彼女の論文は、数学界のトップに位置する学術誌である『Annals of Mathematics』『Inventiones Mathematicae』『Journal of the American Mathematical Society』に掲載された。数学者の大半が、生涯一度もこのような偉業を成し遂げることはないとファーブは言う。「彼女はそれを博士論文でやり遂げたんだ」。
① 「ハブ」の存在
現実社会の友人ネットワークについて考えてみると、大多数の人は友人の数は数名だが、「友人の数がずば抜けて多い」人物が何人かはいる。これはウェブでも同様で、全ドキュメント(1999年で10億以上と言われる)の90％以上はリンクされる数は10以下であるが、ごく少数のページは100万近くリンクされている。後者はネットワーク上では「ずば抜けて枝の多い頂点」であり、ハブと呼ばれる。このハブは現実に存在するにもかかわらず、エルデシュのランダムネットワークでやワッツ・ストロガッツのスモールワールド・ネットワークでは生じない。では、ハブが生じるネットワークとはどのようなものなのか？
② ベキ法則
1900年代、イタリアの経済学者ヴィルフレード・パレートは、「収入分布は“ベキ法則”にしたがう」ことを発見。これは「世の中にはごく一握りのきわめて収入の多い人たちがおり、人口の大多数はわずかな収入しかない」ということを表す法則であり、後にパレートの法則とか「80対20の法則」などと呼ばれた(世の中のお金の80％は人口の20％の人という一握りの人たちが持っており、お金の20％はその他大勢の80％が持っている、ということ)。
③ スケールフリー・ネットワーク
ベキ法則は、正規分布(釣鐘型の分布)とは違って、①どこにもピークがなく、なめらかに減少する、②分布のすそ野は正規分布よりも広い、③ごく少数のきわめて大きい事象と無数の小さい事象が共存する状態を表すなどの特徴を持つ。バラバシは、枝の数と頂点の数がベキ法則に分布をスケールフリー・ネットワークと呼んだ。
…以上が、Ramsey-Cass-Koopmans モデルの設定である。資本蓄積、技術、資源の各制約を前提に、消費者は効用が最大になる消費を選ぶのである。主体（消費者）が最適な値を選ぶという意味で、c_tはcontrol variable とも呼ばれる2。また、各期において、主体が所与とする変数をstate variable と呼ぶ。このモデルの場合は、k_t、A_tがstate variable である。
State variable は、主体が環境を変えられる変数と変えられない変数に分けられる。前者をendogenous state variable という場合もあり、このモデルでは資本蓄積を通して変更されるk_tである。後者はexogenous state variable という場合もあり、このモデルの場合はA_tである。
…解をclosed form で得ることは難しい。
従って、そのようなモデルを扱う場合、定常状態周りで解がどのような振る舞いなのか、対数線形近似して求めるという手法が用いられる。1 次の近似を行えば、変数同士の関係を線形で表すことができるので、行列による差分方程式の表現が可能となる。そして、この行列による表現を操作すれば、policy function を求めることができるのである。
一般に、k_tは過去からの蓄積があるため、backward に解かれる。λ_tは横断面条件を満たすために、forward に解かれる。これらを上手く識別し、それぞれの変数についての比較的簡単な解法を与えたのがBlanchard and Kahn (1980)である。
、ごく最近の展開としては、経済主体間の情報の非対称性を強調する
Angeletos and La’o [2009] “Noisy Business Cycles,” NBER Working Paper
14982.
は、リーマンショック以降の、今後のマクロ動学分析の方向性を示しているも
のとして注目されている。ルーカスの誤認識モデルやケインズの美人投票のよう
に、マクロ経済学が 40 年周期で期待形成、とくに市場全体の期待形成に関心が
戻るのは興味深い。
There are also logical issues that will emerge. To be explicit, the proof of RH in this paper is by contradiction and this is not accepted as valid in ZF, it does require choice. I fully expect that the most general version of the Riemann Hypothesis will be an undecidable problem in the Godel sense.
トッド関数は関・ベルヌーイ数の母関数としてあらわれるだけでなく、黒体輻射に関するプランクの公式やリーマン・ロッホ問題の位相幾何公式にもその姿を現す。そしてトッド関数を通常のコホモロジー理論と K 理論とにおけるオイラー類の比と理解し直すことで、アティヤ=シンガー指数定理の公式にも結びついていく。（参考資料：「調和級数から指数定理へ - 日本数学会」）
Frank Plumpton Ramsey (/?ramzi/; 22 February 1903 ? 19 January 1930) was a British philosopher, mathematician and economist who made fundamental contributions to abstract algebra before his death at the age of 26. He was a close friend of Ludwig Wittgenstein and was instrumental(楽器・役立つ) in translating Wittgenstein's Tractatus Logico-Philosophicus (『論理哲学論考』or『論考』1921) into English, as well as persuading Wittgenstein to return to philosophy and Cambridge. Like Wittgenstein, he was a member of the Cambridge Apostles, the intellectual secret society, from 1921.
Life
Ramsey was born on 22 February 1903 in Cambridge where his father Arthur Stanley Ramsey (1867?1954), also a mathematician, was President of Magdalene College. His mother was Mary Agnes Stanley (1875?1927). He was the eldest of two brothers and two sisters, and his brother Michael Ramsey, the only one of the four siblings who was to remain Christian, later became Archbishop of Canterbury. He entered Winchester College in 1915 and later returned to Cambridge to study mathematics at Trinity College. While studying mathematics at Trinity College, Ramsey became a student to John Maynard Keynes, and an active member in the Apostles, a Cambridge discussion group. In 1923, he received his bachelor's degree in mathematics, passing his examinations with the result of first class with distinction. He was named Senior Wrangler.[2] Easy-going, simple and modest, Ramsey had many interests besides his scientific work. Even as a teenager Ramsey exhibited both a profound ability and, as attested by his brother, an extremely diverse range of interests:
He was interested in almost everything. He was immensely widely read in English literature; he was enjoying classics though he was on the verge of plunging into being a mathematical specialist; he was very interested in politics, and well-informed; he had got a political concern and a sort of left-wing caring-for-the-underdog kind of outlook about politics.
??Michael Ramsey, Quoted in Mellor
In 1923, Ramsey was befriended by Geoffrey and Margaret Pyke, then on the point of founding the Malting House School in Cambridge; the Pykes took Ramsey into their family, taking him on holiday and asking him to be the godfather of their young son. Margaret found herself to be the object of his affection, Ramsey recording in his diary:
One afternoon I went out alone with her on Lake Orta and became filled with desire and we came back and lay on two beds side by side she reading, I pretending to, but with an awful conflict in my mind. After about an hour I said (she was wearing her horn spectacles and looking superlatively beautiful in the Burne Jones style) ‘Margaret will you fuck with me?’[3]
