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「集合・位相入門」輪読会
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D) 逆対応
ΓをAからBへの1つの対応とします。そのとき、
Bの各元bに対して、b∈Γ(a) であるような a∈A 全体のつくるAの部分集合を
⊿(b) とすれば、BからAへの対応⊿が定められます。
このようにして定義された対応 ⊿: B→A を、Γの逆対応と言い、Γ^(-1) で表します。
定義から明らかに、a∈A, b∈B に対して、
(3.2) b∈Γ(a) ⇔ a∈(Γ^(-1))(b).
Γ^(-1) はBからAへの対応なので、そのグラフ G(Γ^(-1)) は B×A の部分集合であり、
グラフの定義 G(Γ):＝{(a, b)| a∈A, b∈Γ(a)} （注；ここでのΓ, A, B は一般の対応および集合を表す）
および (3.2) によって、
(b, a)∈G(Γ^(-1)) ⇔ a∈(Γ^(-1))(b) ⇔ b∈Γ(a) ⇔ (a, b)∈G(Γ),
したがって
G(Γ^(-1))＝{(b, a)| (a, b)∈G(Γ)}.
すなわち、G(Γ^(-1)) は G(Γ) の元の成分の順序を入れ替えた元全体の集合となります。
また、次のことが成り立ちます。
(3.3) D(Γ^(-1))＝V(Γ), V(Γ^(-1))＝D(Γ).
(3.4) (Γ^(-1))^(-1)＝Γ.
［(3.3) の証明］
V(Γ)＝{b| ∃a( (a, b)∈G(Γ) ) }＝{b| ∃a( (b, a)∈G(Γ^(-1)) ) }＝D(Γ^(-1)). （終）
［(3.4) の証明］
(3.3)で Γ→Γ^(-1) と置き換えれば、(Γ^(-1))^(-1)＝Γ より、D(Γ)＝V(Γ^(-1)). （終）
Γ^(-1) によるBの元bの像 (Γ^(-1))(b) を、Γによるbの”原像”または”逆像”とも言います。
(Γ^(-1))(b)≠φ となるのは、b∈V(Γ) のとき、かつそのときに限ります。…(☆)
［(☆)の証明］
(Γ^(-1))(b)≠φ ⇔ ∃a∈A(a=(Γ^(-1))(b))
⇔ ∃a∈A(Γ(a)=b) ⇔ ∃a∈A( (a, b)∈G(Γ) ) ⇔ b∈V(Γ). （終）
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