とはずがたり数理解析研究所講究録 - 1489154682

41：とはずがたり：2018/11/03(土) 11:04:12: >やっていることとしては、かなり乱暴に言うと、こういうことに似ています。例えば、1+x+x^2+x^3+…というのは、xの絶対値が1より小さい場合、1/(1-x)と一致します。ここにむりやりx=2として「1+2+4+8+…=-1」としているようなものです。
むむう！

2014/12/08 08:08
「1+2+3+4+…=-1/12」をわかったつもりになる
https://nakaken88.com/2014/12/08/080818

様々な総和法を用いることで、上記のごとき発散級数にさえ有限な数値を割り当てることができ、特にゼータ函数正規化やラマヌジャン総和法では件の級数に ?1/12 を値として割り当てる。この事実をよく知られた公式1+2+3+4+…=-1/12として式に表す。

1+2+3+4+…
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
https://ja.wikipedia.org/wiki/1%2B2%2B3%2B4%2B%E2%80%A6

総和可能性について
様々知られた古典的な発散級数の中でも 1 + 2 + 3 + 4 + … は有限値へ持ち込むことが比較的難しい。発散級数に有限な数値を割り当てる総和法は多数存在するが、それらの中には総和法としての強さが比較可能なものがある。例えば、チェザロ総和法は緩やかに発散するグランディ級数 1 ? 1 + 1 ? 1 + … を
1
2
に総和することはよく知られているが、アーベル総和法はグランディ級数を 1/2 に総和するのみならず、より扱いの難しい級数 1 ? 2 + 3 ? 4 + … までも
1
4
に総和することができる。

これらの級数と異なり、1 + 2 + 3 + 4 + … はチェザロ総和可能でもアーベル総和可能でもない。これらの総和法が適用できるのは収束級数と振動級数に対してのみであり、+∞ に発散する級数については有限な値を生み出すことはできないのである[5]。そこでより発展的な総和法が必要になるのであるが、それは例えばゼータ関数正規化やラマヌジャン総和法である。だいたいそういった方法による経験論を用いて、この級数の値が ?
1
12
であると論ずることができる。

さて、「1+2+3+4+…=-1/12」についてですが、「わかりにくい概要」から書いていきましょう。「わかりやすい概要」ではありませんので注意してください。むしろ、ここは飛ばしてもいいくらいです。

この式の左辺はゼータ関数の解析接続前の姿であり、右辺はゼータ関数の解析接続後の姿です。解析接続の前後で中身は変わっているため、両辺は一致しません。しかし、解析接続の前と後を比べたとき、両者にはとても密接な関係があります。なので、「等式」にしてしまっている。これが概要です。

しかし、この数式の説明は、出てくる用語を解説するだけではダメです。「両辺が一致しているわけではないのに、両辺を等式で結ぶ」ということについて触れなければなりません。これがかなりやっかいだと個人的には思っています。

「違うのに等しいとする」。回答時にこれをどう表現するかを悩んだのですが、そういえば複素数も似たようなことをやっているのではないか、と後日思いついたんですよね。

やっていることとしては、かなり乱暴に言うと、こういうことに似ています。例えば、1+x+x^2+x^3+…というのは、xの絶対値が1より小さい場合、1/(1-x)と一致します。ここにむりやりx=2として「1+2+4+8+…=-1」としているようなものです。

もちろん、これを本気で言うのはただのバカです（そもそもx=2のときには、上の和は1/(1-x)に収束しないからです）。しかし、これが複素解析という分野の話になると、少し事情が異なってきます。複素解析では、一部で定義した関数を拡張して考える、というのはとても自然な発想なんです。本題に入るまえに、ちょっと長いですが複素解析の話を簡単に書きます。