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「集合・位相入門」輪読会

1：９ （SpxcWT76）：2004/02/29(日) 19:17: とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
256：９ （SpxcWT76）：2004/03/09(火) 00:42: §3　対応，写像

A)　2つの集合の直積

A, Bを2つの集合としたとき、Aの元aとBの元bとの
順序付けられた組 (a, b) 全体のつくる集合を
AとBとの”直積”（または単に”積”）と言い、
　　A×B
で表します。
A×B の元 (a, b), (a', b') （a∈A, a'∈A, b∈B, b'∈B）は、
a=a', b=b' のとき、かつそのときに限って等しいとします。

A×B の元 (a, b) に対して、aをその”第1成分”または”第1座標”、
bをその”第2成分”または”第2座標”と言います。
257：９ （SpxcWT76）：2004/03/09(火) 00:42: 一般に、Aがm個、Bがn個の元から成る有限集合ならば、
A×B は明らかにmn個の元をもつ集合となります。

R×R の元 (x, y) は、Descartes（デカルト）座標を設けた平面上の点として表されます。
すなわち、座標平面は、R×Rの’幾何学的複写’と考えられます。
一般に、A×B に幾何学的な映像を与えるために、
A, B をそれぞれ水平線分（上の点集合）、垂直線分（上の点集合）で表し、
A×B をそれらの線分を2辺とする長方形で表すことがあります。（p.22 第3図を参照）
258：９ （SpxcWT76）：2004/03/09(火) 00:42: B)　対応の概念　～対応・写像について

対応の定義を述べます。
A, B を2つの集合とし、ある規則Γによって、
Aの各元aに対してそれぞれ1つずつBの部分集合Γ(a)が定められるとします。
（a≠a' に対してΓ(a)＝Γ(a') となることがあっても、またΓ(a)＝φとなるようなaがあっても、よい。）
その規則Γのことを”AからBへの対応”と言い、
Aの元aに対して定まるBの部分集合Γ(a)を、”Γによるaの像”と言います。
このとき、A, B をそれぞれ対応Γの”始集合”、”終集合”と言います。

ΓがAからBへの対応であることを、しばしば
　　Γ: A→B　（または A→B で、矢印の真上にΓ）
のように書き表します。

1つの対応 Γ: A→B を与えるということは、
Aの各元aに対して、その像 Γ(a) (⊂B) を定めることに他なりません。
したがって、’対応の相等’は次のように定義されます。

Γ, Γ' がいずれも A から B への対応であって、
∀a∈A（Γ(a)＝Γ'(a)）が成立するとき、
Γ, Γ' は等しいと言い、Γ＝Γ' と書きます。

# なお、2つの対応の相等を論じ得るためには、
もちろん、それらの始集合、終集合が一致していることが前提となります。

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