帰納法じゃね、とあまり考えずにレスしてみる。
303：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/04/21(土) 00:02:25: 右辺を条件付確率の定義に則って計算したら自然に左辺と一致する。

って書いたらだめなんですかね。
304： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/15(金) 22:02:21: 数列の極限値の問題で頻出する典型的な難問は，そのほとんどが，
「lim[n→∞]a(n)=α のとき，lim[n→∞]〔n{α-a(n)}〕を求めよ」
といったタイプの∞×0型だと思います。

a(n)が三角関数ネタに絡んでいたり，f(x)=1/x の凸不等式を使ったりと
その内訳は多岐にわたるけど。

そこで僕がふと思ったことは，

a(n)={(1/n)Σ[k=1,n]f(k/n)}-∫[0,1]f(x)dx (n=1，2，3，・・・)

という数列です。もちろん，lim[n→∞]a(n)=0 です。このとき，lim[n→∞]{n*a(n)}・・・★
はどうなりますか？

大昔の受験板とか質問スレに出てきたこのタイプの問題を見てると，
どうやら★は常に収束しそうな気がしてならないんです。
305： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/15(金) 22:03:28: 以前，「a(n)=Σ[k=1,n]{1/(k+n)}のとき，lim[n→∞]〔n{(log2)-a(n)}〕を求めよ」
って問題が質問スレにありました。これは長助流に y=1/x の凸性を利用した
面積比較の不等式を作って，はさみうちの原理より1/4に収束することが分かります。
で，気づいたんだけど，このlog2っていう値は∫[0,1]{1/(x+1)}dxに等しいんですよね。

だから，この問題は
「f(x)=1/(x+1) として，数列{a(n)}を a(n)=∫[0,1]f(x)dx-(1/n)Σ[k=1,n]f(k/n) で定めるとき，
lim[n→∞]{n*a(n)} を求めよ．」
っていう風に言い換えられるんです。
そこで★の極限値を一般化できないかなと考えたんです。
306： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/15(金) 22:09:56: そこで，定積分の基礎を根底から考えていくと，
本には
(k-1)/nとk/nの区間ζ(x)の代表値をとると
その極限値はこの代表値の取り方によらず，常に収束し
これを定積分の値としています。（wikiで調べたら
正確にはリーマン積分というみたいだけど。。）
このとき，区間⊿でとる代表値を極端に偏らせても定積分は
１つの値に定まるのだから，★は収束するんじゃないかと考えました。
307： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/15(金) 22:15:11: もしお受験公式化できれば受験生としてはロピタルみたいに簡単に計算
できるからいいんじゃないかと思った次第です。慶應とかで便利そうというか。
私大医学部は答えがあってればかなり点を貰えるとか聞くわけでして。もちろん
国立は論述に厳しいから，お受験公式は一切使えないけど。
308： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/17(日) 20:23:31: 条件付きだけど一般化できた。

すべての実数xに対して，f'(x)，f''(x)，f'''(x)が存在して，かつ，
f'''(x)が連続ならば，
a(n)={(1/n)Σ[k=1,n]f(k/n)}-∫[0,1]f(x)dx (n=1，2，3，・・・)
に対し，
lim[n→∞]{n*a(n)}=(1/2){f(1)-f(0)}になりました。
これを使うと長助流の不等式を使わなくてもおｋですね。ただ
f(x)の満たすべき条件がきつくなるけど。
309： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/17(日) 20:26:17: lim[n→∞]{n^2*a(n)}もlim[n→∞]{n^3*a(n)}もおんなじ感じで
一般化できそうですな・・。
310： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/17(日) 20:42:18: >>308の訂正。

「f(x)(x≧0)は負でないすべての実数xに対して，f'(x)，f''(x)，f'''(x)が存在して，かつ，
f'''(x)が連続ならば，」
でした。f(x)=1/(x+1)が代表例かな。
311： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/17(日) 23:20:15: すみません。再訂正

x≧0を定義域とする連続関数f(x)が第一次導関数f'(x)，
第二次導関数f''(x)を持ち，かつ，f''(x)が連続ならば

です・・。

です。
312： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/18(月) 03:42:58: すみませぬ。自作していて，分からない箇所が出てきてしまいました。

n，kを 1≦k≦n を満たす整数とし，(k-1)/n≦x≦k/n を定義域とする
連続関数f(x)の最大値をM(k)，最小値をm(k)とする．
このとき，lim[n→∞]{m(1)+m(2)+・・・+m(n)}/n^2=0，
lim[n→∞]{M(1)+M(2)+・・・+M(n)}/n^2=0
が成り立つことを示せ．

これ，本当に成り立つかどうか分からないですが，
うまい証明方法があれば教えてください。
313：Je n'ai pas de nom!：2009/10/07(水) 03:36:34: >>312
ε-δつかわずにできるのかなあ。
「一様連続」とか「有界単調列は収束」とかをつかっていいなら…。

f(x)は[0,1]で連続だから,一様連続.
よって
man{M(1)-m(1),…,M(n)-m(n)}<(1/n)
とでき,
0≦[{M(1)-m(1)}+…{M(n)-m(n)}]/n≦(1/n)
よって
lim[{M(1)-m(1),…,M(n)-m(n)}/n]=0……★.

{{M(1)+…M(n)}/n},{{m(1)+…+m(n)}/n}はともに有界単調列ゆえ
収束する.
★より両者は同じ値に収束する.
{m(1)+…m(n)}/n≦{f(1/n)+…+f(n/n)}n≦{M(1)+…+M(n)}/n
より
lim{{M(1)+…M(n)}/n}=lim{{m(1)+…+m(n)}/n}=∫[0→1]f(x) dx
よって
lim{{M(1)+…M(n)}/n^2}=lim{{m(1)+…+m(n)}/n^2}=0.
314：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2009/10/07(水) 03:37:09: あ、313は僕。
315：Je n'ai pas de nom!：2009/10/26(月) 23:36:04: lim[n→∞]{m(1)+m(2)+・・・+m(n)}/n
も
lim[n→∞]{M(1)+M(2)+・・・+M(n)}/n
も有限値。
よって自明。
316：Je n'ai pas de nom!：2009/12/05(土) 01:09:18: 次の問題がわからないので教えてください。

凸多角形を底面とする角錐が与えられた時、
角錐をその頂点を中心とする小さい半径の球面Sで切ると、
切り口は球面上の凸多角形となることを示せ。

よろしくお願いします。
317：Je n'ai pas de nom!：2011/05/07(土) 18:11:12: 模範解答の途中に

　sin(60°-x)+sin(120°-x)
=2sin(90°-x)*cos(-30°)

という変形があったのですが、どのようにして導いているのか検討が付きません。
加法定理でぐちゃぐちゃやってみたのですが分からなくなってしまいました。
お願いします。
318：Je n'ai pas de nom!：2011/05/11(水) 20:36:17: 和積
319：Je n'ai pas de nom!：2011/05/23(月) 06:41:43: 次の問題で質問があります．

楕円x^2/9 + y^2/4 = 1 から直線x+2y=7までの最短距離を求めよ．

自分の解答

楕円上に点P(a,b)をとったとき，点Pと直線x+2y=7の距離d(a,b)は，
d(a,b)=|a+2b-7|/√(a^2+b^2)　　　　（ただし，a^2/9 + b^2/4 = 1　…①）
d(a,b)が最小となるときは，線分が点Pにおいての楕円の法線の一部になるとき，
すなわち点Pにおいての接線が直線x+2y=7と平行になるときである．
接線の方程式はax/9 + by/4 = 1 ⇔ y=(-4a/9b)x + 4/b なので，
x+2y=7⇔y=(-x/2)+7/2と傾きをくらべて，4a/9b = 1/2 ⇔ 8a=9b　…② を得る．
①，②を解くと
(a,b)=(9/5,8/5)
mind(a,b)=d(9/5,8/5)=|9/5+16/5-7|/(√(81+64)/25)=2√145/29

となりましたが，①，②を解いたときに(a,b)=(-9/5,8/5)なども出てきます．
でも図で確認してみると，それらは正しくありません．
どのようにしてそれらを不適と示せばよいのでしょうか．
また，自分の解答のプロセスは合っていますか？？少し自信がありません．
320：Je n'ai pas de nom!：2011/05/23(月) 19:06:03: 2chにて、点と直線の距離が違っていることを教えていただきました。
321：Je n'ai pas de nom!：2011/05/23(月) 20:02:36: 結局このようになりました。

楕円上に点P(a,b)をとったとき，点Pと直線x+2y=7の距離d(a,b)は，
d(a,b)=|a+2b-7|/√(1^2+2^2)=√5|a+2b-7|/5　　　　（ただし，a^2/9 + b^2/4 = 1　…①）
d(a,b)が最小となるときは，線分が点Pにおいての楕円の法線の一部になるとき，
すなわち点Pにおいての接線が直線x+2y=7と平行になるときである．
接線の方程式はax/9 + by/4 = 1 ⇔ y=(-4a/9b)x + 4/b なので，
x+2y=7⇔y=(-x/2)+7/2と傾きをくらべて，4a/9b = 1/2 ⇔ 8a=9b　…② を得る．
①，②を解くと，(a,b)=(±9/5,±8/5)
ここで，(-9/5,-8/5)は最大距離の点にあたる．
よって，mind(a,b)=d(9/5,8/5)=√5|9/5++16/5-7|/5=2√5/5