◆ わからない問題はここに書いてね ◆

253： ◆ZFABCDEYl.：2006/09/15(金) 03:44:43: 直線y=mxと曲線y=f(x)が異なる2点(α,f(α)),(β,f(β))で交わっていて
y=mxとy=f(x)で囲まれる部分を直線y=mxのまわりに回転してできる立体の
体積をVとします。2006/08/19 の問題を自作して気づいたんですが、
垂線を下ろして積分する方法を使うと，体積Vは

V=〔π/{(m^2+1)√(m^2+1)}〕*∫[α,β]〔{f(x)-mx}^2*{1+mf'(x)}〕dx

となりますが、傘型分割公式を使うと
V={π/√(m^2+1)}*∫[α,β]{f(x)-mx}^2dx
となります。m=1/2，f(x)=sinx とすると確かに両者の値は一致します。

つまり、
〔π/{(m^2+1)√(m^2+1)}〕*∫[α,β]〔{f(x)-mx}^2*{1+mf'(x)}〕dx={π/√(m^2+1)}*∫[α,β]{f(x)-mx}^2dx
が成り立つはずだから、
∫[α,β]〔{f(x)-mx}^2*f'(x)〕dx = m*∫[α,β]{f(x)-mx}^2dx
という式が成り立つはず。そこで疑問なんですが、
この式は図形的に何か背景のある式でしょうか？？
あとこの式はどんなf(x)やmでも成り立ちますかね？

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