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講義と演習「代数系入門｣

181：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/06/15(金) 04:06:10
有限個の元からなる群を有限群という.有限群の元の個数をその群の位数という.
例１６　Xを空でない集合とする.
GをXからXへの全単射全体の集合とすると,
Gは写像の合成に関して群をなす.また,
Xが3元以上からなるならGは非可換.
証明　補題１(>>170)より写像の合成はGの算法である.
補題２(>>171)よりGはG1を満たす.
I_XはGの単位元である.よってGはG2を満たす.
f∈Gの逆元はf^(-1)∈Gである.よってGはG3を満たす.
{a,b,c}⊂ Xとする.
f∈Gを
　　　　　　　　　　f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a,¬(x∈{a,b,c})ならばf(x)=x,
g∈Gを
　　　　　　　　　　g(a)=c,g(c)=a,¬(x∈{a,c})ならばf(x)=x
とすると,
(g○f)(a)=b,(f○g)(a)=aとなるのでこの群は非可換である.■
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