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「集合・位相入門」輪読会
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俺も逝きます。
3. 次のことを証明せよ．
(a) A−B＝(A∪B)−B＝A−(A∩B)＝A∩B^c
［解］ A−B＝{x| x∈A ∧ x∉ฺB}＝A∩B^c.
(A∪B)−B＝(A∪B)∩B^c＝(A∩B^c)∪(B∩B^c)＝A∩B^c. （∵ B∩B^c＝φ）
A−(A∩B)＝A∩(A∩B)^c＝A∩(A^c∪B^c) （de Morgan の法則）
＝(A∩A^c)∪(A∩B^c)＝A∩B^c （∵ A∩A^c＝φ）
以上より与等式は成立する。 （終）
(b) A−B＝A ⇔ A∩B＝φ
［解］ Xは普遍集合とする。
A−B＝A ⇔ A∩B^c＝A ⇔ A⊂B^c ⇔ ∀x∈A(¬(x∈B))
⇔ ∀x∈X((¬x∈A)∨(¬x∈B)) ⇔ ∀x∈X(¬((x∈A)∧(x∈B))) ⇔ A∩B＝φ. （終）
(c) A−B＝φ ⇔ A⊂B
［解］ A−B＝φ ⇔ A∩B^c＝φ ⇔ A⊂B^cc＝B. （∵問題2） （終）
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