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「集合・位相入門」輪読会
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４ 次の等式を証明せよ
(a) A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
(b) A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)
(c) (A∪B)-C=(A-C)∪(B-C)
(d) (A∩B)-C=(A-C)∩(B-C)
(e) A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C)
(a) A-(B∪C)=A∩(B∪C)^c=A∩B^c∩C^c=A∩B^c∩A∩C^c=(A-B)∩(A-C)
(b) A-(B∩C)=A∩(B∩C)^c=A∩(B^c∪C^c)=(A∩B^c)∪(A∩C^c)=(A-B)∪(A-C)
(c) (A∪B)-C=(A∪B)∩C^c=(A∩C^c)∪(B∩C^c)=(A-C)∪(B-C)
(d) (A∩B)-C=(A∩B)∩C^c=A∩C^c∩B∩C^c=(A-C)∩(B-C)
(e) 左辺=A∩(B-C)=A∩B∩C^c
右辺=(A∩B)-(A∩C)=(A∩B)∩(A∩C)^c=B∩A∩(A^c∪C^c)=B∩{(A∩A^c)∪(A∩C^c)}
=B∩{Φ∪(A∩C^c)}=B∩A∩C^c
よって左辺=右辺。
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