講義と演習「代数系入門｣

178：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/15(金) 04:01:56: 例１３　a∈R,b∈Rとする.
複素数α:=a+ibに対し,その絶対値を
　　　　　　　　　　|α|:=√(a^2+b^2)
で定義する.
T:={α∈C;|α|=1}は乗法に関して可換群をなす.
証明　a_1∈R,a_2∈R,b_1∈R,b_2∈R,α_1=a_1+ib_1∈ T,α_2=a_2+ib_2∈ Tとすると,
　　　　　　　　　　|α_1α_2|
　　　　　　　　　　=|(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+b_1a_2)|
　　　　　　　　　　=√((a_1a_2-b_1b_2)^2+(a_1b_2+b_1a_2)^2)
　　　　　　　　　　=√(a_1^2a_2^2+b_1^2b_2^2+a_1^2b_2^2+b_1^2a_2^2)
　　　　　　　　　　=√(a_1^2(a_2^2+b_2^2)+b_1^2(a_2^2+b_2^2))
　　　　　　　　　　=√((a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2))
　　　　　　　　　　=1
となるので乗法はTにおける算法である.
Tの乗法はCの乗法であるので結合律を満たす.即ちTはG1を満たす.
|1|=|1+i0|=√(1^2+0^2)=1より1∈Tであるので,1はTの単位元である.即ちTはG2を満たす.
α_1=a_1+ib_1∈ Tに対して,
1/α_1=a_1-ib_1∈T.TはG3を満たす.
また,Tの乗法はCの乗法であるのでTの任意の2元は可換である.■

新着レスの表示

※書き込む際の注意事項はこちら

※画像アップローダーはこちら

（画像を表示できるのは「画像リンクのサムネイル表示」がオンの掲示板に限ります）

掲示板管理者へ連絡無料レンタル掲示板