- 1 名前：приезд(☆4) （DTxrDxh6） 投稿日： 2004/04/21(水) 01:15
- 第一章 整数
§1 集合
よく区別で切るものの集まりを集合と言うことにしましょう.
大きな自然数の集まりは集合とはいえない,
百万以上の自然数全部の集まりは集合といえる程度の.
それ以上の議論はいわばスレ違いということで.
集合を構成する個々のメンバーをその集合の元といいます.
集合は普通ローマンの大文字,元は普通ローマンの小文字で書きます.
xが集合Sの元であることを
x∈S
と書きます.
xがSの元でないことを
x∉ฺS
と書きます.
ボールドのN,ボールドのZ,ボールドのQ,ボールドのR,ボールドのC
はそれぞれ自然数全体の集合,整数全体の集合,有理数全体の集合,
実数全体の集合,複素数全体の集合を表します.
ボールドは出ないのでローマンと区別がつきにくいですが
文脈で判断してください.紛らわしいときはいちいち断ります.
- 176 名前：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日： 2007/06/15(金) 03:57:23
- 例１１ Z,Q,R,Cはそれぞれ普通の加法に関して可換群である.
証明 a∈Z,b∈Zならばa+b∈Z,
a∈Q,b∈Zならばa+b∈Q,
a∈R,b∈Zならばa+b∈R,
a∈C,b∈Zならばa+b∈C.
Cは加法についてG1を満たす.
Cの元0は加法の単位元である.0∈Z⊂Q⊂R⊂C.
a∈Cに対して-aは逆元である.
a∈Zならば-a∈Zであり,
a∈Qならば-a∈Qであり,
a∈Rならば-a∈Rであり,
a∈Cならば-a∈Cである.
Cの任意の2元はCの加法について可換である.■
- 177 名前：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日： 2007/06/15(金) 03:59:20
- 例１２ Q^*:=Q-{0},R^*:=R-{0},C^*:=C-{0}
はそれぞれ普通の乗法に関して可換群をなす.
Q,R,Cは乗法に関して群をなさない.
証明 a∈Q,b∈Zならばab∈Q,
a∈R,b∈Zならばab∈R,
a∈C,b∈Zならばab∈C.
Cは乗法についてG1を満たす.
Cの元1は乗法の単位元である.
1∈Q⊂R⊂C.
a∈C^*に対して1/aは逆元である.
Cの任意の2元はCの乗法について可換である.
a∈Qならば(1/a)∈Qであり,
a∈Rならば(1/a)∈Rであり,
a∈Cならば(1/a)∈Cである.
0∈Q⊂R⊂Cの逆元があるとし,
bとすると0b=b0=1.このようなCの元bは存在しない.■
- 178 名前：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日： 2007/06/15(金) 04:01:56
- 例１３ a∈R,b∈Rとする.
複素数α:=a+ibに対し,その絶対値を
|α|:=√(a^2+b^2)
で定義する.
T:={α∈C;|α|=1}は乗法に関して可換群をなす.
証明 a_1∈R,a_2∈R,b_1∈R,b_2∈R,α_1=a_1+ib_1∈ T,α_2=a_2+ib_2∈ Tとすると,
|α_1α_2|
=|(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+b_1a_2)|
=√((a_1a_2-b_1b_2)^2+(a_1b_2+b_1a_2)^2)
=√(a_1^2a_2^2+b_1^2b_2^2+a_1^2b_2^2+b_1^2a_2^2)
=√(a_1^2(a_2^2+b_2^2)+b_1^2(a_2^2+b_2^2))
=√((a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2))
=1
となるので乗法はTにおける算法である.
Tの乗法はCの乗法であるので結合律を満たす.即ちTはG1を満たす.
|1|=|1+i0|=√(1^2+0^2)=1より1∈Tであるので,1はTの単位元である.即ちTはG2を満たす.
α_1=a_1+ib_1∈ Tに対して,
1/α_1=a_1-ib_1∈T.TはG3を満たす.
また,Tの乗法はCの乗法であるのでTの任意の2元は可換である.■
- 179 名前：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日： 2007/06/15(金) 04:02:43
- 例１４ {1,-1}は乗法について可換群をなす.
証明 1*1=(-1)*(-1)=1,1*(-1)=(-1)*1=-1となるので乗法は{1,-1}における算法である.
{1,-1}の乗法はCの乗法であるので結合律を満たす.即ち{1,-1}はG1を満たす.
1∈{1,-1}であるので,1は{1,-1}の単位元である.即ち{1,-1}はG2を満たす.
1^{-1}=1,(-1)^{-1}=-1であるので{1,-1}はG3を満たす.
また,{1,-1}の乗法はCの乗法であるので{1,-1}の任意の2元は可換である.■
- 180 名前：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日： 2007/06/15(金) 04:03:34
- 例１５ 集合{e}はee=eと算法を定めれば可換群をなす.
証明 (ee)e=ee=e,e(ee)=ee=eより{e}はG1を満たす.
ee=ee=eよりeは{e}の単位元である.よって{e}はG2を満たす.
e^{-1}=e.{e}はG3を満たす.
ee=eeより{e}の任意の2元は可換である.■
例１５の{e}を単位群という.
- 181 名前：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日： 2007/06/15(金) 04:06:10
- 有限個の元からなる群を有限群という.有限群の元の個数をその群の位数という.
例１６ Xを空でない集合とする.
GをXからXへの全単射全体の集合とすると,
Gは写像の合成に関して群をなす.また,
Xが3元以上からなるならGは非可換.
証明 補題１(>>170)より写像の合成はGの算法である.
補題２(>>171)よりGはG1を満たす.
I_XはGの単位元である.よってGはG2を満たす.
f∈Gの逆元はf^(-1)∈Gである.よってGはG3を満たす.
{a,b,c}⊂ Xとする.
f∈Gを
f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a,¬(x∈{a,b,c})ならばf(x)=x,
g∈Gを
g(a)=c,g(c)=a,¬(x∈{a,c})ならばf(x)=x
とすると,
(g○f)(a)=b,(f○g)(a)=aとなるのでこの群は非可換である.■
- 182 名前：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日： 2007/06/15(金) 04:08:02
- 例１５のGを集合X上の対称群といいS(X)と書く.
S(X)の元を置換という.
Xがn元からなる集合のときS(X)をS_nと書き,
n次対称群という.
S_nは有限群で,その位数はn!である.実際,X={1,2,…,n}とすると,
X上の置換は例えば
(1,2,…,n),(4,7,2,1,…)
などと表される.左の置換はI_Xを,右の置換はσ(1)=4,σ(2)=7,σ(3)=2,σ(4)=1,…となるS_nの元σを,それぞれ表すものとする.
即ちS_nの位数は,異なるn個のものを1列に並べる順列n!に等しい.
- 183 名前：はじめまして 投稿日： 2010/07/15(木) 09:55:21
- １１４の（3）の答えってどうなるか教えてくださいー（＞_＜。）
- 185 名前：Je n'ai pas de nom! 投稿日： 2012/05/02(水) 20:59:29
- 腹へったな。。。
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