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東大の授業で奮闘するスレ

328：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/03/13(火) 22:18:13
Lem2.10
E1,・・・,En∈Lは互いに素　
A⊂Rに対し、m*(A∩{∪[j=1,n]Ej})=Σ[j=1,n]m*(A∩Ej)
特にA=Rとして、m({∪Ej})=Σm(Ej)(Lem2.9より∪Ej∈Lに注意)

証明
帰納法。n=1は明らか。n-1まで正しいとする：m*(A∩{∪[j=1,n-1]Ej})=Σ[j=1,n-1]m*(A∩Ej)。
En∈Lより、m*(A∩∪[j=1,n]Ej)=m*(A∩(∪[j=1,n]Ej)∩En)+m*(A∩(∪[j=1,n]Ej)∩En^c)
(∪[j=1,n]Ej)∩En=Enで、(∪[j=1,n]Ej)∩En^c=∪[j=1,n-1]Ejより右辺=m*(A∩En)+Σ[j=1,n-1]m*(A∩Ej)
なので示された。
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