講義と演習「代数系入門｣

170：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/31(木) 06:06:28: f:R→S,g:S→Tを写像とする.
対応R∋x|→g(f(x))∈Tは写像であるが,
これをfとgの合成写像といいg○fと書く.

例１０　f:R→R,g:R→Rをそれぞれ,
f(x)=x^2,g(x)=x+1とすると,(g○f)(x)=x^2+1,(f○g)(x)=(x+1)^2.

補題１
(1) f:R→S,g:S→Tがともに単射であればg○f:R→Tも単射である.
(2) f:R→S,g:S→Tがともに全射であればg○f:R→Tも全射である.

証明.
(1)　(g○f)(x)=(g○f)(y)であるとするとg(f(x))=g(f(y)).
gが単射であるからf(x)=f(y).fが単射であるからx=y.
(2)　zをTの任意の元とするとgが全射であることによりg(y)=zなるSの元yが存在する.
このときfが全射であることによりf(x)=yとなるRの元が存在する.このとき
(g○f)(x)=g(f(x))=g(y)=z.■

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