◆ わからない問題はここに書いてね ◆

194：こけこっこ：2004/06/20(日) 19:39: [ｔ大スレの過去問]
a,b,cは相異なる数、x、y、zは連立方程式
x+ay+a^2*z=a^3,x+by+b^2*z=b^3,x+cy+c^2*z=c^3
の根とするとき、a^3+b^3+c^3をx、y、zで表せ。

この問題、ほとんどの人は↓のように解くと思います。

＞a，b，cはtに関する3次方程式 t^3-zt^2-yt-x=0 の3解であるから，
＞解と係数の関係より，a+b+c=z，ab+bc+ca=-y，abc=x．
＞∴ a^3+b^3+c^3=(a+b+c){(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)}+3abc=3x+3yz+z^3・・・答

でも，t^3-zt^2-yt-x=0 という3次方程式は実数係数の方程式とは限りません。
複素数係数の方程式に解と係数の関係を用いて，大減点(記述式の場合)される
可能性ってありますか？
この問題の場合、特に「a,b,cは相異なる数」っていう条件が書いてあるので
出題者の意図は「0で割らないことに注意して真面目に連立方程式解けや(ﾟДﾟ)ｺﾞﾙｧ!!」
という風に感じたのです。

「複素数係数の方程式にも解と係数の関係は使える」
「複素数係数の2次方程式にも解の公式は使える」
この２つが数学的に正しいことは既成事実として知っていますが、
これを果たして記述式で堂々と既知のこととして振舞ってもいいのかだろうか？
という疑問です。特に上記の問題のような場合、どういうふうに採点されるんでしょうか？

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