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「集合・位相入門」輪読会
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上では、対応Γ:A→BからA*Bの部分集合G(Γ)を定めたが、逆に、次の定理が成り立つ。
定理1 A*Bの任意の部分集合Gに対し、G=G(Γ)となるようなAからBへの対応
Γが(ただ1つ)存在する。
証明 そのような対応が1つより多くはないことは、すでに示した。
また、Aの各元aに対し、Bの部分集合Γ(a)をΓ(a)={b｜(a,b)∈G}と定めて
対応Γ:A→Bを決めれば、
(a,b)∈G⇔b∈Γ(a)⇔(a,b)∈G(Γ)
であるから、G=G(Γ)となる。(証明終)
以上によって、AからBへの1つの対応を定めることは、A*Bの1つの部分集合(すなわち2^(A*B)の1つの元)
を指定する事と本質的には変わりが無いことがわかる。そこで、しばしば、対応Γ:A→Bを、そのグラフ
G=G(Γ)を用いて、Γ=(A,B;G)のように書き表す。
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