とはずがたり数理解析研究所講究録 - 1489154682

13：とはずがたり：2017/07/29(土) 07:06:36: >>11-13
ビリヤードは、もっともシンプルな力学システムの例を提示する。ある決まったルールにおいて、時間を経るうちに進化するシステムだ。だが、球の動きはとてつもなく予測が難しいことが証明されていた。

「合理的ビリヤードというのは、1世紀前にスタートした」と説明するのは、スタンフォード大学で博士後研究員であるアレックス・ライトだ。「何人かの物理学者が集まって“三角形の中で転がる球の動きを理解しよう” と提案されたとき、おそらく彼らは、その問いは1週間で解決できると思ってただろう。でも100年経ったいまも、その問いに対する追究は続いている」。

ビリヤード球の動きがつくる長い軌道の研究において、有用なアプローチというのは、球が進む方向に向かって押しつぶすように、徐々に変形していくビリヤード台を想像することだ。

一定の時間内における球の動きのほとんどが見えるように。すると、元々のビリヤード台から、新しいビリヤード台がつなげられていき、数学者が用いる「モジュライ」空間において台が動いていくことになる。一定数の側面をもつビリヤード台がつながった空間だ。

各ビリヤード台を「Translation surface」と呼ばれる抽象的な面に変形させることで、すべての「Translation surface」から構成されるより大きなモジュライ空間を理解でき、数学者はビリヤードの力学を分析することが可能になる。過去の研究によって、モジュライ空間上を押しつぶすようにしながら描かれる、特定の「Translation surface」の軌道について理解することで、元々のビリアード台に関する多くの問いの解が導けることが判明している。

ぱっと見ると、この軌道はとてつもなく複雑に見えるかもしれない。だが、2003年、マクマレンは「Translation surface」が2つの穴の空いたドーナツ型（通称「ジーニアス・トゥー」）である場合には、その軌道は複雑ではないということを証明した。各軌道は、空間全体かもしくは部分多様体と呼ばれる空間の部分集合を内を満たすのだ。

マクマレンの研究結果は、同研究において大きな進展であると認められた。だが、彼の論文が発表される前に、当時はまだ大学院生だったミルザハニが研究室を訪れ「なぜジーニアス・トゥーだけを対象にしたのですか？」と尋ねたという。

「まさに、彼女らしい指摘だったよ」彼は言う。「なにかさらに深いものが隠れていると感じるものを、彼女はより明確に理解したいと考えるんだ」。

数年の研究を経て、2012年と2013年に、ミルザハニとエスキン、そして部分的に研究に加わったテキサス州立大学オースティン校のアミル・モハンマディは、マクマレンの研究結果は、2つ以上の穴をもつドーナツ型表面のすべてに当てはまることを証明する。

彼らの分析は「偉大な業績」であり、その結果の示唆するものはビリヤード台の理論のはるか先まで及ぶものだと、ゾリチは言う。モジュライ空間は「過去30年間、熱心な研究が進められてきた」と彼は言う。「だが、その構造については、まだ分からないことばかりなんだ」。

ミルザハニとエスキンの研究成果は「新しい時代の幕開けだ」と、彼らの172ページに及ぶ論文を数カ月かけて読み込んだライトは言う。「まるで、これまでおのを片手に森に入って木を切っていたのが、今やチェーンソーが開発されたようなものだ」と彼は言う。その研究成果は、すでにいくつかの分野に応用されている。たとえば、複雑な鏡張りの部屋における警備員の視線を解明するといった問題において。

2人の書いた論文を読むとき「積み重なる難問の一つひとつをめくると、その下に隠れていたアイデアが見えてくる」と、ライトはメールで説明してくれた。「そして、その問いの中心に到達したとき、2人が築いた手法に感嘆したよ」

ミルザハニの楽観主義と粘り強さのおかげで前に進んでいくことができたとエスキンは言う。「行き詰まったことも何度かあったけど、彼女は決してうろたえなかった」。

ミルザハニでさえも、いま振り返ると、2人がその問題に頑に取り組みつづけたことに驚いている。「こんなにも問題が複雑であると事前に分かっていたら、あきらめていたことでしょう」彼女は言う。間を置いて、彼女は再び口を開く。「いえ、やっぱりそんなことはないかもしれません。わたしは簡単に諦めませんから」。