俺に数学を教えてください - 1110674207

1：green：2005/03/13(日) 09:36:47: 本スレの方はついていけないんです。
問題文と答えを読んでもよく理解できないくらいです。
なのでROMることすらできない感じです。
本スレより下のレベルから教えて下さい。
最終的には本スレのレベルが分かるようになりたいんです。
お願いします。
370：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/06/07(火) 18:35:58: 次の疑問.
Ω={1,2,…},F={A|A⊂Ω}として,各自然数nに対して0以上1以下の実数p_nを与え,
P({n})=p_1p_2…p_(n-1)･(1-p_n)として(p3)を満たすようにPを定めた場合で,
P(Ω)<1とすることができるかどうか.
このときP(Ω)=1-p_1p_2…p_nとなります(←演習とします).
したがって数列{p_n}のなかに0がひとつでもあればP(Ω)=1となります.
0<p_n<1となるnが有限個のときはP(Ω)<1,無限個のときはP(Ω)=1となります.
たとえばあったり前の例ですがp_1=1/2,2以上のnでp_n=1であったらP(Ω)=1/2
になり「永遠に終わらない確率」は1/2あることになります.

補足.p_1=1/2,2以上のnでp_n=1のケースだとPは(p2)を満たさないので
このとき(Ω,F,P)は確率空間になりません.
これを確率空間にするためには
Ω=N∪{ω},F={A|A⊂Ω},自然数nに対してはP({1})=1/2,2以上の自然数nに対して
P({n})=0,P({ω})=1/2とすればよいでしょう.
371：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2005/06/07(火) 22:45:32: >こけ氏
よく考えないままのレスで申し訳ないんだけど、
http://www33.ocn.ne.jp/~aozora_gakuen/
の前座は参考にならない？
372：虚仮 ◆ZFABCDEYl.：2005/06/07(火) 23:08:24: >先生
ありがとうございます！頑張って読んでみます。

>>371
ｷﾀ━━━━（ﾟ∀ﾟ）━━━━!!!!!!
そうか，青空学園のこと忘れてた（´Д｀;）
これもプリントして後日読んでみます。
373：こぴぺ：2005/06/08(水) 09:39:30: 5/31注
青空学園数学科の掲示板の議論で明らかになったように，この問題の「すなわち」以下の言い換えは厳密には正しくありません．字義通りにとれば次の(1)であるからです．
(1) <「w=z^{2}-2zならば|z|<=5/4」が真となるzが存在する>w.．この場合Tは複素数全体になり|w|に最大値は存在しません．どのような複素数wに対しても，　【w≠z^2-2z 】　となるzをとれば　【w=z^2-2z ならば　|z|≦5/4】は真になるからです．

出題者は次のように言いたかったのです．
(2) <「w=z^{2}-2zを満たすzは|z|<=5/4を満たす」が真となる>w．問題文前半(「すなわち」より前)を言いかえたものはこちらです．

以下は(2)の意味に解釈しての解答です．私にまちがいがあるかも知れないので，議論のために私の解答をそのまま残します．
374：虚仮 ◆ZFABCDEYl.：2005/06/10(金) 04:13:24: 起きてしまったのでおはようございます。

>先生
非常にムズかしい・・(　ﾟдﾟ)ｶﾎﾟｰｿ
大学数学は難しくて今までの考え方が(本当に)通用しない・・。

>>373
こちらは理解できました。ありがとうございます。
375：虚仮 ◆ZFABCDEYl.：2005/06/12(日) 07:53:34: なんとか分かりますた。
確率空間
376：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/06/12(日) 14:11:18: >>375
演習としたふたつの事実はおｋですか？
377：虚仮 ◆ZFABCDEYl.：2005/06/12(日) 21:21:58: >>376
(((（ ;ﾟДﾟ)))
378：三代目かかろっと：2005/09/27(火) 20:43:58: 俺も数学を教えて欲しい
379：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/09/28(水) 05:13:22: >>378
えー。おひさ。
いろんなスレッドを取り揃えております。存分にご利用、ご参加ください。
380：Ｋａ氏：2005/10/01(土) 19:53:24: >>379
ありがとうございます
381：Ka：2005/10/03(月) 19:40:06: >>8
以下は解答ではありませんw
nは自然数だから、まずn=1(最小）で考えてみる
(i)n=1の時
2^(n+1)=2^2より，2^(n+1)はnで必ず割り切れる
(ii)n=2の時
2^(n+1)=2^3, 2^3÷2=3より、
2^(n+1)はnで必ず割り切れる
(iii)n=3の時
2^(n+1)=2^4, 2^4÷3=16/3より、割り切れない
…
以上より、直接解こうとする方法では解けないことがわかるので発想の転換を！
382：Ka：2005/10/03(月) 19:55:13: （ちょっとした続き）読みたい方だけどうぞ
>>381の考察より2^(n+1)の形が変わらないことには解けないことに気づいた。

少し数学B（旧過程？新課程は知らないのでご容赦を）の知識を使うことにする
命題：2^(n+1)がnで割り切れる
ということは、
2^(n+1)=n*g(n)　ただしg(n)はnの多項式でもちろん商である
と同値である。これを見て何かを思い出す・・

2^(n+1)がnの関数ならば我々は過去に解いた経験がある！

そこで数学Aあたりにあった公式、(a+b)^n=ΣnCr*a^r*b^(n-r)
すなわち(a+b)^(n+1)=Σ(n+1)Cr*a^r*b^(n+1-r)
を思いついた・・（以下続くかも）
383：Ka：2005/10/03(月) 19:57:27: 久しぶりに高校数学をやることもあり即興で考えてますのでとりあえずここまで
にします。（訂正あったらよろしくです
384：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/10/03(月) 21:01:18: >>381
えー。2^n+1は2^(n+1)ではなくて(2^n)+1なのですが。
385：Ka：2005/10/03(月) 21:06:09: >>384
おっと失礼。注意力散漫でしたすみません
386：Ka：2005/11/15(火) 23:29:32: このスレ、書き込む人ゼロになっちゃったなー
反論とかもっとあると思ったのに。。
387：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/11/16(水) 17:11:06: >>386
どのレスに関する反論ですか？
389：Ka＠さいやじん：2006/03/06(月) 20:12:10: 面白いと思った問題
～京大編～
三角形ABCにおいて，∠B=60°，Bの対辺の長さbは整数，他の2辺の
長さa,cはいずれも素数である．このとき，三角形ABCは正三角形
であることを示せ．
390：Ka＠さいやじん：2006/03/06(月) 20:14:42: こういう問題が京大らしい重厚な問題なのでしょうか？
そうである，そうでないいずれにせよ，こういう問題は近年出題されませんな
・・（後期までをも含む）．
391：たま ◆U4RT2HgTis：2006/03/06(月) 20:56:57: >>389
解いてみた。
b^2=a^2+c^2-2ac*cos(pi/3)
b^2=a^2+c^2-ac
b^2=(a-c)^2+ac
ac=(b-a+c)(b+a-c)
aとcは素数とa<b+c,c<a+bより
(1) b-a+c=1かつb+a-c=ac
(2) b-a+c=acかつb+a-c=1
(3) b-a+c=aかつb+a-c=c
(4) b-a+c=cかつb+a-c=a
の4つの場合のいずれか
(1)の場合
辺々引くと
2(a-c)=ac-1
∴c=(2a+1)/(a+2)=2-3/(a+2)<2
となり、cが素数に矛盾.
(2)の場合も同様にしてaが素数に矛盾
(3)の場合
辺々引いて、2(a-c)=c-a
よって、a=c.
これをb-a+c=aに入れて、a=b=cが従う.
(4)の場合もa=b=c.

今年の京大の問題といてみましたがあんまり面白くなかった。躓くとすれば4,5ぐらいかな。
なんていうか近年はとりあえず進めば答えにぶち当たるような問題が多い気がします。
392：Ka＠さいやじん：2006/03/06(月) 21:13:00: 簡単だったかな・・ついでに面白くなさそうな問題編@京大理系

xの関数f(x)のグラフy=f(x)における接線が，点(c,0)を通り，a≠cである
ものとする．このとき関数f(x)/(x-c)のx=aにおける微分係数を求めよ．

関数F(x)=∫[0-x]t(sint)^3の極大値を求めよ．ただしx>0とする．
393：Ka＠さいやじん：2006/03/06(月) 21:16:07: >392は若干訂正．

関数F(x)=∫[0-x]t(sint)^3dtの極大値を求めよ．ただしx>0とする．
394：Ka＠さいやじん：2006/03/06(月) 21:23:45: アァ、「東大」「数学」スレに書けないのがもどかしい（笑
京大数学だもんね．．
　それにしても、文科のほうがいい問題が多いのかな？？
395：たま ◆U4RT2HgTis：2006/03/06(月) 21:58:29: >>392
因数分解はすぐ思いついて、(1)(2)の場合にどう矛盾を導くかちょっと迷ったけど、
aもしくはcがかなり小さくなるなってのに目付けて考えたら割とすぐにできました。
面白くない問題なんてﾔﾀﾞ(´･д･`)

面白かった問題＠Z会

f_1(x)=x
f_2(x)=x^2-1/2
f_(n+2)(x)=x*f_(n+1)(x)-(1/2)*f_n(x)
とする。

(1)f_n(cosθ)={(1/2)^(n-1)}*cos(nθ)を示せ。

(2)f_n(x)は-1≦x≦1の範囲に絶対値の等しい極値をn個もつことを示せ。

(3)A_n={g_n(x)|g_n(x)=x^n+a_(n-1)x^(n-1)+・・・+a_1x+a_0 , a_i∈R (i=0,1,・・・,n-1)}
とするとき、min[g_n∈A_n]{max[-1≦x≦1]g_n(x)}=(1/2)^(n-1)
となることを示せ。
396：たま ◆U4RT2HgTis：2006/03/06(月) 22:06:09: >>394
文科の問題はあんまといてないから分からないですけど、
理系はⅢCの問題のレベルが近年恐ろしく下がってますね。
僕が受験した年から何かが狂いだした気がします。
397：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/06(月) 22:21:07: >>394
「東大」「数学」「補完」
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1081779039/
がありますけど。
398：たま ◆U4RT2HgTis：2006/03/06(月) 22:52:42: >>395
ちょっと訂正
(2)誤：n個→正：(n-1)個
399：Ka：2006/03/06(月) 23:38:18: >>397
そこは東大問題専用スレじゃなかったの？
400：Ka：2006/03/06(月) 23:47:06: >>396
数年、著しくレベルが下がってますね。
東北大数学は割と簡単な問題でも点数が取れないので有名ですが（点数のつけ方
が辛いので（論理に辛い））、おそらくそのレベルを下回ってる感じがします。
いくら基礎力重視といえどもあれでいいんでしょうかね？
良い京大はどこへいったのでしょうか？
401：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2006/03/07(火) 00:14:56: >>399
昔の本スレのかわりに使ってもらっていいですよ。
まあver21のつもりで。
402： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/07(火) 00:18:13: >>400
僕は受けやすくなって改善されたと思うんですけど・・。
それに近年の傾向から考えると，難解な発想や複雑な計算をさせる
ことよりも，記述答案として日本語部分をも含め，より完成度の高い
答案を作成しなさいっていうメッセージに感じますよ。
数学的な難解なものを解くことよりも，記述答案して非のないものを
作りなさいという力を求めているんだと思います。
403： ◆ZFABCDEYl.：2006/03/07(火) 00:21:57: 同じ数学の試験でも求めているものが大学によって違うっていうのは
面白いでつよね。
404：Ka：2006/03/07(火) 00:25:09: >403
そうですね
随分違う（笑
405：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/03/10(金) 02:32:59: ﾗﾒﾝ氏へ挑戦問題。
xyz空間内の原点を中心とする半径1の球面Sを考え、S上の定点(0,0,1)をAとする。
A以外のS上の点P(x,y,z)に対し、直線APとxy平面の交点をQとする。
正の定数kに対して、Pがx^2+y^2+z^2=1,x≧1/k,y≧1/k,z≧1/kを満たしながら動くとき、Qの動く範囲を求めよ。
406：Ka＠さいやじん：2006/03/15(水) 21:37:45: ＞230 名前： ◆B0TNinNEko 投稿日： 2006/03/13(月) 1*:**:**
＞京大後期理系４
＞半径１の円に内接する三角形に内接する円の半径は1/2以下であることを示せ
＞

これって似たようなのをどこかで見たような？？
うーん、微妙に本スレだったのよりは下レベルかな？w
407：Ka＠さいやじん：2006/03/15(水) 21:44:26: これか！！
だいぶ違うか（苦笑

点Oを中心とする半径1の球面上に3点A，B，Cがある．線分BC,CA,AB
の中点をそれぞれP,Q,Rとする．線分OP,OQ,ORのうち少なくとも1つは長さ
が1/2以上であることを証明せよ．
408：Ka＠さいやじん：2006/03/15(水) 21:58:22: 補足としては、>>389は１９９０年京大数学文理共通２番だったみたいです。
409：Ka＠さいやじん：2006/03/15(水) 22:07:57: >>408は前期でした。脱落失礼
410：あしぺた：2006/03/15(水) 22:19:27: >>407
かなり似てるかも(笑)
A,B,C,Oが同一平面上のときに帰着できるから、
球を円と読み変えた問題になります
三角形の辺の中点を結んだ三角形を作るあたり
今回の京大理系後期の4の大数の証明(すぐ上のレス参照)と酷似してる(笑)
411：Ka＠超さいや人：2006/04/02(日) 02:21:19: >407は京大後期数学・文科　だったみたいです。
年度は忘れた…（１０年位前
412：green：2006/09/30(土) 02:42:37: 復帰予定age
413：green：2006/09/30(土) 23:19:37: 「東大」「才能」「数学」スレより質問でつ

587 名前：大学への名無しさん：03/08/22 23:50 ID:7JUWA3ZN
問題投下しまつ。

3以上の素数を小さい順に並べた数列
　3, 5, 7, 11, …
を考える。この数列の任意の隣り合った2項の和は
少なくとも3つの素因数をもつことを示せ。
(2^2*3,5^3なども3つの素因数をもつ)

593 名前：９：03/08/23 00:03 ID:p/Yaz8J7
>>587
よっしゃｷﾀ─wwﾍ√ﾚvv~(ﾟ∀ﾟ)─wwﾍ√ﾚvv~─ ！！！

3以上の素数はすべて奇数だから、隣り合った二つの素数を
2m+1、2(m+n)+1とおくことができる。（m、nは自然数）
このとき、2(m+1)+1、2(m+2)+1、…、2(m+n-1)+1はすべて非素数である。…(a)
さてこの2数の和S=(2m+1)+{2(m+n)+1}=2(2m+n+1)=2*{2(m+n/2)+1}

(i) nが偶数のとき、つまり自然数n'を使ってn=2n'と書けるとき
S=2{2(m+n')+1}。ここで1≦n'≦n-1だから(a)より2(m+n'+1)は最低でも2つの素因数を持つ。
以上より、Sは最低でも3つの素因数を持つ。

(ii) nが奇数のとき、つまり自然数n'を使ってn=2n'-1と書けるとき
S=2*2*(m+n')よりSは最低でも3つの素因数を持つ。

(i)(ii)より、題意は満たされる！！！
414：green：2006/09/30(土) 23:21:33: 質問
＞(i) nが偶数のとき、つまり自然数n'を使ってn=2n'と書けるとき
＞S=2{2(m+n')+1}。ここで1≦n'≦n-1だから

で、1≦n'≦n-1　はどこから出てくるんですか？
誰か教えてください
415：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2006/10/01(日) 00:12:02: >>414
n'はもともとn/2だったんだからnよりは小さいですね。
416：green：2006/10/01(日) 01:18:52: >>415
n'=n/2 < n で、n'とn は自然数なので
n'　　 ≦ n-1 　でよろしいでしょうか？

あ、あとメール返信しておきました。
417：green：2006/10/01(日) 01:28:59: n=2n'…★　但しn,n' は自然数において
1≦n'≦n-1　を示す。

n’≧1　より n=2n'≧2
　2≦ｎ
⇔n≦2n-2
⇔2n'≦2n-2　（∵★）
⇔n'≦n-1 （←両辺を2で割った）

これでもよいのかな？
418：green：2006/11/15(水) 05:01:51: >>125　に関連することなのですが、
大学受験において
＞ｆ(x)が三次関数のときは極大値が極小値より大きい
ことは証明なしで使ってもよいものなのでしょうか？
419：green：2006/11/15(水) 05:07:42: なんでそう思ったかというと、京大の過去問題集に以下のような解答が書いてあったからです。
「ｆ(x)　はｘの３次式で、ｆ(x)　をその導関数ｆ'(x) で割ったときの余りは定数である。
このとき方程式　ｆ(x) ＝ 0　をみたす実数　ｘ　はただ一つであることを示せ。」
[1989年度京大理系前期日程の３番]
背理法によって示す。
ｆ(x)　をｆ'(x) で割ったときの商をｇ（ｘ）、余りをR（定数）とすると
ｆ(x)＝ｆ'(x) ｇ（ｘ）　+　R　…………ア
ここで、ｆ'(x) ＝0　が異なる二つの実数解α、β（α＜β）をもつとすると、
ｆ（ｘ）は、ｘ＝α、ｘ＝β　で極値をもち、（極小値）＜（極大値）　である。
ところがアより、
ｆ(α)＝ｆ'(α) ｇ（α）　+　R　＝　R
ｆ(β)＝ｆ'(β) ｇ（β）　+　R　＝　R
すなわち、ｆ(α)＝ｆ(β)　となり、矛盾。
よって、ｆ'(x) ＝0　は重解または虚数解をもつ。
したがって、つねにｆ'(x) ≧0　または　ｆ'(x) ≦0　（等号が成り立つｘの値は高々1個）である。
これより、ｆ(x) は単調に増加または減少する。また、
（x^3の係数）＜0の時、lim_[x→∞]f(x)＝－∞　、lim_[x→-∞]f(x)＝∞
（x^3の係数）＞0の時、lim_[x→∞]f(x)＝　∞　、lim_[x→-∞]f(x)＝－∞
であり、f(x)　は連続関数であるから、中間値の定理より、ｆ(x) ＝ 0　をみたす実数　ｘ　はただ一つ存在する。（証終）