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†9−man記念数学研究所†

  この掲示板は伝説の受験生"9"がその受験生活を終えかけた頃「集合・位相入門」の輪読の場にと設立したものです。
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1 雑談はここに書け!!!part4 (Res:312)All First100 Last50 SubjectList ReLoad 1
1ラメ :2010/03/04(木) 19:28:18
    ,.、,、,..,、、.,、,、、..,_       /i
   ;'`;、、:、. .:、:, :,.: ::`゙:.:゙:`''':,'.´ -‐i
   '、;: ...: ,:. :.、.∩.. .:: _;.;;.∩‐'゙  ̄  ̄
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        | |( ´Д`)// <うるせぇ、エビフライぶつけんぞ
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304こけ :2019/04/05(金) 20:36:01
>>300
僕も疲れを通り越して…

>>302
すごい!


305こけ :2019/04/26(金) 20:23:33
2019年現在、大学受験の意味合いは薄れている気がしませんか?
どの仕事でも学歴による格差がなくなっているというか。
昔からなのかもしれないけど。


306こけ :2019/04/26(金) 20:28:39
整数 p,q,r が,
p^2-(q-1)(q-2)p+3q-8=0,(p-1)/(3-q)=r
を満たすとき,p,q,r の値を求めなさい。

久しぶりに自作してみた。
誘導消すとかなり難しいかも。


307こけ :2019/04/26(金) 20:40:45
誘導はメル欄。

もう1個作りました。同じネタですが・・・・・・

有理数a,bと無理数xが
a=(x^3-3x^2+5)/x,b=(x^3-4x^2+10)/x
を満たすとき,a,b,xの値を求めよ。


308こけ :2019/04/26(金) 20:46:47
誘導はメル欄。


309こけ :2019/07/04(木) 09:40:41
お久しぶりです。先生の動画みました。すごい勢力的にうpされていますね。
すごいです。

2019医科歯科の問題①と問題②。どっちも大好きな問題!

でも出題が下手杉……
2進数オタと三角関数オタから見たら元ネタがバレバレ…
問題①は(3)を見ただけで解く前から2進数だと分かるし、
問題②は三角関数そのもの。オタ臭を隠しきれていないため、
元ネタがバレバレで、試験上での緊張感はゼロといったところ。

その点、2019東大理系問題①はすごかった。
動画が見てびっくりしちゃった。
問題文がシンプルすぎる。京大かよ!
しかも定積分の式で震えが止まらない……
「元ネタは何?」
「愚直な計算問題?tanθで置き換えれば大丈夫?
それとも、x+√(x^2+a)=tのほうがいいの?
こんな時にマスマティカがあれば…。神様、私たちに力を!」
「問題①で、しかも問題文がシンプル。
πが3.14より大きいとか、加法定理の証明とか、
数年に1回出現する地雷問題としか思えない。くそぉ……」
「こうなったら、愚直に計算するしかない。オラオラオラァー」
「最後まで解けずとも部分点を!部分点を!」
といった感じだろうか。


310こけ :2019/07/04(木) 10:01:50
https://www.nicovideo.jp/watch/sm18353251

東大入試はこんな感じで乗り切ろう。


311こけ :2020/09/02(水) 23:22:42
お疲れ様です。
先生の講義、IE11で見れない・・・。
なぜEdgeが勝手に起動するのか・・・消したのに。

パソコン環境は、

Windows10
IE11 (インターネット)
outlook (メール)
windows media player (動画)
windows フォトビューワー (画像)
ムービーメーカー

という昔ながらの設定で使っています。


312こけ :2020/09/02(水) 23:29:15
このスレ、ある意味すごい。
10年以上も続いている。

このスレが誕生した2010年3月4日は、消費税5%、震災前。
今や消費税10%、震災、原発事故、コロナ、未曽有の不景気。

10年後は一体どうなるのか。


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2 数学の質問スレ (Res:5)All First100 Last50 SubjectList ReLoad 2
1こけ :2019/01/03(木) 01:52:27
数学の素朴な疑問をつぶやくスレです。

y’=xyを解くとき、
両辺をyで割って(logy)’=x
とするけど、y=0も解の一部になるし、yが負の場合は
logyは定義されない。微分方程式を解くときだけは、
0で割るか否かの場合分けを考慮しない理由はなぜなんだろうか。

このスレでは色々なことを取り扱いたいと思います。
不定期更新ですが、あきらめずに数学に取り組む覚悟で。

2こけ :2019/01/03(木) 01:59:46
もう一つ。

微分積分のそもそもの成り立ちが分からない。
「微分が生まれてから積分が生まれた」と思っていますが、
どうして積分が面積や体積を計算することができるツールになるんでしょうか?

微分も不思議で、何で曲線の接線になるのだろうか?

微分そのもの、積分そのものも理解できないのに、微分と積分の関係が
理解できるわけがない。そんな感じです、


3weapon :2019/03/07(木) 16:15:49
微分積分学の基本定理
素因数分解 一意性
でググってみるといいかも


4Мечислав :2019/04/04(木) 05:18:13
それ昔どこかで説明しましたけどね。


5こけ :2019/04/05(金) 20:31:28
>>3-4
素因数分解見つけました。
ちょっと読んでみよう。
数学久しぶり過ぎてまぶしい。


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3 しあわせになりたいスレ (Res:812)All First100 Last50 SubjectList ReLoad 3
1green :2006/12/02(土) 00:18:26
スレタイ通りです。
どうすれば気楽に生きることができるのかを知りたいです。

804weapon ◆RRlBLdA0dk :2014/05/11(日) 12:04:11
先生、お誕生日おめでとうございます(何回目だろう?)。

ひょっとしてもう研究所にはレスしないおつもりですか?


805Je n'ai pas de nom! :2014/05/12(月) 00:00:08
ラメさん、お誕生日おめでとう


806Je n'ai pas de nom! :2014/05/12(月) 00:08:25
十一回目ですよ。こう呼びあうの。

とうとう僕も大台に乗りました。生涯未婚率に算入されちゃう大台に。

使ってるPC、どれもこれも調子悪くて、間に合わなんだ。八秒遅れた。すみませぬ。

研究所にレスしないつもりってわけじゃないですよ。

また気が向いたら何やら書き込みますよ。

ラメさんとこけと僕と、そしておそらくあの方と、こうして十年たっても

立場や環境変わってもこの板覚えてる人いるんだし。

書き込みこそしてないけど、9だって長助だってルーローだってたまちゃんだって

見てくれてるような気がしてる。

したらばそのものがなくならない限り、この板は不滅ですよ。

こけのいうように故郷だもの。


807Je n'ai pas de nom! :2014/07/11(金) 02:07:23
test


808こけ :2017/08/17(木) 16:32:38
ここは故郷だと思ふ。それはなぜか。それは受験のときお世話になった、自のホームページいつのまにか消えてる。#も消えてる。名前の後に入力するパスワードが消えた。もう全然使ってないせいかパソコンがやばいことになってる。明らかに壊れてる。買う気力はないのでほっておこう。


809こけ :2017/08/24(木) 10:22:00
月1で木が休めるようになったのはありがたいが何もやる気がしないなぜ?ずっと寝ていよう


810こけ :2017/08/24(木) 10:35:52
板見てたら理1を目指した方が楽しかったかもしれないとふと思った。今更 あっという間に時間は過ぎて何かもが遠い彼方になって、それでも、悲しさはなく、ご先祖様のいるあの世へ、という思いは誰でも経験することなのでしょうか


811weapon ◆RRlBLdA0dk :2017/09/19(火) 23:42:32
お久しぶり!!!
機能性胃腸症は相変わらずですが、やけくそで京都にでてきてからだいぶましになりました。
どんな薬も効かなかったのに、環境の変化のほうが効いたようで。
ほんとあっという間だね。あちこち衰えがひどい。
俺の場合は失うものはなにもないので、先のことはどうでもいい。


812こけ :2018/06/07(木) 22:53:12
ラメ氏お久しぶりです!

時間の経過感覚が日によって異なる

夜中に起きる時間で判断してみると、

時間がたつのが遅い ⇒ 今日はゆっくり過ごせばよい
時間がたつのが速い ⇒ 最低限のことだけやればよい

こう過ごすと仕事はうまくいく
ただ、自由に使える時間を確保しようとするとどうしようもないので悩む
やっぱりここでの経験はライフワークにしたいのでいつか再編成して面白い問題ができればいいなと思います

そのためには最低限もう1度数学の勉強しないといけない、完全に忘れているから
今は自分のHPを読んでみました。自分で作ったのに現在の自分だと意味不明になっている
でもゆっくりとやればいつか思い出せる気がします

HPに残した「数学の疑問点」はある意味、今の自分に役立つことが判明
疑問点そのものを忘却しているからです


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4 「集合・位相入門」輪読会★2 (Res:336)All First100 Last50 SubjectList ReLoad 4
1Мечислав(☆9) (DTxrDxh6) :2005/03/14(月) 22:47:23
えと
「集合・位相入門」輪読会
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/
のつづきです。
詳細は>>2以下。

319Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 :2007/06/22(金) 03:53:49
三章一節と二節、再読。


323Je n'ai pas de nom! :2011/05/18(水) 00:32:20
最近「集合・位相入門」読んでいます。まだ人はいらっしゃいますか?


324Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 :2011/05/19(木) 02:38:43
>>323
たぶん、3、4人はいるのではないでしょうか。


325323 :2011/05/20(金) 19:13:56
2週間前から読み始めていま第1章§5です。。。
わけあってあと約280Pを高速で精読しなければいけません。。。
このスレを参考にさせていただきます。。。


326Je n'ai pas de nom! :2011/06/14(火) 16:02:08
問題難しいですね。。。

理解していないから解けないのか、
理解しているけど解き方を知らないから解けないのか…
十中八九、前者だろうけど。。。


327Je n'ai pas de nom! :2011/06/15(水) 04:09:21
(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A)=(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)の証明ですが,
分配律を用いる方法以外の方法がありましたら教えてください。


330yuriq :2012/11/10(土) 00:38:14
最近読み始めました

(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A)=(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)
の一般化ぐらいなら作れます

よむかたいましたら
メールお願いします
(あんまスレチェックしないので
輪読する人いたらここ借りたいと思います)


331Je n'ai pas de nom! :2013/01/22(火) 14:23:15
社会人です。
章末問題が解けずに挫折していましたが、また読み始めました。


336jutano :2017/10/30(月) 22:40:20
学生です。
以前読みかけて途中で止まっていたのを最近また読み始めて、今4章の位相の比較のところです。
盛り上がってたときに読みたかった。10年以上前ですね…


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5 管理・運営スレッド★2 (Res:147)All First100 Last50 SubjectList ReLoad 5
1 名前:Noje@どうやら二代目管理人★ 投稿日: 2005/01/06(木) 01:49
手違いでこのスレ消滅させてしまいました。すみません。
過去\log貼り直させて頂きます。

117 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2010/10/11(月) 06:07:29
東北2001年理系残り(1番2番3番4番5番)

追加

118 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2010/10/20(水) 05:55:44
京大2010年文系5番
東北2002年理系全問

追加

119 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2010/10/21(木) 07:07:01
神大1998年文系全問

追加

120 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2010/10/22(金) 04:19:10
名大1998年理系残り(4A番4B番)

追加

122 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2010/10/26(火) 02:07:02
千葉大1998年理系全問

追加

123 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2010/11/09(火) 02:35:55
東大1998年前期理類全問

追加

124 名前:mieczyslaw 投稿日: 2011/01/11(火) 01:30:01
二か月ぶりのうp。

福井大学医学部2004年
福井大学医学部2005年

追加。

125 名前:green 投稿日: 2011/03/07(月) 22:59:33
おひさです。
暇な時でいいんで2010年度大阪大後期の問題うpしてもらえませんか?

126 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2011/03/09(水) 01:24:26
>>125
了解。ちょくちょくファイル自体は更新してるんだけど、
どこを新たに書いたかを書くのをサボってる。

2010年阪大後期、そのうち書きますよ。

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6 「東大」「数学」「補完」 (Res:416)All First100 Last50 SubjectList ReLoad 6
1 名前:приезд(☆4) (DTxrDxh6) 投稿日: 2004/04/12(月) 23:10
えーっと。文字通り2ch本スレの補完です。
2ch本スレで内容が高校範囲を逸脱したとき
ここで議論してください。

231 名前:Je n'ai pas de nom! 投稿日: 2006/04/15(土) 08:48:21
S(l)+S(p^n-l)=(n-1)(p-1)+p
で常に一定になるんじゃないのか?

232 名前:たま ◆U4RT2HgTis 投稿日: 2006/04/15(土) 11:36:35
>>231
1000=999+1
1000=998+2
・・・
1000=991+9
1000=990+10 ここ注目
1000=989+11
・・・
1000=901+99
1000=900+100 ここはもっと注目
1000=899+101
ってことで

233 名前:たま ◆U4RT2HgTis 投稿日: 2006/04/15(土) 11:37:38
l=[k=0,n-1]a_k・p^k
p^n=[k=0,n-1](p-1)・p^k+1を考慮して
p^n-l=Σ[k=0,n-1](p-1-a_k)・p^k+1
ここで、
A_0={l|a_0>0}
A_1={l|a_0=0,a_1>0}
・・・
A_r={l|a_i=0(i<r),a_r>0}
・・・
A_(n-1)={l|a_i=0(i<n-1),a_(n-1)>0}
とおくと、
∪[r=0,n-1]A_r={l|1≦l≦p^n−1}
l∈A_0とするとp-1-a_0<p-1よりのとき
p^n-l=(p-1-a_0+1)+Σ[k=1,n-1](p-1-a_k)・p^k
なので、
S(p^n-l)=(p-1-a_0+1)+Σ[k=1,n-1](p-1-a_k)
よって
S(l)+S(p^n-l)
=Σ[k=0,n-1]a_k+(p-1-a_0+1)+Σ[k=1,n-1](p-1-a_k)
=p+Σ[k=1,n-1](p-1)
=n(p-1)+1
同様にして、l∈A_rのとき
p-1-a_i=p-1(i<r)
p-1-a_k<p-1
なので
p^n-l=Σ[k=r,n-1](p-1-a_k)・p^k+Σ[k=0,r-1](p-1)・p^k+1
=Σ[k=r,n-1](p-1-a_k)・p^k+p^r
=(p-1-a_r+1)*p^r+Σ[k=r+1,n-1](p-1-a_k)・p^k
よって
S(l)+S(p^n-l)
(省略されました・・全てを読むにはここを押してください)

234 名前:たま ◆U4RT2HgTis 投稿日: 2006/04/15(土) 11:41:12
こんな感じで書いたらいいと思うけど、いかにも大学生的な答案になってしまった。
受験の答案としてはどう書いたらいいのか微妙なところ。

235 名前:Je n'ai pas de nom! 投稿日: 2006/04/15(土) 12:31:44
あ!そうか。

236 名前: ◆ZFABCDEYl. 投稿日: 2006/04/15(土) 15:51:37
>>234
鼎任后この問題を記述式答案化できるようにするには
かなりの技術が必要だなと感じました。さすがたま氏・・。

237 名前:Je n'ai pas de nom! 投稿日: 2006/04/17(月) 21:56:29
3つの変曲点をもち、任意の直線と共有点をもつような連続かつ微分可能なグラフy=f(x)は、
最低、何本の共通接線が引けるか?

238 名前:Je n'ai pas de nom! 投稿日: 2009/11/22(日) 15:20:27
偶数の完全数の「一の位」は?(さくら教研の宿題)

239 名前:ラメ 投稿日: 2009/11/22(日) 21:13:05
未解決問題

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7 『解析概論』輪読 (Res:287)All First100 Last50 SubjectList ReLoad 7
1 名前:RSKTTM 投稿日: 2005/07/26(火) 23:02:10
立ててみました。

書名:『解析概論 改訂第3版』
著者:高木貞治
出版社:岩波書店

交代で解説を行い、他の人がそれに質問、間違いの指摘などを行うことにします。
適宜他の本を参照してもよいことにします。もちろんその場合は、その本を持っていない人でも分かるように書きます。

解析概論持っていない人でもおかしなところがあったらどんどん突っ込んでしまってください。

あ、ちなみに現在僕は所々飛ばして今P57の偏微分と全微分のあたりまでしか進んでないです。やばい(^^;

270 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/06/05(火) 04:29:21
4. arccot
          y=arctan(1/x)
         ⇔tan y=1/x
         ⇔x=cot y.
arctanの値を主値にとれば,グラフは
          (-3,-π/6),(-1,-π/4),(0,-π/2)
を通る断片と
          (0,π/2),(1,π/4),(3,π/6)
を通る断片を併せたx=0で不連続となるものである.

arctanの値をx≦0では(π/2,3π/2)に,x>0では主値にとれば,
グラフは
          (-√3,5π/6),(-1,3π/4),(0,π/2),(1,π/4),(√3,π/6)
を通る滑らかな曲線になる.
これは値を(0,π)にとったときのArccot xの枝である.
arctanの値をx≦0では主値に,x>0では(-3π/2,-π/2)にとれば,
グラフは
          (-√3,-π/6),(-1,-π/4),(0,-π/2),(1,-3π/4),(√3,-5π/6)
を通る滑らかな曲線になる.
これは値を(-π,0)にとったときのArccot xの枝である.

271 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/06/05(火) 04:33:23
例. y=arcsin2x√(1-x^2).
          y=arcsin2x√(1-x^2)
         ⇔sin y=2x√(1-x^2)
         ⇔2sin(y/2)cos(y/2)=2x√(1-x^2)
         ⇔sin(y/2)√(1-sin^2(y/2))=x√(1-x^2).
よって
          sin^2(y/2)(1-sin^2(y/2))=x^2(1-x^2)
         ⇔x^4-x^2+sin^2(y/2)-sin^4(y/2)=0
         ⇔(x^2-sin^2(y/2))(x^2+sin^2(y/2))-(x^2-sin^2(y/2))=0
         ⇔(x^2-sin^2(y/2))(x^2+sin^2(y/2)-1)=0
         ⇔(x^2-sin^2(y/2))(x^2-cos^2(y/2))=0.
arcsinの値を主値にとれば,
          -1≦x≦-(√2/2)でx=-cos(y/2),
          -(√2/2)≦x≦(√2/2)でx=sin(y/2),
          √2/2≦x≦1でx=cos(y/2).

272 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/06/24(日) 04:51:10
5.指数函数および対数函数
底aをa>1とすれば,指数函数a^xは-∞<x<∞で連続かつ単調増加であることは
>>108-113ですでに見た.
任意の正数Mに対してx_0=log[a]Mとおけば,x>x_0を満たすすべての実数xに対して
          a^x>a^(x_0)=M
であるので
          lim[x→∞]a^x=∞.
これより
          lim[x→∞]a^(-x)=lim[x→∞](1/(a^x))=0.
よってa^xは0<a^x<∞.

273 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/06/24(日) 04:51:37
h>0に対しては,
          (a^(x+h)-a^x)/h
          =a^x・((a^h-1)/h)
          =a^x・(1/(1/(a^h-1)))・(log[a]a^h)
          =a^x・(1/(1/(a^h-1)))・(log[a](1+(a^h-1)))
          =a^x・(1/(log[a](1+(a^h-1))^(1/(a^h-1)))).
>>108-113において指数函数は連続であることを示したので
          lim[x→0]a^x=a^0=1.
よって
          lim[x→0](a^x-1)=0
となるので
          lim[h→0]((a^(x+h)-a^x)/h)
          =a^x・(1/log[a]e)=a^xlog[e]a.

274 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/06/24(日) 04:51:57
h<0なら
          (a^{x+h}-a^x)/h
          =a^x・((a^h-1)/h)
          =a^x・((a^(-(-h))-1)/(-(-h)))
          =-a^x・((1-a^(-h))/(-h))・(1/(a^(-h)))
          =a^x・((a^(-h)-1)/(-h))・(1/a^(-h))
より
          lim[h→0]((a^(x+h)-a^x)/h)
          =a^xlog[e]a・(1/a^(-0))
          =a^xlog[e]a.
以上より
          d(a^x)/dx=a^xlog[e]a.

275 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/06/24(日) 04:52:16
底aを0<a<1とすると,
          a^x=((1/a))^(-x)
であるので
          d(a^x)/dx
          =-((1/a)^(-x))log[e](1/a)
          =a^xlog[e]a.
特にa=eとすれば
          d(e^x)/dx=e^x.
定理>>264よりa>0,x>0のとき
         d(log[a]x)/dx=1/(xlog[e]a),
         d(log[e]x)/dx=1/x.
底がeである対数函数はかくのごとく便利がよい.
以下単にlogと書けば底はeであるとする.このeを底とする対数を自然対数といい,
log nat,lnなどと書く.

276 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/06/24(日) 04:52:38
x<0に対して,
         D(log(-x))=(-1)/(-x)=1/x
であるのでxが負の場合もこめて
         Dlog|x|=1/x.

277 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/06/24(日) 04:52:55
対数微分法
u,v,wを微分可能なxの函数とするとu≠0,v≠0,w≠0なる点で
         Dlog|uvw|=D(log|u|+log|v|+log|w|)=(u'/u)+(v'/v)+(w'/w),
また
         Dlog|uvw|=(uvw)'/(uvw).
よって
         (uvw)'/(uvw)=(u'/u)+(v'/v)+(w'/w).
同様に
         D(log|(u/v)|=((u/v))'/(u/v))=D(log|u|-log|v|)=(u'/u)-(v'/v).
また,
         log a^x=xlog a
より
         D(log a^x)=D(a^x)/a^x=log a.
これからも
         D(log a^x)=a^xlog a
が得られる.

278 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/06/24(日) 04:53:14
冪函数
x>0のとき,任意の実数aに対して
         log x^a=alog x
なので
         D(log x^a)=D(x^a)/(x^a)=a/x.
これより一般の指数aに対して
         D(x^a)=ax^(a-1)
が得られる.

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8 講義と演習「代数系入門」 (Res:189)All First100 Last50 SubjectList ReLoad 8
1 名前:приезд(☆4) (DTxrDxh6) 投稿日: 2004/04/21(水) 01:15
第一章 整数
§1 集合
よく区別で切るものの集まりを集合と言うことにしましょう.
大きな自然数の集まりは集合とはいえない,
百万以上の自然数全部の集まりは集合といえる程度の.
それ以上の議論はいわばスレ違いということで.

集合を構成する個々のメンバーをその集合の元といいます.
集合は普通ローマンの大文字,元は普通ローマンの小文字で書きます.

xが集合Sの元であることを
x∈S
と書きます.

xがSの元でないことを
x∉ฺS
と書きます.

ボールドのN,ボールドのZ,ボールドのQ,ボールドのR,ボールドのC
はそれぞれ自然数全体の集合,整数全体の集合,有理数全体の集合,
実数全体の集合,複素数全体の集合を表します.
ボールドは出ないのでローマンと区別がつきにくいですが
文脈で判断してください.紛らわしいときはいちいち断ります.

176 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/06/15(金) 03:57:23
例11 Z,Q,R,Cはそれぞれ普通の加法に関して可換群である.
証明 a∈Z,b∈Zならばa+b∈Z,
a∈Q,b∈Zならばa+b∈Q,
a∈R,b∈Zならばa+b∈R,
a∈C,b∈Zならばa+b∈C.
Cは加法についてG1を満たす.
Cの元0は加法の単位元である.0∈Z⊂Q⊂R⊂C.
a∈Cに対して-aは逆元である.
a∈Zならば-a∈Zであり,
a∈Qならば-a∈Qであり,
a∈Rならば-a∈Rであり,
a∈Cならば-a∈Cである.
Cの任意の2元はCの加法について可換である.■

177 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/06/15(金) 03:59:20
例12 Q^*:=Q-{0},R^*:=R-{0},C^*:=C-{0}
はそれぞれ普通の乗法に関して可換群をなす.
Q,R,Cは乗法に関して群をなさない.
証明 a∈Q,b∈Zならばab∈Q,
a∈R,b∈Zならばab∈R,
a∈C,b∈Zならばab∈C.
Cは乗法についてG1を満たす.
Cの元1は乗法の単位元である.
1∈Q⊂R⊂C.
a∈C^*に対して1/aは逆元である.
Cの任意の2元はCの乗法について可換である.
a∈Qならば(1/a)∈Qであり,
a∈Rならば(1/a)∈Rであり,
a∈Cならば(1/a)∈Cである.
0∈Q⊂R⊂Cの逆元があるとし,
bとすると0b=b0=1.このようなCの元bは存在しない.■

178 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/06/15(金) 04:01:56
例13 a∈R,b∈Rとする.
複素数α:=a+ibに対し,その絶対値を
          |α|:=√(a^2+b^2)
で定義する.
T:={α∈C;|α|=1}は乗法に関して可換群をなす.
証明 a_1∈R,a_2∈R,b_1∈R,b_2∈R,α_1=a_1+ib_1∈ T,α_2=a_2+ib_2∈ Tとすると,
          |α_1α_2|
          =|(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+b_1a_2)|
          =√((a_1a_2-b_1b_2)^2+(a_1b_2+b_1a_2)^2)
          =√(a_1^2a_2^2+b_1^2b_2^2+a_1^2b_2^2+b_1^2a_2^2)
          =√(a_1^2(a_2^2+b_2^2)+b_1^2(a_2^2+b_2^2))
          =√((a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2))
          =1
となるので乗法はTにおける算法である.
Tの乗法はCの乗法であるので結合律を満たす.即ちTはG1を満たす.
|1|=|1+i0|=√(1^2+0^2)=1より1∈Tであるので,1はTの単位元である.即ちTはG2を満たす.
α_1=a_1+ib_1∈ Tに対して,
1/α_1=a_1-ib_1∈T.TはG3を満たす.
また,Tの乗法はCの乗法であるのでTの任意の2元は可換である.■

179 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/06/15(金) 04:02:43
例14 {1,-1}は乗法について可換群をなす.
証明 1*1=(-1)*(-1)=1,1*(-1)=(-1)*1=-1となるので乗法は{1,-1}における算法である.
{1,-1}の乗法はCの乗法であるので結合律を満たす.即ち{1,-1}はG1を満たす.
1∈{1,-1}であるので,1は{1,-1}の単位元である.即ち{1,-1}はG2を満たす.
1^{-1}=1,(-1)^{-1}=-1であるので{1,-1}はG3を満たす.
また,{1,-1}の乗法はCの乗法であるので{1,-1}の任意の2元は可換である.■

180 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/06/15(金) 04:03:34
例15 集合{e}はee=eと算法を定めれば可換群をなす.
証明 (ee)e=ee=e,e(ee)=ee=eより{e}はG1を満たす.
ee=ee=eよりeは{e}の単位元である.よって{e}はG2を満たす.
e^{-1}=e.{e}はG3を満たす.
ee=eeより{e}の任意の2元は可換である.■
例15の{e}を単位群という.

181 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/06/15(金) 04:06:10
有限個の元からなる群を有限群という.有限群の元の個数をその群の位数という.
例16 Xを空でない集合とする.
GをXからXへの全単射全体の集合とすると,
Gは写像の合成に関して群をなす.また,
Xが3元以上からなるならGは非可換.
証明 補題1(>>170)より写像の合成はGの算法である.
補題2(>>171)よりGはG1を満たす.
I_XはGの単位元である.よってGはG2を満たす.
f∈Gの逆元はf^(-1)∈Gである.よってGはG3を満たす.
{a,b,c}⊂ Xとする.
f∈Gを
          f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a,¬(x∈{a,b,c})ならばf(x)=x,
g∈Gを
          g(a)=c,g(c)=a,¬(x∈{a,c})ならばf(x)=x
とすると,
(g○f)(a)=b,(f○g)(a)=aとなるのでこの群は非可換である.■

182 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/06/15(金) 04:08:02
例15のGを集合X上の対称群といいS(X)と書く.
S(X)の元を置換という.
Xがn元からなる集合のときS(X)をS_nと書き,
n次対称群という.
S_nは有限群で,その位数はn!である.実際,X={1,2,…,n}とすると,
X上の置換は例えば
          (1,2,…,n),(4,7,2,1,…)
などと表される.左の置換はI_Xを,右の置換はσ(1)=4,σ(2)=7,σ(3)=2,σ(4)=1,…となるS_nの元σを,それぞれ表すものとする.
即ちS_nの位数は,異なるn個のものを1列に並べる順列n!に等しい.

183 名前:はじめまして 投稿日: 2010/07/15(木) 09:55:21
114の(3)の答えってどうなるか教えてくださいー(>_<。)

185 名前:Je n'ai pas de nom! 投稿日: 2012/05/02(水) 20:59:29
腹へったな。。。

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9 東大の授業で奮闘するスレ (Res:352)All First100 Last50 SubjectList ReLoad 9
1 名前:臺地 (qpPuO9q2) 投稿日: 2005/04/18(月) 23:12:43
どうも。板の住人の一人、臺地です。この板に住み着きはや一年。
とりあえずいろいろな方に支えられて、一年前の目標、東大合格を果たしました。めでたし。
・・・とはいかなかったんですね。大学通い始めたはいいものの、なんだか様子がつかめません。
というか授業がわからないところが多々あります。じゃあ自分で復習すればいいじゃんということ
になるんですけど、自分じゃ復習しないんですね。最低ですね。

まあそういうわけで、この板のスレで授業日記でも書いてみようか
と思い立ちました。授業でわからなかったところを取りあげて、納得できるよう
考えてみたいと思います。科目はランダムです。たぶん語学も数学も物理もごっちゃになって
脈絡がなくなるでしょう。しかも説明は適当になると思います。他の人が読んでも
「は!?何これ」的状態になるかもしれません。あとすぐ挫折するかもしれません。
でも大目に見てやってください。

ごちゃごちゃ書いてきましたけど、何が言いたかったのかというと、
「スレ一つ私物化するけどあんまりいじめないでね♪」ってことですw
それでは、よろしくお願いします。(一応sageます)

328 名前:臺地 ◆6rqpPuO9q2 投稿日: 2007/03/13(火) 22:18:13
Lem2.10
E1,・・・,En∈Lは互いに素 
A⊂Rに対し、m*(A∩{∪[j=1,n]Ej})=Σ[j=1,n]m*(A∩Ej)
特にA=Rとして、m({∪Ej})=Σm(Ej)(Lem2.9より∪Ej∈Lに注意)

証明
帰納法。n=1は明らか。n-1まで正しいとする:m*(A∩{∪[j=1,n-1]Ej})=Σ[j=1,n-1]m*(A∩Ej)。
En∈Lより、m*(A∩∪[j=1,n]Ej)=m*(A∩(∪[j=1,n]Ej)∩En)+m*(A∩(∪[j=1,n]Ej)∩En^c)
(∪[j=1,n]Ej)∩En=Enで、(∪[j=1,n]Ej)∩En^c=∪[j=1,n-1]Ejより右辺=m*(A∩En)+Σ[j=1,n-1]m*(A∩Ej)
なので示された。

329 名前:臺地 ◆6rqpPuO9q2 投稿日: 2007/03/13(火) 22:51:38
Lem2.11
E1,E2,・・・∈Lなら、∪[n=1,∞]En∈Lである。
E1,E2,・・・が互いに素なら、m(∪En)=Σ[n=1,∞]m(En)

証明
E1∩E2≠φだとしても、E2'=E2\E1=E2∩E1^c=(E2^c∪E1)^c(これは可測)とかおいて互いに素
なものに切り離せるので、初めからE1,・・・は互いに素としてよい。

∀A∈2^ Rをとり、m*(A∩∪En)+m*(A∩∩En^c)≦m*(A)を示す。
A∩∪En=∪(A∩En)で、劣加法性、単調性より、
左辺≦Σ[j=1,∞]m*(A∩Ej)+m*(A∩∩[j=1,∞]Ej^c)=sup[n≧1]Σ[j=1,n]m*(A∩Ej)+m*(A∩∩[j=1,n]Ej^c)
これがm*(A)以下であることを示せばよい。

ここで、Lem2.10より、∀n≧1に対し、
Σ[j=1,n]m*(A∩Ej)+m*(A∩∩[j=1,n]Ej^c)=m*(A∩∪[j=1,n]Ej)+m*(A∩∩[j=1,n]Ej^c)=m*(A)なのでOK。

330 名前:臺地 ◆6rqpPuO9q2 投稿日: 2007/03/13(火) 23:31:37
外測度
区間I(端点はa<b)に対し、その長さ|I|:=b-aで定義。
Def2.1
A⊂Rに対し、Aを覆う加算個の開区間の、長さの総和の下限をm*(A)と書きルベーグ外測度という。
つまり、P_A={(In)_n∈N|Inは開区間でA⊂∪[n=1,∞]In}、Q_A={Σ[n=1,∞]|In||(In)∈P_A}(+∞も許可)
とおいたとき、m*(A)=inf_[(In)∈P_A]Q_Aである。

Th'm2.2.3)劣加法性
A1,・・・⊂Rに対し、m*(∪[j=1,∞]Aj)≦Σ[j=1,∞]m*(Aj)

証明の方針
∪[j=1,∞]Ajを覆う区間列で、その長さの総和がΣ[j=1,∞]m*(Aj)くらいになる奴を作れればおk。
各jに対し、Aj⊂∪[n=1,∞]Injとなる区間Injたちをとってくる。ただしΣ[n=1,∞]|Inj|≦m*(Aj)+(小)となるようにする。
すると∪Aj⊂∪[n,j≧1]Injであって、m*(∪[j=1,∞]Aj)≦Σ[n,j≧1]|Inj|≦Σ[j=1,∞]m*(Aj)+Σ[j=1,∞](小)となる。

余計なΣ(小)の項は、m*(∪[j=1,∞]Aj)やΣ[j=1,∞]m*(Aj)とは独立に、いくらでも小さくできるようにしなくてはいけない。
任意のε>0をとり、Σ[j=1,∞](小)=εとなるようにするには・・・(小)=ε/2^jとしておけばいい。

332 名前:臺地 ◆6rqpPuO9q2 投稿日: 2007/05/02(水) 23:32:00
授業が始まって1ヶ月・・・まずい・・・早くも落ちこぼれそうだ。

ルベーグ積分:演習問題が解けず、たまっていく
多様体:演習問題が難しい・・
複素解析:講義すら、聴いただけでは理解不能。復習すべきノートのページがたまっていく・・・
       演習問題は手も足も出ない問題ばかり。
代数:演習問題がたまってる。
数値計算:プログラミングが全然わからん。
統計:演習問題に取り組めていない。

全体的に、講義はまだいいのだが、演習問題についていけてない。
どの問題も難しく見えてびびってしまっている。
9スレ時代のような、粘り強く取り組む姿勢が欠けてきているのが一番の問題点。

333 名前: ◆ZFABCDEYl. 投稿日: 2007/05/03(木) 00:42:25
>>332
統計ってどこら辺まで?
分散分析まで?

勉強大変そうでつね・・。僕の場合,「勉強」らしい「勉強」というものは
だんだんなくなっていくから,ある意味ラクじゃよ。

しっかし,本当に数学科は大変なところじゃな・・。
でも台地氏は総代で卒業するじゃろうと期待しております。
僕の場合はブービー賞を狙ってます。

334 名前:臺地 ◆6rqpPuO9q2 投稿日: 2007/05/03(木) 23:01:18
>>333
統計は今のところ高校の復習+αって感じだね。
確率変数の独立とか、二項分布とか、母関数とかそんなとこ。
ルベーグ積分は未習なので、測度論を使った本格的な確率論は冬学期からです。

335 名前: ◆ZFABCDEYl. 投稿日: 2007/05/04(金) 00:05:52
>>334
僕の場合,『使い方』だけを覚えただけであります!
理論式のような見ちゃいけない所は見ておりませぬ。

でも台地氏,とても難しいものを学んでいて立派じゃ。
今の僕にとって数学の接点はカテキョだけ。
カテキョ女子はとても吸収性に富んでいるので,
僕はロリ江とあだ名をつけました。なぜか彼女は喜んでおります。
青チャートを中心にして,別に補うところはノートを作って教えています。
英語は構文把握能力は身についていることが分かりました。
あとは単語とイディオムの量と,返り読みをしない癖をつけさせる
ことだけで大丈夫そう。高2か高3で英検2級は取れると思います。
僕は高3のとき準1に墜ちたので,彼女も2級までじゃ!って感じです。

336 名前: ◆ZFABCDEYl. 投稿日: 2007/05/04(金) 00:13:28

>ルベーグ積分

図書館でこのタイトルがついた本を見たことがある!
(シリーズ本のなかの1冊だった)

演習問題っていうのは先生が作った問題なんですか?
それとも本の章末問題のような奴?

337 名前:Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6 投稿日: 2007/05/06(日) 05:47:14
>>332
講義、聴いただけで分かる人はまあいません。
復習をしっかりしましょう。
演習問題はできそうなのからやってくほかないですね。

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