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「東大」「数学」「補完」

233：たま ◆U4RT2HgTis：2006/04/15(土) 11:37:38
l＝��[k=0,n-1]a_k・p^k
p^n=��[k=0,n-1](p-1)・p^k+1を考慮して
p^n-l=Σ[k=0,n-1](p-1-a_k)・p^k+1
ここで、
A_0={l|a_0>0}
A_1={l|a_0=0,a_1>0}
・・・
A_r={l|a_i=0(i<r),a_r>0}
・・・
A_(n-1)={l|a_i=0(i<n-1),a_(n-1)>0}
とおくと、
∪[r=0,n-1]A_r={l|１≦l≦p^n−１}
l∈A_0とするとp-1-a_0<p-1よりのとき
p^n-l=(p-1-a_0+1)+Σ[k=1,n-1](p-1-a_k)・p^k
なので、
S(p^n-l)=(p-1-a_0+1)+Σ[k=1,n-1](p-1-a_k)
よって
S(l)+S(p^n-l)
=Σ[k=0,n-1]a_k+(p-1-a_0+1)+Σ[k=1,n-1](p-1-a_k)
=p+Σ[k=1,n-1](p-1)
=n(p-1)+1
同様にして、l∈A_rのとき
p-1-a_i=p-1(i<r)
p-1-a_k<p-1
なので
p^n-l=Σ[k=r,n-1](p-1-a_k)・p^k+Σ[k=0,r-1](p-1)・p^k+1
=Σ[k=r,n-1](p-1-a_k)・p^k+p^r
=(p-1-a_r+1)*p^r+Σ[k=r+1,n-1](p-1-a_k)・p^k
よって
S(l)+S(p^n-l)
=Σ[k=r,n-1]a_k+(p-1-a_r+1)+Σ[k=r+1,n-1](p-1-a_k)
=p+Σ[k=r+1,n-1](p-1)
=(n-r)(p-1)+1
よって、l∈A_(n-1)のときS(l)＋S(p^n−l)は最小になり最小値p
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