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「集合・位相入門」演習スレッド

1Святослав(☆8) </b><font color=#FF0000>(DTxrDxh6)</font><b>:2004/10/12(火) 19:17
しばらく滞っております「集合・位相入門」輪読会スレですが、
滞りがちになる原因のひとつに、節末の問題演習があるように
思います。
以後、節末の問題演習は各自が取り組むことにし、
分からない問題や、面白い問題をこのスレで議論することにしましょう。

4LAR-men </b><font color=#FF0000>(lBLdA0dk)</font><b>:2004/10/20(水) 02:51
>>3について
ちょっとB_0の扱いがおかしいとこがあります。
図を描いて補完してくださいスマソ。

5LAR-men </b><font color=#FF0000>(lBLdA0dk)</font><b>:2005/02/06(日) 18:17:34
¬(a≦b)⇔a>b を証明せよ

6名無し研究員さん:2005/02/06(日) 21:19:48
>>5
A={2, 3, 6}, (x, y)∈A^2に対してx|yで順序を入れると
¬(2|x)を満たすxは6だけだけど
x|2かつx≠2を満たすxはないですよ。

7Мечислав(☆9) </b><font color=#FF0000>(DTxrDxh6)</font><b>:2005/02/06(日) 21:20:13
↑名前入れ忘れ。

8LAR-men </b><font color=#FF0000>(lBLdA0dk)</font><b>:2005/02/06(日) 21:57:13
訂正しますだ

全順序集合Aの任意の2元a,bについて
¬(a≦b)⇔a>b 
が成立することを証明せよ

9臺地 </b><font color=#FF0000>(qpPuO9q2)</font><b>:2005/02/27(日) 18:45:54
>>8
まずa,bを一般の順序集合A(全順序とは限らない)の二元として、次を示す
①a≦b⇔a<b∨a=bであって、a<bとa=bの一方のみが成立
定義から後半は明らか。前半は、
右辺⇔(a≦b∧a≠b)∨a=b⇔(a≦b∨a=b)∧(a≠b∨a=b)⇔a≦b∨a=b
であることから、a≦b⇔a≦b∨a=bを示せばよい。⇒は明らか。
逆を示す。a=bならば反射律よりa≦b、a≦bならばa≦bとなるのは当然。
以上より①は真である。

次に、a,bが全順序集合Aの二元として、¬(a≦b)⇔a>bを示す。
Aが全順序集合であることから、a≦b∨b≦aは常に真。
①より、a≦b∨b≦a⇔(a<b∨a=b)∨(b<a∨b=a)⇔a>b∨a=b∨a<bだから、これが常に真。
しかも、a>b,a=b,a<bのどの二つも両立せず、どれか一つだけが成立。

ここで、①より、¬(a≦b)⇔¬(a<b)∧¬(a=b)。
上に述べたことより、これはa<bと同等。

10Мечислав(☆9) </b><font color=#FF0000>(DTxrDxh6)</font><b>:2005/03/02(水) 06:23:48
>>9
了解です。
二行目は
a<bとa=bが同時に成り立つとするとa≦b∧a≠b∧a=bという恒偽式が
導かれてしまうのでa<bとa=bは両立しない
とでも書けば「明らか」なる言葉は使用せずにすみます。
五行目は
p,qを命題とすると,命題「p⇒p∨q」は恒真式であるから
とでも書けば「明らか」と書かずにすみます。
できる限り「明らか」は遣わないようにしましょう。

11臺地 </b><font color=#FF0000>(qpPuO9q2)</font><b>:2005/03/02(水) 12:23:19
>>10
お久しぶりです!9はラメン氏と話していたとき話題になったので書いてみたものです。
確かに、明らかという言葉はあまり耳障りがよくないですね。以後注意。。
>恒偽式、恒真式
初めて聞く語法です。簡潔な表現で、使えそうですね

12Мечислав(☆9) </b><font color=#FF0000>(DTxrDxh6)</font><b>:2005/03/20(日) 03:25:22
集合Xの部分集合に関する性質Cが有限的な性質であるような例を挙げよ。

えー、711くんたちも是非挑戦を!

13Мечислав(☆9) </b><font color=#FF0000>(DTxrDxh6)</font><b>:2005/03/21(月) 07:38:28
「Мを集合系とし、その(⊂に関する)任意の全順序部分集合Нに対して、
 Нのすべての元を部分集合として含むМの元が存在するとする。
 そのときМの中には極大な集合が存在する。」
を仮定して
「Cを集合Xの部分集合に関する有限的な条件とし、
 Cを満たすようなY⊂Xが少なくとも1つ存在するとする。
 そのときCを満たすXの(包含関係の意味で)極大な部分集合が存在する。」
を証明せよ。

14Мечислав(☆9) </b><font color=#FF0000>(DTxrDxh6)</font><b>:2005/03/21(月) 07:45:25
「Aを帰納的な順序集合、x_0をAの1つの元とすれば
Aの極大元xでしかもx≧x_0であるものが存在する。」
を仮定して
「Cを集合Xの部分集合に関する有限的な条件とし、Y_0⊂XはCを満たすとする。
そのときCを満たすXの極大な部分集合でしかもY_0を含むものが存在する。」
を証明せよ。

>>13とか>>14は何も参照せずにできるようになることを目標にすればよいかと。

15臺地 </b><font color=#FF0000>(qpPuO9q2)</font><b>:2005/03/23(水) 21:28:50
>>12
自然数の集合Nにの部分集合についての性質C:「どの元も偶数である」は有限的性質である。
実際、Nの任意の部分集合Mを考えたとき、
Mのどの元も偶数であるなら、Mのどの有限部分集合も偶数からなる集合であるし、
Mのどの有限部分集合も偶数からなる集合であるならば、Mのどの元も偶数である。
∴MがCを満たす⇔Mのどの有限部分集合もCを満たす。よってCは有限的性質。
ちなみに定理6(a)によればCを満たす極大な2^Nの元が存在するはずだが、それは偶数の集合全体{2,4,6・・・}。

16Мечислав(☆9) </b><font color=#FF0000>(DTxrDxh6)</font><b>:2005/03/24(木) 01:46:52
>>15
はい。想定答案でした。
これならもちろんCを満たさない2^Nの元は存在しますね。N自身とか。

17Мечислав(☆9) </b><font color=#FF0000>(DTxrDxh6)</font><b>:2005/05/01(日) 03:43:28
演習。

A,Bを順序同型な整列集合,f∈B^Aを順序同型写像とする。
aをAの任意の元とするとき
A<a>とB<f(a)>は順序同型であることを示せ。

18Мечислав(☆9) </b><font color=#FF0000>(DTxrDxh6)</font><b>:2005/05/01(日) 03:48:52
演習

(1) μをひとつの順序数とし,S_μ={ν|νは順序数でν<μ}とする。
  S_μが最大元を持てば,それはμの直前の元となる。

(2) ωは極限数である。

(3) 極限数は超限順序数である。

19たま </b><font color=#FF0000>(RT2HgTis)</font><b>:2005/05/01(日) 04:47:16
>>17
fが順序同型写像であることよりa',a∈A,a'≦a⇔f(a')≦f(a)
a'∈A<a>とすると、a'<aよりf(a')<f(a)なので、f(a')∈B<f(a)> ―――(1)
またb'∈B<f(a)>とすると、b'<f(a)
順序同型⇒全射なので、∃a'∈A f(a)=b'
b'=f(a')<f(a)より、a'<a 故にa'∈A<a>
従って,∀b'∈B<f(a)> ∃a'∈A<a> s.t. f(a')=b' ―――(2)
(1),(2)より
fの定義域をA<a>,終集合をB(f<a>)にした写像をgとすると、gは全射。
さらにa',a∈A,a'≦a⇔f(a')≦f(a)より
a',a''∈A<a>,a'≦a⇔g(a')≦g(a'')
従って、gはA<a>からB<f(a)>への順序同型写像となる。  //

とりあえずこんな感じかな。

20Мечислав(☆9) </b><font color=#FF0000>(DTxrDxh6)</font><b>:2005/05/01(日) 05:03:01
>>19
はい。おkです。

21たま </b><font color=#FF0000>(RT2HgTis)</font><b>:2005/05/01(日) 05:25:55
【演習】
(1)νがμの直前の元⇔ν<μかつν<ξ<μなるξが存在しない。
 ν_M=max(S_μ)とすると、ν<μかつ∀ν∈S_μ ν≦ν_M
 故に、ξ<μ⇒ξ∈S_μ⇒ξ≦ν_Mとなるので、
 ν_M<ξ<μなるξが存在しない。
 従って、ν_Mはμの直前の元である。  //
 
(2)ωに直前の元があると仮定し、その元をν_Mとおく。
 ordN=ω、ν_M<ωより、
 ∃M∈N s.t. ordN<M>=ν_M
 然るに、N<M>〜N<M>=(N<M+1>)<M>なので、
 ν_M=ordN<M><ordN<M+1><ordN=ω
 これは、ν_Mがωの直前の元であることに反する。
 従って、ωは極限数である。
 
(3)極限数⇒超限順序数の対偶は
 「有限順序数⇒孤立数」であり、これを示せばよい。
 nを0でない任意の有限順序数とする。
 A={1,2,・・・,n}とすると、ordA=nである。
 ν<nとすると∃m∈A s.t. ordA<m>=νであり、A<m>={1,2,・・・,m-1}=m-1であるので、
 S_n={1,2,・・・,n-1}となる。maxS_n=n-1より、n-1はnの直前の元である。
 従って、0でない任意の有限順序数は孤立数である。
 また、定義より0も孤立数なので、有限順序数⇒孤立数が示せた。
 従って、極限数は超限順序数である。

22Мечислав(☆9) </b><font color=#FF0000>(DTxrDxh6)</font><b>:2005/05/01(日) 05:46:37
>>21
(1) 2行目のν<μはν_M<μね。
あとはおk。

(2)はい完璧。

(3)五行目のA<m>={1,…,m-1}のあとの「=m-1」ってのは
行をあらためてordA<m>=m-1って書くつもりだったのですか?
ν<nとすると∃m∈A; ν=m-1と。

むしろ逆に
任意のAの元mに対してordA<m>=m-1<nだから
S_n={ordA<m>|m∈A}={0,1,2,…,n-1}
となるのでは?

23たま </b><font color=#FF0000>(RT2HgTis)</font><b>:2005/05/01(日) 09:48:09
>>22
五行目のA<m>={1,…,m-1}のあとの「=m-1」ってのは
>行をあらためてordA<m>=m-1って書くつもりだったのですか?

あぁ、ほんとだ。

24たま </b><font color=#FF0000>(RT2HgTis)</font><b>:2005/05/01(日) 10:00:52
>>23は無視してください。途中で書き込んじゃった。

>>22
>五行目のA<m>={1,…,m-1}のあとの「=m-1」ってのは
>行をあらためてordA<m>=m-1って書くつもりだったのですか?
そうです。n<νをみたす順序数のがS_nの元だから・・・て感じでかいていってんで。
でもこの書き方だと、1からn-1まで尽くしてるかどうかちゃんと言えてないですね_| ̄|○

>むしろ逆に
>任意のAの元mに対してordA<m>=m-1<nだから
>S_n={ordA<m>|m∈A}={0,1,2,…,n-1}
>となるのでは?
おっしゃるとおりで。あぁ、まだ詰めが甘い。

25臺地 </b><font color=#FF0000>(qpPuO9q2)</font><b>:2005/05/02(月) 23:40:35
>>19
>順序同型⇒全射なので、∃a'∈A f(a)=b'
f(a')では?

>>21
(1)添え字のMは何の集合の元?それともMaxのMですか?

(2)
>ωに直前の元
この語法はおかしくないですか?
>∃M∈N s.t. ordN<M>=ν_M
自然数Mとν_MのMは別物なんでしょうか。
あとどうでもいいことですが、s.t.ってこの場合抜いても、論理式に変わりはないですよね?

(3)はまだ読解できない

26臺地 </b><font color=#FF0000>(qpPuO9q2)</font><b>:2005/05/03(火) 00:05:13
>>21
(3)はたま氏のでオッケーな気が・・・
> ν<nとすると∃m∈A s.t. ordA<m>=νであり、
っていうのはつまり、
∀ν s.t.(νはnより小さい順序数);∃m∈A;ordA<m>=ν
のことですよね?で、ここからS_n={ordA<m>|m∈A}={0,1,2,…,n-1}が言えて・・・
となるのではないでしょうか。

>>22を誤読してたらすみません。
あとそれどころじゃない壮大な間違いがあったら申し訳ないです。

27たま </b><font color=#FF0000>(RT2HgTis)</font><b>:2005/05/03(火) 00:50:07
>f(a')では?
あぅ。書き間違えのオンパレード('A`)

>>ωに直前の元
>この語法はおかしくないですか?
そんなのおかしいとは思わないけど、「ωが直前の元を持たないと仮定する」とかなんとかって
書いた方が正確でいいかもしれない。

>(1)添え字のMは何の集合の元?それともMaxのMですか?
MaxのMだったり。

>自然数Mとν_MのMは別物なんでしょうか。
別物です。途中からMがでてきてややこしくなってるだけで。スマソ。

>あとどうでもいいことですが、s.t.ってこの場合抜いても、論理式に変わりはないですよね?
s.t.は気分で入れたり入れなかったりしてるだけです。論理的には変わりないです。

>∀ν s.t.(νはnより小さい順序数);∃m∈A;ordA<m>=ν
>のことですよね?で、ここからS_n={ordA<m>|m∈A}={0,1,2,…,n-1}が言えて・・・
「ここからS_n={ordA<m>|m∈A}={0,1,2,…,n-1}が言えて」がちょっとおかしいんです。
S_n={ordA<m>|m∈A}={0,1,2,…,n-1}ってかくと、mはAの元すべてにわたることになるけど、
∀ν s.t.(νはnより小さい順序数);∃m∈A;ordA<m>=νっていうのは
任意のνに対応して"ある"Aの元mがとれるだけで、BをAの部分集合としてS_n={ordA<m>|m∈B}と
かける可能性を否定できないわけです。まぁ、どっちにしろS_nは有限集合になるから、nに直前の元が
あるってことが言えるし、たいしたことじゃないんですが。
あと、やっぱり先生のもちょっと不十分な気がします。
ordA<m>がS_nの元を全部尽くしてるかをもうちょっとちゃんと言ったほうがいいかと。
まとめると、AからS_nへの全単射があることをちゃんと言っといた方がよかったってことかな。

28臺地 </b><font color=#FF0000>(qpPuO9q2)</font><b>:2005/05/03(火) 01:05:40
>>27
前半
ωって集合じゃないから「元」って表現は違うんじゃないでしょうか。
テキストでも「直前の順序数」って書いてありますし・・・

後半
なるほど。。そのとおりですね。失礼しました。
写像f:ν|→mが単射であることを言わなきゃいけないのですね。

29たま </b><font color=#FF0000>(RT2HgTis)</font><b>:2005/05/03(火) 01:16:15
>>28
>ωって集合じゃないから「元」って表現は違うんじゃないでしょうか。
>テキストでも「直前の順序数」って書いてありますし・・・
そういう意味だったのか_| ̄|○
順序数全体の集合に順序を入れた集合を考えてるわけだから、直前の元って書いても特に問題ないと思うけど。

30臺地 </b><font color=#FF0000>(qpPuO9q2)</font><b>:2005/05/03(火) 01:25:53
>>29
ああそういうことだったんですか。これも失礼。

31Мечислав(☆9) </b><font color=#FF0000>(DTxrDxh6)</font><b>:2005/05/05(木) 23:59:59
>>27
後半。

えと
ordA<・>をAからS_nへの全単射であることを明記したほうがよい
ということですね。
S_n={m|mは順序数でm<n}={0,1,…,n-1}
であることと,
すべてのAの元iに対してordA<i>=i-1であることから
ordA<・>=f,gをS_nからAへの写像でg(i)=i+1と定めると
fg=I_(S_n),gf=I_(A).
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/497
よりfは全単射.

でよろしいでしょうか。

32たま </b><font color=#FF0000>(RT2HgTis)</font><b>:2005/05/07(土) 12:12:20
>>31
>ordA<・>をAからS_nへの全単射であることを明記したほうがよい
>ということですね
えっと、ちょっと違います。
S_n={ordA<m>|m∈A}とかS_n={m|mは順序数でm<n}={0,1,…,n-1}とか
を言うために、暗にordA<・>という、AからS_nへの全単射が存在するってことを
使ってるんじゃないかってことを言いたかったんです。
つまり、m<nなる順序数mは0〜n-1だけであるってことを自明としてよいのかなと。
僕としては、S_n={m|mは順序数でm<n}={0,1,…,n-1}が言えちゃえば、
ordA<・>がAからS_nへの全単射になることは自明でもいいかなって思ってます。
でも、{m|mは順序数でm<n}={0,1,…,n-1}ってのはあんまり自明じゃないって気がするんです。
だから、ちゃんとした解答を書きなおすと、

 極限数⇒超限順序数の対偶は
 「有限順序数⇒孤立数」であり、これを示せばよい。
 nを0でない任意の有限順序数とする。
 A={1,2,・・・,n}とすると、ordA=nであるので、
 ν<nとすると、"<"の定義より ∃m∈A s.t. ordA<m>=ν
 よって、∀ν∈S_n;∃m∈A;ordA<m>=ν
 逆に、∀m∈A;A<m>〜A<m>であるので、∀m∈Aについて、ordA<m><ordA=n
 故に、∀m∈A;ordA<m>∈S_n
 従って、S_n={1,2,・・・,n-1}となる。maxS_n=n-1より、n-1はnの直前の元である。
 以上より、0でない任意の有限順序数は孤立数であることが分かった。
 また、定義より0も孤立数なので、有限順序数⇒孤立数が示せた。
 従って、極限数は超限順序数である。  //
 
こんな感じでいいかと。
なんかhttp://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1110808043/115の焼き直しみたいに
なっちゃったけど。

33Мечислав(☆9) </b><font color=#FF0000>(DTxrDxh6)</font><b>:2005/05/09(月) 03:57:45
>>32
なるほど.自明じゃないとお思いの箇所はそこでしたか.

後段の証明ですが
∀ν∈S_n;∃m∈A;ordA<m>=ν
はS_n⊂∪[m∈A]{ordA<m>}={ordA<m>|m∈A},
∀m∈A;ordA<m>∈S_n
は{ordA<m>|m∈A}⊂S_n
をそれぞれ表してることになりますので
S_n={0,1,…,n-1}ではなく
S_n={ordA<m>|m∈A}を示したことになりますね。
で、{ordA<m>|m∈A}={ordA<1>,ordA<2>,…,ordA<n>}={0,1,…,n-1}
だからS_n={0,1,…,n-1}ってわけですね.

確かに順序数の順序の定義に照らしあわさねば,自明とするわけには
行きませんでしたね.>>22(ならびに>>31)は浅墓でした.ドモ.

34Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6:2005/08/11(木) 10:09:08
えー。また解析概論スレを読んで思いついた問題。
このスレに投下するってことがヒントになる問題。

Zを整数全体の集合とします.
A,Bがともに空でないZの部分集合で,A∪B=Z,A∩B=Φ
であるとし,さらに任意の(a,b)∈A×Bに対してa<bが成り立つとします.
このときAには必ず最大数があり,Bには必ず最小数があることを証明してください。

35Je n'ai pas de nom!:2005/08/12(金) 05:22:49
任意の(a,b)∈A×B

↑この数学記号が解からない

36Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6:2005/08/12(金) 06:14:50
>>35
えー。
「集合・位相入門」輪読会
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/256
にもありますが、
(a,b)∈A×Bってのは、a∈Aかつb∈Bという意味です。

37Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6:2005/08/13(土) 06:40:33
もう一丁,解析概論スレより.
まず有理数全体の集合をQ,実数全体の集合をRとします.
Qならびに,Rの性質として次のことは既知とし証明なしに使ってよいとします.

・Q⊂R.
・r^2=2,r>0を満たすRの元rは存在する.
・Rが数の大小に関して全順序集合をなす.即ち,任意の実数x,y,zについて,
 (i)x≦x.(ii)x≦yかつy≦xならばx=y.(iii)x≦yかつy≦zならばx≦z.
 (iv)x≦yまたはy≦xがつねに成り立つ.

で、問題
(1) r∈Q,r>0,r^2=2をみたすrは存在しない.
(2) rを(1)のRとする.A={x∈Q;x<r},B={x∈Q;r<x}とおく.
 (a) A∪B=Q.
 (b) A∩B=Φ.
 (c) x∈A,y∈Bならばx<y.
 (d) Aには最大数はなく,Bには最小数はない.

ここでM∈Rが,Rの部分集合Xの最大数であるとは(i)M∈X,(ii)x∈Xならばx≦M
をみたすことであるとします.

38Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6:2005/08/13(土) 07:06:40
>>37の訂正。
(2) rを(1)のRとする.→(2) rを(1)のrとする.

ついでに追加。
(3) C≠Φ,D≠Φ,C⊂Q,D⊂Q,C∪D=Q,C∩D=Φであり
   c∈C,d∈Dならc<d
   となるような集合C,Dで,
   Cは最大数をもち、Dは最小数を持たない例を
   理由つきで挙げてください。

41臺地 ◆6rqpPuO9q2:2007/02/26(月) 23:36:08
X:コンパクト位相空間、Y:位相空間
p:X×Y→Y;射影 が閉写像であることを示せ。

解けん・・・うまいアイデアありませんか?

42Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6:2007/02/28(水) 01:23:01
>>41
えと。F⊂X×Yを閉集合としてp(F)がYの閉集合であることをいえばいいんだから。
p(F)^cが開集合であることをいえばおk。
y∈p(F)^cとしてF^cがオープンであることとかXがコンパクトであることを
つかったら普通にできません?

43臺地 ◆6rqpPuO9q2:2007/02/28(水) 01:37:40
>>42
すいません、まだこの分野の知識を使って問題を解くのに不慣れなもので・・・
その「普通に」の部分をもちっと詳しく教えてもらえませんか?

44臺地 ◆6rqpPuO9q2:2007/02/28(水) 01:41:11
コンパクト性をどう使うのかよくわからないんです。
開被覆を構成するんでしょうか。

45Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6:2007/02/28(水) 01:43:26
>>44
そうです。
そこから有限個でもおkってやってね。。

46臺地 ◆6rqpPuO9q2:2007/02/28(水) 01:48:00
有限個でもおkってのが解答にどうつながっていくんでしょう?
解答全体の流れがつかめない・・・。

47Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6:2007/02/28(水) 03:06:14
>>46

F⊂X×Yを閉集合としてp(F)がYの閉集合であることをいえばいいんだから
p(F)^cがYの開集合であることをいえばおk。
y∈p(F)^cとすると任意のx∈Xに対して(x,y)∈F^c.
このとき任意のx∈Xに対してx∈U_x⊂XなるXのオプンセトと,このU_xに対する
y∈V_x⊂YなるYのオプンセットで(U_x×V_x)⊂F^cとなるものがとれる。
∪U_x=XでX:cptゆえ有限個のx_iで∪U_(x_i)=X。
各U_(x_i)に対してもy∈V_(x_i)⊂Y,(U_(x_i)×V_(x_i))⊂F^cとなるものがとれる。
V=∩V_(x_i)とおくとX×V⊂F^c。よってV⊂p(F)^c。

うーむ。結構マンドクセだった。。

48臺地 ◆6rqpPuO9q2:2007/02/28(水) 23:34:12
>>47
ありがとうございます!質問がいくつかあるのですが、


(U_x)x∈Xを作るところって、厳密には選択公理を使っていますよね?
U_x=∪{U∈O_X(開集合系)|x∈U}とか書いてあれば問題ないですけど。


U_xは既に取っているのにもう一回U_xiを取り直しているのはなぜですか?


>V=∩V_(x_i)とおくとX×V⊂F^c。よってV⊂p(F)^c。
ここら辺も証明するの面倒じゃなかったですか?


俺は、具体的なモデルを思いつけず、pが閉写像になるという必然性が全然感じ取れませんでした。
先生は機械的な論理の操作で押し通したのか、それとも具体例を念頭において解いたのか、
よかったら教えてください。

お詫び
今日、集合位相入門を見ていたらばっちりこの問題が載っていました(解答付)。
先生と同じ解法でした。わざわざ解かせてしまってすみません。

49Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6:2007/03/03(土) 01:50:53
>>48
えーっと、
Xがコンパクトじゃなかったら反例があるんやろなあ。
→たとえばX=Y=Rやったらどうやろう
→閉の射影の像が閉じゃないのをつくればええんやから。。。
→X=Y=RでF={(x,e^(-x^2/2));x∈X}としたらFはX×Yの閉集合で
p(F)=(0,1]はYの閉集合じゃない。。。

じゃあやっぱりcptを有効につかわんなんねやろなあ。

って感じですね。ACのことには気がまわらなんだ。つかってる?

50臺地 ◆6rqpPuO9q2:2007/03/03(土) 21:24:48
>>49
なるほど!そういう例を思いつけばよかったんですね。まだまだ力不足です。

>AC
x∈U_x⊂Xを満たすU_xは一つだけとは限らないので、各xに対してどのU_xを取るか任意性がありますよね?
U_xがただ一つに決まるような構成法でない限り、写像x|→U_xの存在の保証は選択公理を使わないとでてこないのでは、
と思いました。

52臺地 ◆6rqpPuO9q2:2007/03/05(月) 23:02:15
レス番号の表示がおかしくない?

53 ◆ZFABCDEYl.:2007/03/06(火) 01:03:36
ほんとだ。51がない・・。


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