「集合・位相入門」輪読会 - 1078049875

1：９ （SpxcWT76）：2004/02/29(日) 19:17: とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
207：＜削除＞：＜削除＞: ＜削除＞
208：＜削除＞：＜削除＞: ＜削除＞
209：＜削除＞：＜削除＞: ＜削除＞
210：＜削除＞：＜削除＞: ＜削除＞
211：＜削除＞：＜削除＞: ＜削除＞
212：＜削除＞：＜削除＞: ＜削除＞
213：＜削除＞：＜削除＞: ＜削除＞
214：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 21:11: なんだこりゃ
215：９ （SpxcWT76）：2004/03/07(日) 22:42: >>205
(a)(b)OKです。

>>206-213
どんんんまい
216：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 23:07: >>199
前半
ああ、暗にド･モルガン使ってるわけですね。納得。

後半
量化記号∀,∃の後には本来変項だけを書き、その後に
条件を書くわけですよね。
だから違和感あるのかな。
∀a∈A(￢(a∈B)
ってのは
∀a,(a∈A⇒a∈B)
を略記したものなのだろうか。

>>192を略さずに書くと

　A∩B=φ
⇔￢(∃x(x∈A∩B))
⇔∀x(￢(x∈A∩B))
⇔∀x((￢(x∈A∧x∈B)))
⇔∀x((￢(x∈A)∨￢(x∈B)))
⇔∀x(x∈A⇒(￢(x∈B)))
⇔A⊂B^c,

というわけですかね。
217：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 23:10: >>200
(a)納得(b)納得(c)納得(d)納得(e)納得
(e)は右辺=…=左辺の格好で書けば分けなくても書けますね。
218：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 23:16: (c)　(b)より、(A⊿B)^c={(A∪B)∩(A∩B)^c}^c=(A∪B)^c∪(A∩B)=(A^c∩B^c)∪(A∩B)を使うと、
　　左辺=(A⊿B)⊿C={(A⊿B)∩C^c}∪{(A⊿B)^c∩C}=<{(A∩B^c)∪(A^c∩B)}∩C^c>∪<{(A^c∩B^c)∪(A∩B)}∩C>
　　　　=(A∩B^c∩C^c)∪(A^c∩B∩C^c)∪(A^c∩B^c∩C)∪(A∩B∩C)　　
　　右辺=A⊿(B⊿C)={A∩(B⊿C)^c}∪{A^c∩(B⊿C)}=<{A∩{(B^c∩C^c)∪(B∩C)}>∪<A^c∩{(B∩C^c)∪(B^c∩C)}>
　　　　=(A∩B^c∩C^c)∪(A∩B∩C)∪(A^c∩B∩C^c)∪(A^c∩B^c∩C)
　　したがって、左辺=右辺。

(d)　(b)と問題４の(e)を使うと、A∩(B⊿C)=A∩{(B∪C)-(B∩C)}={A∩(B∪C)}-{A∩(B∩C)}
　　　={(A∩B)∪(A∩C)}-{(A∩B)∩(A∩C)}=(A∩B)⊿(A∩C)
219：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 23:18: >>201
(a)納得
もう1つ「∀A(A∈2^X⇒φ∪A=A」も2行目3行目が成り立つ理由ですね。
(b)>>216的に納得
(c)ﾅﾄｰｸ
220：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 23:26: ＞管理人さん
>>207から>>214削除お願いします。読み返す時うざいので。

>>217
長くて見にくくなりそうだったので分けました。あまり意味ないです。

>>218は後ろの解答そのままです。全部展開すれば違うやり方で示せると思う
んですが途中で発狂しそうになって諦めますた。
221：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 23:38: >>202
6.ﾊﾗｼｮ
関連問題思いついた。

問題
A,B,CがXの部分集合で
A⊂B⇒A⊂C
のときB⊂Cといえるか？

9.△を2^X上の演算と見たとき
すべての元が冪零であること(問題8(c))
φが単位元(問題8(a))
もつかってますね。
222：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 23:41: >>205
(a)ﾅﾄｰｸ(b)ﾅﾄｸ
223：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 23:42: 途中ですが、ちょと出てきます。
224：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 23:45: (p⇒q)⇔￢p∨qって結構良く使うんですね。
225：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 23:53: ＞９
問題９の解答なんかｶｺｲｲ!(先生の補足含め)
９だけに(ｒｙ
これから問題９は９担当で・・・
226：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 00:05: （・３・）工エェー
　　　　　質問はありませんYO
227：９ （SpxcWT76）：2004/03/08(月) 00:48: >>216
どうやら知らぬうちにド・モルガン使ってたようです。

＞∀a∈A(￢(a∈B)
＞ってのは
＞∀a,(a∈A⇒a∈B)
＞を略記したものなのだろうか。
略記なのかどうかはわかりませんが
内容的には全く同じですよね。

＞>>192を略さずに書くと
そうです。

>>220
うぉぉー初めての削除（ﾄﾞｷﾄﾞｷ
やってみまつ。
228：９ （SpxcWT76）：2004/03/08(月) 00:48: >>221
関連問題やてみます。
8(a)(c)使いました。書き忘れです。ｽﾏｿ

>>225
面白い問題でしたよね。
229：９＠どうやら管理人★：2004/03/08(月) 00:55: 削除完了☆
あまり見栄えのいいもんじゃないですね。
230：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 01:10: >>229
そだね。
以後気をつけます。
231：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 01:33: 問題
A,B,CがXの部分集合で
A⊂B⇒A⊂C
のときB⊂Cといえるか？

A⊂B⇒A⊂C
⇔￢{￢(x∈A)∨(x∈B)}∨{￢(x∈A)∨(x∈C)}
⇔{(x∈A)∧(￢(x∈B))}∨(￢(x∈A))∨(x∈C)
⇔<{x∈A∨(￢(x∈A))}∧{(￢(x∈B)∨(￢(x∈A)}>∨(x∈C)
⇔{(￢(x∈B)∨(￢(x∈A)}∨(x∈C)
⇔￢{(x∈B)∧(x∈A)}∨(x∈C)
よって、A∩B⊂Cはいえるが、B⊂Cはいえないﾖｶｿ
232：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 02:36: >>218
(c)納得(d)納得です。
233：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 02:42: 名前欄間違えてた。ロードオブの次のレスから＠拳宅じゃなくって＠自宅ですた。
「切腹」僕も見ました。仲代三國丹波ｲｲ!!

>>224
うん。よく使います。なんか高校生のときからよく使ってたような記憶がありますが。
234：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 02:44: >>231
2行目
{￢(x∈A)∨(x∈B)}
のｘと
{￢(x∈A)∨(x∈C)}
のxは同じ元を指してるわけでは必ずしもありませんよね。
235：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 04:35: ありゃ
どっか間違ってるだろうなーとは思ってましたが・・・
(p⇒q)⇔￢p∨qを使ってみたかっただけなんです・・・

ビデオ探して見ます。
236：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 04:44: >>235
えーっと。どうしよう。ヒントないしは補題をつけましょうか？
237：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 05:50: 眠れない夜・・・
A⊂B∩CがA⊂B⇒A⊂Cの必要十分条件で、B⊂Cとならない例は
簡単に見つかります。(A={1}B={1,2,3}C={1,2,4})
238：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 05:55: ぐもぉ
239：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 05:56: >>237
A⊂B⇒A⊂C
は
∀A(A∈2^X⇒(A⊂B⇒A⊂C))
の略ですよね。
240：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 06:02: >>239
問題文そのまま写したんですが・・・
変ですか？
241：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 06:05: >>240
A⊂B⇒A⊂C
は
Bのいかなる部分集合AもCの部分集合となっている
ってことですよね。
A={1}B={1,2,3}C={1,2,4}
はそういう例になっていないのでは。

見当違いのことをいってるのだろうか。。
242：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 06:10: 自分でもなんかA⊂B⇒A⊂Cの意味がよく把握できてない感じです。
わかってないけど書いてみました。
やっぱりわかってないみたい・・・
243：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 06:13: >>241
あ、そういう意味ですか。
出直してきます。
244：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 06:21: なんか変なメール来てるし
逝ってきます
245：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 06:24: ？
246：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 17:51: 再々チャレンジ

B⊂Cといえることを示す。
￢(A⊂B⇒A⊂C)∨(B⊂C)が真
⇔{￢(A⊂B)∨(A⊂C)}∧￢(B⊂C)が偽・・・#
￢(B⊂C)⇔￢{∀x(x∈B⇒x∈C)}⇔∃x(x∈B∧￢(x∈C))より、
このようなxのみからなる集合をAとすると、x∈Bより、A⊂Bを満たし、
￢(x∈C)より、A⊂Cとはならない。
よって、#が示された。
247：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 19:51: >>246
納得しました。

想定答案は
(A⊂B⇒A⊂C)
⇔(A∈2^B⇒A⊂2^C)
⇔2^B⊂2^C
よってB∈2^C.
∪2^C=C、C∈2^Cより
B⊂C
でした。
248：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 20:47: >>247
＞⇔(A∈2^B⇒A⊂2^C)
は⇔(A∈2^B⇒A∈2^C)ですか？
P∈2^C⇒P⊂Cは直観的には分かるんですが、証明できません・・・
249：９ （SpxcWT76）：2004/03/08(月) 21:13: だいぶ進んでますね。今から読みまつ。

§3の割り当てどうしますか？？？
250：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 21:21: じゃ９から頼む。ちょと疲れた。
後は交互に。
参加者増えないかな～
多い方がいいよね。
1人で読んでたら絶対こんなに多くのことできなかった。
251：９ （SpxcWT76）：2004/03/08(月) 21:25: >>250
じゃまずA, Bをやってみまつ。
参加者多いほうがいいですよねー。
あと1人加わるだけでも大分違うと思うんだけどなぁ。
252：９ （SpxcWT76）：2004/03/08(月) 21:49: >>246
おぉ、素晴らすぃ。完璧ですね。

>>247
おぉーこっちも素晴らすぃ。なるほどーって感じです。

>>248
そこは A∈2^C ですね。

えっと、後半ですけど、
∪2^C＝C∈2^C だから、
B∈2^C ⇔ ∀x∈B(x∈∪2^C) ⇔ ∀x∈B(x∈C) ⇔ B⊂C.
って感じでOKじゃないですか？
253：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 21:58: >>248
A⊂2^CはA∈2^Cのミスでした。すみません。

∪2^C=Cは余計でしたね。
P∈2^C⇒P⊂C
は2^Cの定義が2^C={P|P⊂C}ですから。
254：９ （SpxcWT76）：2004/03/08(月) 22:04: >>253
あ、よく考えたらそうですね。
慣れないと難しいなー。
255：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 22:16: >>253
あ
定義が記号で書かれてないと気づかない俺・・・
256：９ （SpxcWT76）：2004/03/09(火) 00:42: §3　対応，写像

A)　2つの集合の直積

A, Bを2つの集合としたとき、Aの元aとBの元bとの
順序付けられた組 (a, b) 全体のつくる集合を
AとBとの”直積”（または単に”積”）と言い、
　　A×B
で表します。
A×B の元 (a, b), (a', b') （a∈A, a'∈A, b∈B, b'∈B）は、
a=a', b=b' のとき、かつそのときに限って等しいとします。

A×B の元 (a, b) に対して、aをその”第1成分”または”第1座標”、
bをその”第2成分”または”第2座標”と言います。
257：９ （SpxcWT76）：2004/03/09(火) 00:42: 一般に、Aがm個、Bがn個の元から成る有限集合ならば、
A×B は明らかにmn個の元をもつ集合となります。

R×R の元 (x, y) は、Descartes（デカルト）座標を設けた平面上の点として表されます。
すなわち、座標平面は、R×Rの’幾何学的複写’と考えられます。
一般に、A×B に幾何学的な映像を与えるために、
A, B をそれぞれ水平線分（上の点集合）、垂直線分（上の点集合）で表し、
A×B をそれらの線分を2辺とする長方形で表すことがあります。（p.22 第3図を参照）
258：９ （SpxcWT76）：2004/03/09(火) 00:42: B)　対応の概念　～対応・写像について

対応の定義を述べます。
A, B を2つの集合とし、ある規則Γによって、
Aの各元aに対してそれぞれ1つずつBの部分集合Γ(a)が定められるとします。
（a≠a' に対してΓ(a)＝Γ(a') となることがあっても、またΓ(a)＝φとなるようなaがあっても、よい。）
その規則Γのことを”AからBへの対応”と言い、
Aの元aに対して定まるBの部分集合Γ(a)を、”Γによるaの像”と言います。
このとき、A, B をそれぞれ対応Γの”始集合”、”終集合”と言います。

ΓがAからBへの対応であることを、しばしば
　　Γ: A→B　（または A→B で、矢印の真上にΓ）
のように書き表します。

1つの対応 Γ: A→B を与えるということは、
Aの各元aに対して、その像 Γ(a) (⊂B) を定めることに他なりません。
したがって、’対応の相等’は次のように定義されます。

Γ, Γ' がいずれも A から B への対応であって、
∀a∈A（Γ(a)＝Γ'(a)）が成立するとき、
Γ, Γ' は等しいと言い、Γ＝Γ' と書きます。

# なお、2つの対応の相等を論じ得るためには、
もちろん、それらの始集合、終集合が一致していることが前提となります。
259：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/09(火) 01:52: >>256-258
了解しました。
260：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/09(火) 17:58: OK牧場

続きはちょっと待ってね
261：９ （SpxcWT76）：2004/03/09(火) 18:06: ラーメン氏どこまでやってくれますか？？？
262：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/09(火) 19:55: >>261
仮眠とってた。ｽﾏｿ｡

とりあえず今日はCを。
明日以降のことは明日９が帰ってから決めた方がいいのでは？

じゃ今から書きます。
263：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/09(火) 20:22: C)　対応のグラフ

　ΓをAからBへの対応とするとき、直積A*Bの部分集合
　　{(a,b)｜a∈A∧b∈Γ(a)}
　を、Γのグラフといい、G(Γ)と書く。
　定義によって、a∈A,b∈Bに対し、(a,b)∈G(Γ)とb∈Γ(a)とは同等である。(←b∈Bは要るんでしょうか？)
　したがって、Aの任意の元aに対して
　(3.1)　Γ(a)={b｜(a,b)∈G(Γ)}
　が成り立つ。
　(3.1)から、対応Γ:A→Bは、そのグラフG(Γ)によって一意的に定められること
　がわかる。すなわち、ΓとともにΓ'もAからBへの対応であるとき、G(Γ)=G(Γ')
　ならば、Γ=Γ'となる。実際、その場合は、(3.1)により、任意のa∈Aに対して
　Γ(a)=Γ'(a)となるからである。(逆に、Γ=Γ'ならばG(Γ)=G(Γ')であることはいう
　までもない。)
264：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/09(火) 20:46: 　上では、対応Γ:A→BからA*Bの部分集合G(Γ)を定めたが、逆に、次の定理が成り立つ。
　　定理1　A*Bの任意の部分集合Gに対し、G=G(Γ)となるようなAからBへの対応
　　　　　　Γが(ただ1つ)存在する。
　証明　そのような対応が1つより多くはないことは、すでに示した。
　また、Aの各元aに対し、Bの部分集合Γ(a)をΓ(a)={b｜(a,b)∈G}と定めて
　対応Γ:A→Bを決めれば、
　　(a,b)∈G⇔b∈Γ(a)⇔(a,b)∈G(Γ)
　であるから、G=G(Γ)となる。(証明終)
　以上によって、AからBへの1つの対応を定めることは、A*Bの1つの部分集合(すなわち2^(A*B)の1つの元)
　を指定する事と本質的には変わりが無いことがわかる。そこで、しばしば、対応Γ:A→Bを、そのグラフ　
　G=G(Γ)を用いて、Γ=(A,B;G)のように書き表す。
265：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/09(火) 20:59: 　対応Γ:A→BのグラフをGとするとき、(a,b)∈Gとなるb∈Bが(少なくとも1つ)存在する
　ようなAの元a全体のつくるAの部分集合を、Γの定義域という。また、(a,b)∈Gとなる
　a∈Aが(少なくとも1つ)存在するようなBの元b全体のつくるBの部分集合を、Γの値域
　という。以下では、Γの定義域、値域を、それぞれD(Γ)、V(Γ)で表す。すなわち、　　
　　D(Γ)={a｜(∃b(a,b)∈G)}
　　V(Γ)={b｜(∃a(a,b)∈G)}
　Aの元aに対して、(a,b)∈Gとなるb∈Bが存在することは、明らかに、Γ(a)≠Φであることと
　同等であるから、Γの定義域D(Γ)は、Γ(a)≠Φであるようなa全体のつくる集合ということもできる。
266：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/09(火) 21:04: つっこみよろ
267：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/09(火) 22:31: >>263
了解しました。
＞。(←b∈Bは要るんでしょうか？)
Γ(a)⊂Bだから特に書く必要はないと思います。

>>264
了解しました。

＃この考え方をはじめて知ったとき「！｣って感じがしました。
　現代数学を理解するコツのようなものがここにあると。
　二つの対象の非常に似ているところを抽出し、その観点において
　二者を同一視するってことは他にもいっぱい出てきます。

>>265
納得しました。

　　　「＃｣ってこういうときに使っていい記号でつか？
268：９ （SpxcWT76）：2004/03/09(火) 22:32: >>263
＞定義によって、a∈A,b∈Bに対し、(a,b)∈G(Γ)とb∈Γ(a)とは同等である。(←b∈Bは要るんでしょうか？)
わかりやすくするために書いただけじゃないでしょうか。
もちろん、b∈B じゃないと話が成立しませんけど。

>>265
どうでもいいことだけど、DとVって何の略なんでしょうか。

俺からは他には特にないです。
269：９ （SpxcWT76）：2004/03/09(火) 22:33: >>267
補足説明とか、P.S.みたいな感じで使うことがありますね。

# こんな感じで。
270：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/09(火) 22:34: >>268
domainとvalueかな
271：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/09(火) 23:20: >>267
頭に入れておきます。

先は長い・・・
272：９ （SpxcWT76）：2004/03/10(水) 06:23: D)　逆対応

ΓをAからBへの1つの対応とします。そのとき、
Bの各元bに対して、b∈Γ(a) であるような a∈A 全体のつくるAの部分集合を
⊿(b) とすれば、BからAへの対応⊿が定められます。
このようにして定義された対応 ⊿: B→A を、Γの逆対応と言い、Γ^(-1) で表します。

定義から明らかに、a∈A, b∈B に対して、
　　(3.2)　　b∈Γ(a) ⇔ a∈(Γ^(-1))(b).

Γ^(-1) はBからAへの対応なので、そのグラフ G(Γ^(-1)) は B×A の部分集合であり、
グラフの定義 G(Γ):＝{(a, b)| a∈A, b∈Γ(a)} （注；ここでのΓ, A, B は一般の対応および集合を表す）
および (3.2) によって、
　　(b, a)∈G(Γ^(-1)) ⇔ a∈(Γ^(-1))(b) ⇔ b∈Γ(a) ⇔ (a, b)∈G(Γ),
したがって
　　G(Γ^(-1))＝{(b, a)| (a, b)∈G(Γ)}.
すなわち、G(Γ^(-1)) は G(Γ) の元の成分の順序を入れ替えた元全体の集合となります。

また、次のことが成り立ちます。
　　(3.3)　　D(Γ^(-1))＝V(Γ), 　　V(Γ^(-1))＝D(Γ).
　　(3.4)　　(Γ^(-1))^(-1)＝Γ.
［(3.3) の証明］　
　　V(Γ)＝{b| ∃a( (a, b)∈G(Γ) ) }＝{b| ∃a( (b, a)∈G(Γ^(-1)) ) }＝D(Γ^(-1)).　（終）
［(3.4) の証明］
　　(3.3)で Γ→Γ^(-1) と置き換えれば、(Γ^(-1))^(-1)＝Γ より、D(Γ)＝V(Γ^(-1)).　（終）

Γ^(-1) によるBの元bの像 (Γ^(-1))(b) を、Γによるbの”原像”または”逆像”とも言います。

(Γ^(-1))(b)≠φ となるのは、b∈V(Γ) のとき、かつそのときに限ります。…(☆)
［(☆)の証明］
　　(Γ^(-1))(b)≠φ ⇔ ∃a∈A(a=(Γ^(-1))(b))
⇔ ∃a∈A(Γ(a)=b) ⇔ ∃a∈A( (a, b)∈G(Γ) ) ⇔ b∈V(Γ).　（終）
273：９ （SpxcWT76）：2004/03/10(水) 06:24: 続き（Ｅ）は東京から帰ってきてからやります。
とりあえずここまで、つっこみよろです。

あと、問題全部で4問ありますが、どうしますか？？？
274：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/10(水) 06:48: >>272
［(3.4) の証明］から先がおかしくないですか？
(3.3)の後半は証明していなくって、
[(3.4)の証明]と称してしていることは、どうも(3.3)の後半の証明
のようだし, その証明にまだ示してないはずの(3.4)を使っているのでは？？
[(☆)の証明]中の「=」は皆「∈｣ですね。

再反論よろしく。

>>273
いってらっしゃい。吉報を待ってます。
問題は適当に振り分けてください。私は決定に従います。
275：９ （SpxcWT76）：2004/03/10(水) 06:51: >>274
あ、すいません、またアホやりました。
これから準備しないといけないので、
訂正は帰ってきてからにします。

問題ですが、では俺は1と4をやります。
2と3をラーメンさんと振り分けしてください。
276：９ （SpxcWT76）：2004/03/11(木) 09:04: ［(3.3) 後半の証明］
　　D(Γ)＝{a| ∃b (a, b)∈G(Γ) }＝{a| ∃b (b, a)∈G(Γ^(-1)b) }＝V(Γ^(-1)).　（終）

［(3.4)の証明］
　　(3.2) より
　　b∈Γ(a) ⇔ a∈(Γ^(-1))(b) ⇔ b∈((Γ^(-1))^(-1))(a).
　　∴ Γ＝(Γ^(-1))^(-1).　（終）

これでよいでしょうか。
277：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/11(木) 10:07: >>276
[(3.3)後半]
納得しました。
[(3.4)］
∀a∈Aがあったほうがいいですよ。
278：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/12(金) 17:33: 納得しますた。

(3.4)は一応始集合、終集合がそれぞれ一致していることを
言ったほうが良いのでは？

問題２と３俺がやります。
次の章問題多いな。
279：９ （SpxcWT76）：2004/03/13(土) 01:01: こんばんは、2日ぶりです。
すいません、色々と買い物やら準備やらが忙しくて…
とりあえずE)のまとめやります。
280：９ （SpxcWT76）：2004/03/13(土) 01:02: E)　写像

AからBへ対応Γは、
　　(*)　Aの任意の元aに対して、Γ(a)はBのただ1つの元ｊんから成る集合である
とき、特にAからbへの”写像”と言います。
このとき、当然 D(Γ)=A （AからBへの写像の定義域はA）となります。
写像は通常 f, g, F, G, φ, ψ, Φ, Ψ などの文字で表されます。

fをAからBへの写像としたとき、Aのどの元aに対しても、
fによる像 f(a) はBの1つの元bから成る集合 {b} となるわけですが、
この場合は通常、（{b}の代わりに）bを、
”fによるaの像”または”aにおけるfの値”などと言い、単に f(a)=b と書きます。
このとき、fはaにbを対応させる、fはaをbに写す、などとも言います。

ex1) 各実数xにx^2+1を対応させれば、RからRへの1つの写像が得られます。
この写像をfと書くことにすれば、当然 f(x)=x^2+1.
# 写像fは、微積分学などでは普通”関数”（くわしくは”1価関数”）と呼ばれます。

ex2) A, B を任意の集合とするとき、Bの元b_0を1つ決めて、
Aの任意の元aに対し φ(a)=b_0 と定めれば、φはAからBへの写像となります。
このような写像を、”（値b_0の）定値写像”と言います。

ex3) Aを任意の集合とするとき、Aの各元aにa自身を対応させれば、
AからAへの1つの写像が得られます。この写像を、
”Aの上の（またはAにおける）恒等写像”と言います。
本書ではこれを記号 I_A で表します。　→ I は identify の I？
定義によって、すべての a∈A に対して I_A(a)=a です。
281：９ （SpxcWT76）：2004/03/13(土) 01:02: AからBへの写像fのグラフ G(f) は、明らかに (a, f(a))∈A×B から成る集合です。
すなわち、任意の a∈A に対して、(a, b)∈G(f) と成るようなBの元bは
ただ1つだけ存在し、それが f(a) となるのです。
このことの逆も含めて、次の定理が成立します。

定理2　A×B の部分集合 G が、ある写像 f: A→B のグラフとなるためには、
　　Gが次の条件(**)を満たすことが必要十分である。
　(**)　Aの任意の元aに対して、(a, b)∈G となるようなBの元bがただ1つ存在する。
［定理2の証明］　
写像のグラフがこの条件を満たすことは上で示した。ここではその逆を証明する。
Gが条件(**)を満たすとき、Aの各元aに対して、
(a, b)∈G となるようなb（これは条件によってただ1つ存在する）を f(a) と定めれば、
f はAからへの写像で、G＝G(f) となる。　（終）
282：９ （SpxcWT76）：2004/03/13(土) 01:52: ボケ・ツッコミよろです。

問題の解答逝きます。
1. A, B がそれぞれm個，n個の元から成る有限集合のとき，
　AからBへの対応は全部でいくつあるか．
［解］　各々のAの元 a に対して、
（fによって）対応させるBの部分集合 f(a)∈2^B は
ちょうど 2^n 個だけ考えられる。
Aの元の数はちょうどm個であるから、
求める場合の数は (2^n)^m＝2^(nm).　（終）

4. Aの上の恒等写像 I_A のグラフはどんな集合か．
　（この集合を A×A の対角線集合と言う．）
　また，AからBへの値 b_0 の定値写像のグラフはどんな集合か．
［解］　Aの上の恒等写像 I_A は任意の a∈A に対して I_A(a)＝a,
AからBへの値 b_0 の定値写像φは任意の a∈A に対して φ(a)＝b_0 たらしめる。
よって G(I_A)＝{ (a, a)| a∈A}, G(φ)＝{ (a, b_0)| a∈A}.　（終）
283：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/13(土) 07:51: >>280
了解です。
Aを集合, Bを数の集合としたときAからBへの写像fを関数という
という流儀もあります.

I　は　identitｙのIじゃないかな。

>>281
了解しました。

>>282
1.納得しました。
AからBへのひとつの対応に対して
その対応のグラフが定まり
定理1よりA×Bの1つの部分集合に対してその集合を
グラフとするAからBへの対応が1つ定まるので
A×Bの部分集合の総数を数えてもいいですね。

4.納得しました.
Aを数直線に模してA×Aを正方形に模した平面を考えると,
アイデンティティマップのグラフはまさしく対角線状になっている。
それで対角線集合っていうんでしょうね。
Aを水平方向の線分に、Bを鉛直方向の線分に模し、A×Bを長方形にもした平面を
考えると,
コンスタントマップのグラフはAを模した線分に平行なある線分状になっているわけですね。
284：９ （SpxcWT76）：2004/03/13(土) 11:18: >>283
問題1は先生の仰る通り、
2^(A×B) の元の数だから、って考えた方が早かったですね。
答え出しておきながら全然気づかなかった…

＞アイデンティティマップと対角線集合
納得です。

＞コンスタントマップのグラフ
納得です。
285：部外者：2004/03/13(土) 11:53: >>280
一つの元しかない集合でも集合は集合ですよね？
それを{b}じゃなくbと表記してもいいもんなんでしょうか？
286：９ （SpxcWT76）：2004/03/13(土) 11:58: >>285
fが写像の場合には、慣用で、
そのように書くことが許されるってことじゃないでしょうか。
287：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/13(土) 17:41: 定理２の証明の最後G=F(f)を証明してください。
他は納得です。

問題２

Yの各元(候補者1人1人)に対してそれぞれ１つづつXの部分集合(それぞれの候補者に信任した選挙人全員)を定める対応。

問題３

対応ΓのグラフをGとする。
(必要性)
　(i)　写像の条件より∀a∈A{∃b((a,b)∈G)}だからa∈A⇔∃b((a,b)∈G)⇔a∈D(Γ)。
　(ii)　Bの相異なる2元b,b'が存在して、Γ^(-1)(b)∩Γ'^(-1)(b')≠Φとすると、∃a∈A<a∈{Γ^(-1)(b)∩Γ'^(-1)(b')}>⇔∃a∈A{b∈Γ(a)∧b'∈Γ(a)}
　　　　これは写像の条件と矛盾。
(十分性)ー
　(i)より任意のa∈Aに対してb∈Γ(a)となるbが存在して、そのbと異なるBの任意の元b'について(ii)よりb∈Γ(a)∧b'∈Γ(a)となるb'は存在しない。
　よって、写像の条件がいえる。

ｼﾂﾓｿﾄﾞｿﾞｰ
288：９ （SpxcWT76）：2004/03/13(土) 20:35: >>287
G(f) の定義： G(f)＝{ (a, b) | a∈A, b∈f(A) }
より明らかだと思いますけど…
G(f)と一致するように、Gを構成しただけなので。

問題２ＯＫです。

問題３ちょっと考えさせてください。
289：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/13(土) 22:06: >>288
わかりました。定理１からいえる、って言ったらだめかな？
290：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/13(土) 22:23: >>287
問題2
各選挙人が,自分が信任する候補者(何人あってもよく,また1人もなくてもよい)
の氏名に○をつける方式の選挙を行う.棄権はないものとする.
選挙人全体の集合をX, 候補者全体の集合をYとする.
選挙人x(∈X)が信任する候補者の集合をΓ(x)(⊂Y)とすると
ΓはXからYへの対応となる.
このときΓ^(-1)はどんな対応か.

ですね。了解です。

問題３
対応Γ:A→BがAからBへの写像であるためには
次の(i),(ii)が必要十分であることを示せ.

(i) D(Γ)=A.
(ii) Bの相異なる任意の2元b,b'に対して,
　　　Γ^(-1)(b)∩Γ^(-1)(b')=Φ

ですね。
(必要性)「写像の条件」は「写像の定義」の方がよいのでは。
「写像の条件」だと「ある与えられた写像がすでに持っている条件」みたいな表現に見えなくもないので。
あと(ii)はいいたいことは伝わるけど日本語でかくなら
「Γ^(-1)(b)∩Γ'^(-1)(b')≠ΦとなるBの相異なる2元b,b'が存在するなら」
としたほうがとおりがいいような気が。
(十分性)
了解しました。
291：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/13(土) 22:28: >>285
９くんが言うとおり
対応fが写像であるときはaのfによる像f(a)は
必ず一元からなる集合となりますので
集合ではなくて単に値として扱っても混乱しない
という理由でf(a)=bなどという書き方をする習慣になっています.
実数成分の一行一列の行列をときに単なる実数のように扱うようなものです.
292：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/13(土) 22:30: すいません問題書くの忘れてました。

昨日の拳さんの話とは何だったのですか？
293：９ （SpxcWT76）：2004/03/13(土) 23:30: 問題３ＯＫです。
§4に進みましょうか。
294：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/13(土) 23:34: ９３６の筆者氏を待たないかい？
295：９ （SpxcWT76）：2004/03/13(土) 23:47: 待ちます
296：拳（☆2） （DTxrDxh6）：2004/03/14(日) 04:20: >>292
ラーメン丸は
ポン･デ･あずき好き？
297：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/14(日) 04:33: ポンデリングしか食った事無いですが、ｳﾏｰでしたよ。
あずきはだめですね。ようかん好きだけど粒あんだとだめですし。
それが何か？
298：拳（☆2） （DTxrDxh6）：2004/03/14(日) 04:54: >>297
　　　 ∧
　　∠'A`＞　そうでつか…
　　 |∧|　　好きならﾁｮｯﾄお願いしようかと思ったんだけど。
299：拳（☆2） （DTxrDxh6）：2004/03/14(日) 04:55: 　.＿＿_
　| 'A`　|y━~~　ずれちゃったよぅかん
.ﾉ|ﾍ＿ﾍ|
300：ギンザカネマツ：2004/03/14(日) 05:00: >>298
ポンデあずき最高！皆で復活キャンペーンやろうぜ！
301：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/14(日) 05:06: >>298
どういうことですか？
一応聞かせてください。

ここではまずいので雑談スレでお願いします。
302：部外者：2004/03/14(日) 12:32: >>286 >>291
なるほどね。どうもいらんとこにこだわったようで。
サンクス。
303：９ （SpxcWT76）：2004/03/15(月) 09:18: えーっと、これからどうしますか？？？
304：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/15(月) 17:25: >>303
雑談スレ>>219
９がOKなら再開しませう
305：９ （SpxcWT76）：2004/03/15(月) 18:11: >>304
了解です。
割りふり適当にお願いできますか。
306：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/15(月) 22:50: ９忙しそうだからまず俺からいこうか