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「集合・位相入門」輪読会
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とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
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>>975【補題3の証明】
Aの全ての空でない部分集合全体からなる集合系をΜ(本当はドイツ文字Mなんですが・・・)
とする。選出公理により、∃Φ∈A^Μ(∀M∈Μ；Φ(M)∈M)。
今、Aは極大元を持たないと仮定する。
各x∈Aに対しM_x={y∈A｜y>x}とおくと、∀x∈A；M_x≠φ⇔∀x∈A；M_x∈Μ。
よってΦ(M_x)∈M_xを満たすΜからAへの写像Φが存在する。
そこでAの任意の元xに対してφ∈A^Aをφ(x)=Φ(M_x)で定義すれば、
φ(x)∈M_x⇔φ(x)>xが任意のx∈Aに対して成立することになる。
よって示された。□
>>974【定理5の証明】
対偶：「順序集合(A,≦)が極大元を持たなければ、Aは帰納的でない」 を示せばよい。
Aが極大元を持たないとすると、補題3により∃φ∈A^A(∀x∈A；φ(x)>x)・・・①
ここでもしAが帰納的であると仮定すると、補題2により、
∀φ∈A^A{(∀x∈A；φ(x)≧x)⇒∃x∈A；φ(x)=x)}
⇔∀φ∈A^A{(∃x∈A；φ(x)<x)∨∃x∈A；φ(x)=x)}(∵p⇒q⇔¬p∨q)
⇔∀φ∈A^A(∃x∈A；φ(x)≦x)・・・②
①②は矛盾するので、Aは帰納的でない。よって示された□
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てなわけで結局俺が三項連続で担当してしまいました・・・
同一人物の文章が続くのはきついかもしれませんが、突っ込みよろしくお願いします。。
Cが裏動画氏、Dがラメン氏でOK？
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もうついていけねぇよヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧﾝ!!
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>>974
(0, 1)は(0, 1)自身という空でない全順序部分集合が(0, 1)内に上限をもたないので,
帰納的じゃないですね.1だって極大元じゃないし(cf>>868, 極大元の定義).
そこをのぞけばおk。イメージがわかないとき具体例を考えるってのはよいですね。
受験生は、なかなかそういう作業をしてくれない。
>>975
＞W_0∪{a}∈Wを示して､
W_0∪{a}∈Ψを示して､
＞W_0∪{φ(a)}∈Wを示して、
W_0∪{φ(a)}∈Ψを示して、
ですか。
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>>976
仮定をなんどもかいてもらえるのは、嬉しいことです。いちいち読み返さなくて済む。
＞((iii)(iv)は仮定が偽だからという
＞意味で、"trivial"に)満たすからである。
(iv)の仮定が偽って、そんなにトリビアルかな。
(iv)の仮定って「x_0=minW以外のx∈WがWの中に直前の元を持たない」ですよね。
「x_0=minW以外のx∈WがWの中に直前の元を持たない」
⇔「xがx_0でない{x_0}の元であるならば, xは{x_0}のなかに直前の元を持たない」
「xがx_0でない{x_0}の元である」はxがなんであっても偽ですから
「xがx_0でない{x_0}の元であるならば, xは{x_0}のなかに直前の元を持たない」は真じゃない？
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>>981
・974について
開区間(0,1)がRの部分集合であることとごっちゃにして考えてしまいました。
Rの閉区間[0,1]に変更。これなら1∈[0,1]なので[0,1]自身もその中に上限をもち、
帰納的です。
・975について
そのとおりです。ドイツ文字Wを、最初はそのまま普通のアルファベットで書いていたん
ですが、わかりにくいので結局Ψを使い(理由はなんとなく似ているからorz)、直すのを
忘れていました。他に適当な字、ありますかね？
>>982
勘違いしていました。仰る通り、偽であるのは仮定条件の中の「仮定」(ややこしいですね)
なので、仮定条件は真です。
だから{x_0}が結論条件を満たすことを示さなくてはいけませんでした。
「{x_0}は(iv)の仮定条件：W∋x≠x_0ならばxはWの中に直前の元を持たない
を満たすから、結論：x_0=sup(_A)W<x_0> を示さなくてはならない。
sup(_A)W<x_0>=sup(_A){y∈W｜y<x_0}=min{y∈W｜y≧x_0}=minW=x_0
(¬a<b⇔a≧bを利用)よって示された。」
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>>983
>>974について。納得。
>>975について。Ψでいいですよ。ＷとWを使い分けるのもいいかもしれないけど、
違いがわかりづらいですね。
＞結論：x_0=sup(_A)W<x_0> を示さなくてはならない。
結論は「x=sup_(A){x_0}<x>」では？
「x_0=sup(_A)W<x_0>」だとしてもW={x_0}だからW<x_0>=Φですね。
命題「a∈Φ⇒a≦b」は任意のAの元bに対して真ですから
W<x_0>の上界全体の集合はAで、sup_(A)W<x_0>はAに最小元があるときのみminA,
Aに最小元がないときは、なし、なのでは？
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あ、失礼。>>869によるとΦの上界は定義されてませんね。。。
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難しいな。
もう2時間以上読んでるんだが理解できない。
もう少し時間ｸﾚ
納得したらＤ書き始める
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>>986
えと次はCです。。
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>>984
もう一回考え直してみたのですが、>>976の(ｉｖ)
＞(iv)x_0=minW以外のx∈WがWの中に直前の元を持たなければ、W<x>={y∈W｜y<x}
＞のAにおける上限がxと一致する。つまりx=sup(_A)W<x>。
の仮定は、「x≠x_0⇒xはWの中に直前の元を持たない」
(つまりx=x_0∨xはWの中に直前の元を持たない)ではなく、
「x≠x_0∧xはWの中に直前の元を持たない」です。
結局x=x_0のときは「仮定が偽」となるので、W={x_0}は(ｉｖ)を、"trivialに"満足する
という最初の認識でよいと思います。
あと>>983はメチャクチャでした。示すべき命題はW={x_0}が性質(iv)を満足することを言う
ためなのに、いつのまにか別のWを考えてしまいその要素x_0についての命題に摩り替え
てしまっているし、Aにおける上限であることを示すはずなのに({x_0}とは別の)Wの中の上限
であることを示しているし・・・。
(Aが整列集合なら性質(iv)は>>908によりどんなWでも成立します)
間違ったのに指摘するのは非常に恐縮なのですが、
＞結論は「x=sup_(A){x_0}<x>」では？
W={x_0}なので、x∈W⇔x=x_0ですから結局x_0=sup_(A)W<x_0>を示すことになるのでは？
で、これは示せないと思います。Aは全順序とは限らないし、>>985の通りφの上界も
定義されていませんから。
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>>986
読みづらくてすみませぬ。読解が終ったら、どこら辺がまずかったかどんどん指摘して下
さるとありがたいです。あと証明の本論の前に、証明の要約を方針として掲げていますが
これは役に立ってますか？感想くださいませ。
C）から先は次スレの方がいいかもしれませんね。
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>>988
了解。
(iv)は
「xがminWでなくてWの中に直前の元をもたないWの元ならばx=sup(_A)W<x>」
って書いてほしかったですね。
＞間違ったのに指摘するのは非常に恐縮なのですが、
ぜんぜん。そんなとこで遠慮してはいけないと思います。
で、内容ですが、
「xがminWでなくてWの中に直前の元をもたないWの元ならばx=sup(_A)W<x>」
でW={x_0}となったものを考えるわけですから
「xがx_0でなくて{x_0}の中に直前の元をもたない{x_0}の元ならばx=sup(_A){x_0}<x>」
であって、xが何者かを考える際、前件の「{x_0}の元」だけに着目すれば
x=x_0ですが、前件の条件はx≠x_0、xは{x_0}内に直前の元をもたない、x∈{x_0}
の3つの文の連言(∧で結ばれた文)です。
そもそも結論(後件)は何かという問には、前件からxがナニモノであるか
などは考えなくて単に、「x=sup(_A){x_0}<x>」と答えればいいように
思うのですけど。
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>>976(つづき)
＞(1)を示せば、
(1)の場合をしめせば ですね。(1)を示せば だといまから(1)そのものを示すように読めます.
＞(I)x=minW=x_0のとき
＞x_0はW'、したがってW'<b'>の最小元でもある。fが順序同型写像であることから、
＞f(x_0)=minW'<b'>。∴f(x_0)=x_0だから成立。
x_0はW'の最小元であるはW'∈ΨでΨの元は(ii)を満たすからでしょう？書いておいてほしいです。
順序同型写像は最小元を最小元に移すってのは、どこかで既出でしたっけ？既出ならレスアンカーを、
既出でないなら、理由を書いてください。読んでて「え？成り立ちそうやけどなんでやろ。
どっかでやったかな」て思いました。そしたらずーっとスクロールしてさかのぼらんなんし、
なかったら、じゃあ自前で考えようってことになる。で、自前で考える。
x_0がWの最小元でfがWからW'への順序同型写像だったら、
任意のW'の元x'に対してfは全単射(順序同型写像は順序単射かつ全射,
順序単射なら単射。c.f.>>874)だからf(x)=x'をみたすWの元xがひとつだけ存在する.
x_0はWの最小元だからxとは(したがってx'とは)無関係にx_0≦x.fは順序写像だからf(x_0)≦x'.
すなわち, 任意のW'の元x'に対してx'とは(fが全単射であることから、xとも)無関係な
W'の元f(x_0)がとれてf(x_0)≦x'.
こういう作業を読み手に任せず、担当者にやってほしいのです。
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>>976(その3)
＞(II)x>x_0のとき
＞∀y∈W<x>；f(y)=yを仮定する。
＞xがWの中に直前の元を持つか、持たないかの一方のみが必ず成立。
＞xが直前の元x_*を持つ場合、fが順序同型写像である(f(m)≧f(n)⇔m≧n)ことから、
＞f(x_*)はW'<b'>の中で、従ってまたW'の中で、f(x)の直前の元となる。ここで仮定により
＞f(x_*)=x_*であるから、条件(iii)によりf(x)=φ(f(x_*))=φ(x_*)=xである。
「x_*がxの直前の元でfが順序同型写像のときf(x_*)はf(x)の直前の元」はなぜ？既出？
一応、最後に「超限帰納法によりすべてのx∈Wに大してf(x)=xであることが示された」
って書いておいてほしいです.
＞xが直前の元を持たない場合、fが順序同型写像であることから、f(x)もW'<b'>の中に、
＞従ってまたW'の中に直前の下を持たない。
＞ここで、f(W<x>)=(W'<b'>)<f(x)>(>>917より)=W'<f(x)>(>>912より)なので
＞∀y∈W<x>；f(y)=yよりf(W<x>)=W<x>∴W<x>=W'<f(x)>
＞よって条件(iv)によりf(x)=sup(_A)W'<f(x)>=sup(_A)W<x>=x。
「直前の元を持たない元の順序同型写像による像も直前の元を持たない」理由を。
「超限帰納法により云々」って決まり文句を。
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帰納的な集合ってイメージしにくくないですか？
たいていの集合は帰納的な気がするんですけど。
開区間以外に帰納的でない集合の例ありますか？
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>>993
順序集合については川のようなイメージを持てばよいと思います。
それも必ずしも一本だけ流れている川ではなく、支流がいっぱい
あったりする川。
上流へ行くほど「上」下流へ行くほど「下」。
全順序集合は「｜」。整列集合は「|」で下端があるもの。
一般の順序集合は「Ψ」(上端がすべて閉じてるとしたら極大元が3つ)。
そして帰納的順序集合は「Y」とか「Ψ」を上下ひっくり返したような形。
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＞そして帰納的順序集合は「Y」とか「Ψ」を上下ひっくり返したような形。
上下ひっくり返す必要あるか？
「Ψ」も「Ｙ」も「ж」も上端が全部閉じてれば帰納的順序集合と言えるのでは？
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>>995
えーっと。
Y字型の順序集合ってのはA={a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, b_6, b_7, b_8, c_6, c_7, c_8}
に, 「a_1≦a_2≦a_3≦a_4≦a_5≦b_6≦b_7≦b_8,
a_5≦c_6≦c_7≦c_8,
任意の(i, j)∈{6, 7, 8}×{6, 7, 8}に対してb_iとc_jは比較できない」
という順序を与えたもののつもりですた。
そうするとたとえばB={a_4, a_5, b_6, b_7, c_6}は上界を持ちません。
(c_7≧c_6ですが、c_7はb_7と比較できませんし
b_8≧b_7ですが、b_8とc_6は比較できません。)
Aに真逆の順序を入れた場合はAは帰納的順序集合になります。
たとえばBの上限はa_4だしC={b_7, b_8, c_8}の上限はa_5。
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>>996
帰納的の定義
順序集合Aは、その任意の空でない「全順序部分集合」がAの中に上限を有するとき、帰納的であると言われる。
というわけでその例も帰納的順序集合になると思うが
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>>990
＞(iv)は・・・書いてほしかったですね。
はい
＞で、内容ですが、・・・思うのですけど。
例の癖です。仮定条件の一部「{x_0}の元」を前提条件として考えてました。
>>991
＞(1)の場合をしめせば ですね
はい
＞x_0はW'の最小元であるは・・
はい
＞順序同型写像は最小元を最小元に移すってのは
m≧n⇔f(m)≧f(n)でｆ：W→W'<b'>は全単射だから、
x_0=minW⇔∀x∈W；x_0≦x⇔∀x'∈W'<b'>；f(x_0)≦x'⇔f(x_0)=minW'<b'>
>>992
＞「x_*がxの直前の元でfが順序同型写像のときf(x_*)はf(x)の直前の元」はなぜ？
x_*がWにおけるxの直前の元⇔¬(∃y∈W；x_*<y<x)⇔¬(∃y'∈W'<b'>；f(x_*)<y'<f(x))
(∵m≧n⇔f(m)≧f(n)でｆ：W→W'<b'>は全単射)⇔f(x_*)がW'<b'>におけるf(x)の直前の元
＞「直前の元を持たない元の順序同型写像による像も直前の元を持たない」理由を。
x_*<x_を満たす任意のWの元x_*に対して∃y∈W；x_*<y<x
⇔x_*'<f(x)を満たす任意のW'<b'>の元x_*'に対して∃y'∈W'<b'>；x_*'<y'<f(x)
(∵m≧n⇔f(m)≧f(n)でｆ：W→W'<b'>は全単射)
＞一応、最後に・・・って書いておいてほしいです
はい
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>>997
あ、全順序か。そうですた。
二十年前も同じ勘違いを。。。
帰納的順序集合は上端が全部閉じたヤツですな。
どもすんませんでした。
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