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とはずがたり数理解析研究所講究録

43：とはずがたり：2018/11/03(土) 12:06:10
訳解らん

一致の定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%87%B4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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一致の定理(いっちのていり、英: Identity theorem)は、複素解析において、通常は可算点列上で局所的に一致する2つの正則関数が大域的に一致することを主張する定理である。重要な定理であり、解析接続の一意性の証明にはこの定理が必要となる。

この定理には名は冠されていないが、1844年頃、リウヴィルが楕円関数に特殊な形で適用したのが最初であり、直後にコーシーが自分が開発した複素解析の中に取り入れて一般化したものである[1]。


目次
1 定理
2 証明
2.1 第1段階の証明
2.2 第2段階の証明
3 脚注
定理
次の2つの形式があり、どちらも一致の定理と呼ばれている (内容的にはほとんど言い換えに過ぎない)。

(1) 連結開領域 {\displaystyle D\subset \mathbb {C} } D\subset {\mathbb {C}} で正則な複素関数 {\displaystyle f(z)} f(z) の零点集合が {\displaystyle D} D で集積点を持てば、 {\displaystyle f(z)} f(z) は {\displaystyle D} D で恒等的に 0 である。

(2) 連結開領域 {\displaystyle D\subset \mathbb {C} } D\subset {\mathbb {C}} で正則な複素関数 {\displaystyle f(z),g(z)} f(z),g(z) が、 {\displaystyle D} D で集積点を持つ {\displaystyle D} D の部分集合上で一致すれば領域 {\displaystyle D} D 全体で一致する。

証明
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