◆ わからない問題はここに書いてね ◆ - 1078053072

221：Phiz：2006/05/19(金) 14:34:13: わかりました。多少、ごちゃごちゃしそうですが…。

次のような群 Z(m,n,r,k) を構成することを考えます。

構成法：Z(+) ＝{n∈Ｚ|n≧0}（Ｚは整数全体の集合）, rを任意の整数
として、Ｚ×Z(+)の上に、
(i, j)(i', j')＝(i＋i'r^j, j＋j') ((i, j), (i', j')∈Ｚ×Z(+))
によって演算を定義すると、Ｚ×Z(+)は単位元(0,0)を持った半群となる。
（わかりにくいかもしれないので、注意しておくと、i'r^jは、i'×ｒ^j
です…そのままですが…。）

さらに、m, n, k を整数で次の条件が満たされているものとする：
m＞0, n＞0, rk≡k (mod m), r^n≡1 (mod m).
（kは正でなくても構いません）

このときＺ×Z(+)の上の関係：
(i,j)～(i', j') ⇔ j－j'≡0 (mod n), k(j－j')/n ＋i－i'≡0 (mod m).
（２つのmod が違うことに注意）は、補題1.2の条件を満たす半群Ｚ×Z(+)
の上の同値関係である。

｜＜補題1.2＞Ｓは単位元１を持った半群で、Ｓの上に次の条件を満たす
｜同値関係～が与えられているとする：
｜(鄯) x～x', y～y' ⇒ xy～x'y'
｜(鄱) Ｓ∋∀x, Ｓ∋∃x', xx'～1
｜このとき、この同値関係による商集合[S]＝Ｓ/～は演算を自然に定義
｜して群となる。
｜
｜[一応、証明]　Ｓ∋x に対して、xを含む同値類を[x]で表す。このとき、
｜[S]∋[x],[y] に対して
｜(*)　　[x][y]＝[xy]
｜によって[S]の上に演算を定義することができる。それには、この演算の
｜定義が同値類の代表元のとり方によらないこと、すなわち
｜ [x]＝[x'], [y]＝[y'] ⇒ [xy]＝[x'y']
｜を確かめねばならないが、上の条件(鄯)はこれが成り立つことにほかなら
｜ない。Ｓは半群であるから、[S]のこの演算も結合法則を満たす。また[1]
｜は[S]の単位元であり、条件(鄱)は[S]の各元が逆元を持つことを示す。
｜したがって、[S]は演算(*)に関して群になる。　□

したがって補題1.2により、半群Ｚ×Z(+)の上の、この同値関係による
商集合は群となる。これを Z(m,n,r,k) と書くことにする。
（ようやく構成が終わりました…）

ここで、a＝[1,0]（＝(1,0)を含む同値類）, b＝[0,1]とおくと、
a,b は関係：
(1.17) b^n＝a^k , a^m＝1 , b^(-1)ab＝a^r .
を満たすことが直接の計算で確かめられる。

…と書いてあったのですが、(1.17)の３つ目の式が満たされることが
示せません。ab＝ba^r を示そうとやってみたのですが…。

また、さらに↓

『関係(1.17)をみたすような任意のa' , b'を考える。すなわち、a', b'は
(b')^n＝(a')^k , (a')^m＝1 , (b')^(-1)(a')(b')＝(a')^r
を満たす。今、a' , b'から生成される群G'＝<a' , b'>と、
写像ｆ：Ｚ×Z(+) → G'　　（ f((i,j))＝(a')^i(b')^j ）を考えると、
fは、半群Ｚ×Z(+) から G'の上への準同型：
(☆)　f((i,j)(i', j'))＝f((i,j))f((i', j'))
である。』

(☆)の成立が示せずに困っています。

以上、必要と思われることは全て書いたつもりですが、何か不明な点など
あるようでしたら、その旨お伝え下さい。

この疑問点が気になって、全く先に進めない状況なので、ご協力お願い
しますm(_ _)m