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「集合・位相入門」輪読会
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とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
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俺はいつ始めてもOKです。
先生や他の皆さんの都合を聞かせてください。
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とりあえず９さんの合格が確定するまで待ってはどうかと思いますが
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まぁ確かにそうですけど…
俺自身、正直大学の勉強をはやく始めたいし。
他の方々の都合さえつけばすぐにでも開始したいです。
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まあもちつけ
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日程については掲示板の特性を利用して、何日何時に集合って形じゃなくて、
担当者がどんどん講義のような格好で解説していって、それ読んだ担当以外の者が
「>>***の*行目はなんでですか？」とか
「>>**?の?行目!うそつくな!」とか書き込めばいいんでは。
順番については、とりあえず、初回は管理人さんね。
初回どこまで読むかは適当に決めてください。節ごととかに機械的に
区切ってもいいですけど。で、2回目の担当は候補者を募って、いなかったら
９ちゃんが指名してください。それでもいなかったら2回目は私が担当します。
とりあえず、最初のほうからゆっくりと書いてみればどう？
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>>6
わかりました。
では準備ができ次第、講義を始めますｗｗｗ
初回は第1章§1-2の簡単な説明と問題の解説くらいでいいでしょうか。
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>>7
簡単な説明ってのはどの程度のことを想定してるのかわかりませんが、
テキスト持ってない人にもわかる程度の丁寧さがあればいいと思います。
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>>5
と言うわけなんで、９ちゃんがやる気だしてるし、>>6のような
形式だったら始めちゃっていいんじゃないでしょうか？
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>>8
わかりました。適当にがんばってみます。
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とりあえず今日はもう体力的に無理なので、
明日からスタートさせてもらいますｗｗｗｗ
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2セクション解説するのって思ってたよりもずっとキツいですね…
前言（>>7）を撤回しますｗｗｗｗ
初回は第1章§1の簡単な説明と問題の解説をします。
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では輪読会を始めます。
質問・疑問・別解などあればどんどん発言してください。
（たぶん初回はそんなにないと思うけど…）
第1回担当；９−ｍａｎ
第1回内容；第1章―§1「集合の概念」
なお、俺は図書館から借りてきた、1968年発行の第1刷を使っているので、
皆さんのとは若干異なるかもしれません。ご注意を。
# 特殊な数学記号を書き込みたいときは、下記URLを参照してください。
http://f7.aaacafe.ne.jp/~recchiki/sp_char/chr02.htm
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A) 集合と元
まず、集合とは皆さんもよくご存じのとおり、
いくつかのものを一まとめにして考えた”ものの集まり”のことです。
Aを1つの集合とするとき、Aの中に入っている個々の”もの”を
Aの元（または元素、要素）と言います。
”もの”aが集合Aの元であることを、記号で
a∈A または A∋a
と書きます。これを「aがAに属する」「aはAに含まれる」「Aはaを含む」などと言います。
a∈Aの否定は、
a∉ฺA または A∌ฺa
と書き表します。
ある集合Aとものaを考えるとき、
「a∈A または a∉ฺA のいずれか一方のみが成立し、
両方同時に成立したり、両方同時に不成立であったりしない」場合に限って、
Aを”集合”と呼んでよいことにします。
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B) 集合の記法
集合の記法は大きく2通りあります。
1つは、元 a, b, c, … により成る集合を
{a, b, c, …}
という記号で表す、「外延的記法」です。
もう1つは、変数xについての条件（または性質）C=C(x)を用いて
{x| C(x)}
という記号で表す、「内包的記法」です。
ところで、ある条件Cを考えた場合、
その条件を満たすものが1つも存在しないといこともあり得ます。
たとえば、”xは x^2+1=0 となる実数である”という条件を
満たすようなものは1つも存在しません。このような場合をも含めて、
{x| C(x)} をいつも集合として取り扱うことができるようにするために、
”元を全く含まない集合＝「空集合」”を考えます。
空集合はφという記号で表します（つまりこの場合、{x| C(x)}＝φである (註1)）。
空集合φは元を1つも含まないから、どのようなものaに対しても
a∉ฺφ
が成立します。なお、外延的記法を用いれば、
φ={ } (註1)
と書くこともできます。
(註1) 集合の相等については以下のレスを参照のこと。
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C) 集合の相等
集合は、その中味―元の全体―によって決定されるものだから、
中味が全く同じでありながら、なおかつ異なるような2つの集合は存在しません。
そこで、集合の相等は次のように定義されます：
集合A, Bは、全く同じ元からなるとき、すなわち
Aの任意の元は同時にまたBの元であり、Bの任意の元は同時にまたAの元でもあるとき、
等しいと言い、それを A=B と書く。
つまり、
A=B ⇔ 任意の対象xについて (x∈A ⇔ x∈B) が成立する。
ということになります。
外延的記法の場合について、元を書き並べる順序は任意に変えても差し支えありません。
ex) {1, 2, 3, 4}={2, 4, 1, 3}={4, 3, 2, 1}.
また、同一の元を重複して書くことも特に禁じられてはいませんが、
同じものをいくつ書いても、その効果はただ1つ書いたときと同じです。
ex) {1, 1, 1, 2, 2, 3, 4}={1, 2, 3, 4}.
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D) 部分集合
任意のものxについて、
x∈A ⇒ x∈B
が成立するとき、AはBの部分集合であると言い、
A⊂B または B⊃A
と書きます。このことをまた、「AはBに含まれる」「BはAを含む」などとも言います。
この否定は
A⊄ฺB または B⊅ฺA
で表します。
AがBの部分集合であると言うときには、A=Bである場合も除外しないことにします。
A⊂B でかつ A≠B であるとき、AはBの「真部分集合」であると言います。
ex) N⊂Z, N≠Z だから N={1, 2, 3, …} は Z={0, ±1, ±2, …} の部分集合。
# ⊆や⊇の記号を使って真部分集合のときと区別する流儀もありますが、
この記法は今日び流行らないそうです。（第1刷曰く）
定義から明らかに、
A=B ⇔ A⊂B, A⊃B
です。
また包含関係については次の推移性：
A⊂B, B⊂C ⇒ A⊂C
が成立します。
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ところで、空集合φは元を1つも含まない集合であるから、それは、
いわば”最も小さい集合”だと考えることができます。
したがって、どんな集合Aに対しても、φはAに含まれるとみなすのが自然です。
そこで我々は、任意の集合Aに対して、
φ⊂A
であると約束することにします。
これは論理法則上の一般的な既約：
(a) qが無条件に正しいならば、pの正否に関わらず p⇒q は正しい。
を用いれば証明できます。
(a)において p→q' (qの否定), q→p' (pの否定) とすれば
(a') p'が無条件に正しいならば、q'の正否に関わらず q'⇒p' は正しい。
すなわち p⇒q は正しい。
となりますが、「p'が正しい」ことと「pが正しくない」ことは同値なので、
(b) pが正しくないならば、qの正否に関わらず p⇒q は正しい。
が言えます。
B)より、任意のxに対して x∉ฺφ であるから、
(b)より、x∈φ ⇒ x∈A が正しいことになります。
∴ φ⊂A.
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問題の略解（簡単そうな問題は省略しました。）
1. a∈A ⇔ (x∈{a} ⇒ x∈A) ⇔ {a}⊂A.
2. {1, 2, 3}={x| x∈[1, 3]∩Z}
3. 略
4. A={a+b√2| a, b∈Q}.
(i) x=a+b√2, y=c+d√2 として実際に計算。
(ii) Aの乗法における単位元は 1+0√2 である。
Q-{0} は四則演算について閉じており、
2p^2-q^2=0 ⇔ (p, q)=0 であるから、
(a,b)≠(0, 0) のとき (a+b√2)^(-1)={b/(2b^2-a^2)}+{a/(a^2-2b^2)}√2∈A.
A'={a+b√2| a, b∈Z} については、(i)は成立するが(ii)は成立しない。
5. 正則行列の意味がわかりません…。
とりあえず a^2+b^2≠0 ⇔ (a, b)≠(0, 0) でなければ逆行列が存在します。
それは巻末の解答に載っている通りです。
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以上です。ふぅ〜疲れた。
こんな感じでよかったんでしょうか。
とりあえず質問とかあればどうぞ。
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>>20
正則行列とは逆行列を持つ行列のことです。
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>>21
了解です。
>>19の5番の解答を訂正。
A∋X=([a b], [-b~ a~]) について detX=|a|^2+|b|^2 であるから、
detX≠0 ⇔ (a, b)≠(0, 0) のとき X は正則行列であり、
Cは加・減・乗法について、C-{0}は除法について閉じているので、
X^(-1)∈A である。
これでいいでしょうか。
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>>18
φ⊂A
であることを約束するならそれは証明不要のはずなのに
なぜ証明しているのでしょうか。
またその証明ですが、⇒は「ならば」ですよね
→は何でしょうか
結果的に(b)が正しいことは真理表を書けばわかるのですが
(a)からどうやって導いたのかがちょっとわかりにくいです。
>>18 8行目のp,qと9行目のp,qは同じものですか？
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>>22
問題は
Aが([a,b],\-b~ a~])の形の2時の正方行列全体の集合としたとき
Aが和、差、積で閉じており、零行列でないAの元Xは正則で
Xの逆行列もAの元であることをいえ
ですか？
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>>23
えーっと、確かに日本語が曖昧でした。
先に（直感から）約束した事柄が、
これまでに掲げた定義から論理展開しても矛盾せず、
妥当なものであることを確認するために、
「証明」って言い方をしたんだと思います。
⇒は「ならば」です。
→は「おきかえる」の意味で使いました。
ココも曖昧で申し訳なかったです。
(a)のp, qと(a')(b)のp, qは全く別物です。
一応本書の表記に合わせましたが、
ここは別の文字にしたほうがよかったですね。
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>>24
その通りであります。（恐れ入りました）
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PCのﾊﾞｯﾃﾘなくなった。
温泉へ行く途中ですので
残りの疑問は後ほど。
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>>24
× Aが([a,b],\-b~ a~])の形の2時の正方行列全体の集合
○ Aが([a,b],[-b~ a~])の形の2次の正方行列全体の集合
でした。ごめん。
>>22
＞Cは加・減・乗法について、C-{0}は除法について閉じているので、
＞X^(-1)∈A である。
なんで？
>>19
＞1. a∈A ⇔ (x∈{a} ⇒ x∈A)
なんで？
あと、問題文は面倒でしょうが書いといたほうがよかろうかと。
略もちょっといただけないのでは。問題3なんか高校生向け
の問題かもしれないけど。
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>>28
＞2つ目
たび重なる説明不足申し訳ありません。
|a|^2+|b|^2≠0 のとき、
a'=a~/(|a|^2+|b|^2), b'=-b/(|a|^2+|b|^2) とおけば
X^(-1)=([a_1 b_1], [-b_1~ a_1~]) で、
a', b'∈C だから、X^(-1)∈A です。
＞3つ目
うーん。もしかして間違ってますか…？？？
x∈{a} ⇔ x=a だと思ったのですが…
＞最後
問題文、次からちゃんと書くようにします。
3番はココの人たちには簡単すぎると思って略してしまいましたｗｗｗｗ
すいません、今からやります。
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>>29
5番の再々解答。オッケーです。
次
省略せずに書いてください。
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問題
3. 次の集合を外延的記法で表せ．（空集合はφと書け．）
(a) {x| x∈C, x^6=1}
[解] x^6=1 ⇔ x=±1, ±{1+(√3)i}/2, ±{1-(√3)i}/2 であるから、
与えられた集合は {±1, ±{1+(√3)i}/2, ±{1-(√3)i}/2} …(答) に等しい。
(b) {x| x∈R, i(x+i)^4∈R}
[解] i(x+i)^4=(4x-4x^3)+i(x^4+6x^2+1) だから、
x∈R, i(x+i)^4∈R ⇔ x^4+6x^2+1=0 ⇔ x^2=-3±2√2
⇔ x=±(1±√2) （複号は同順でなくてもよい）
よって与えられた集合は {1±√2, -(1±√2)} …(答) に等しい。
(c) {y| y∈Q, y^3=2}
[解] y∈Q ⇒ y∈R であるから、まず y∈R の範囲で考える。
y^3=2 ⇔ y=2^(1/3)。ところが 2^(1/3) は無理数であるから、y∉ฺQ.
つまり、与えられた集合は φ…(答) に等しい。
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(d) {z| z∈Z, 0.1<2^z<100}
[解] 関数 f(z)=2^z (z∈R) は単調増加関数である。
2^(-4)<0.1<2^(-3), 2^6<100<2^7 であるから、
z∈Z, 0.1<2^z<100 ⇔ z∈Z, -3≦z≦6.
よって与えられた集合は {0, ±1, ±2, ±3, 4, 5, 6} …(答) に等しい。
(e) {n| n∈N, i^n=-1}
[解] i^2=-1, i^4=1 であるから、
n≡2 (mod 4) のとき、またその時に限って i^n=-1 となる。
よって与えられた集合は {2, 6, 10, …, 4n+2, …} …(答) に等しい。
(f) {n| n∈N, i^(2n)=i}
[解] i^(2n)=1 (when n≡0 (mod 2)), i^(2n)=-1 (when n≡1 (mod 2)) であるから、
与えられた集合は φ…(答) に等しい。
以上、3番の解説でした。
>>30
了解しました。
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分量的に、1回につき1セクションがベストっぽいですね。
というわけで、第2回講義の担当者を募集。
…というか、この輪読会に参加しているのは
もしかして俺と先生だけっすか？？？
（俺は別にそれでも全然構わないですけど）
ラーメンさんや他のコテの人たちも是非参加してほしいなぁ。
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>>33
や、問題1の省略のない解答を希望しているのですが。
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>>33
今の時期、それどころじゃないのでは？
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見切り発車的に始めちゃってラーメンさん怒っちゃったのかな。。
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９乙〜
俺も恥さらして参加するよ
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>>37
あ、９ちゃんやる気だしてるし始めちゃいました。
このまま続けますか？
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>>36
ぃぇぃぇ。とんでもない。
ちょっと何をすればいいのかわからないのですが・・・
要約、ですか？
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>>34
すいません。
問題
1. 次のことをたしかめよ：a∈A ⇔ {a}⊂A.
[解] x∈{a} ⇔ x=a であることに注意すれば、
a∈A ⇔ (x=a ⇒ x∈A) ⇔ (x∈{a} ⇒ x∈A) ⇔ x⊂A.
これでよいでしょうか。
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>>39
ええっと、みてのとおり、テキストを持っていない人が
読んでもテキストの内容が十分伝わるように担当者の方に
講義をしていただくのです。
それを外野が質問したりつっこんだりするわけです。
一章2節、担当されますか？
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>>37
サンクスです！！！一緒にがんばりましょう！！！
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>>40
a∈A ⇔ (x=a ⇒ x∈A)
明らかかなあ。わからんくなってきた。乞う説明。
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>>41
ちょっと時間かかりそうなのですが、それでもよろしければ
やってみます。
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>>40を一部訂正
問題
1. 次のことをたしかめよ：a∈A ⇔ {a}⊂A.
[解] x∈{a} ⇔ x=a であることに注意すれば、
a∈A ⇔ (x=a ⇒ x∈A) ⇔ (x∈{a} ⇒ x∈A) ⇔ {a}⊂A.
ｺｺﾃﾞｽ~~~~
>>43
a∈A ⇒ (x=a ⇒ x∈A) は明らかですよね。
(x=a ⇒ x∈A) ⇒ a∈A も明らかじゃないですか？？？
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>>44
ではよく準備をしてください。第2回の担当よろしくお願いします。
へへへわたしゃ
禁煙時間 0年 6月15日 8時間45分
吸わなかった煙草 4784本
浮いたタバコ代 66976円
延びた寿命 18日 6時間32分
です。
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>>46
大佐クラスですか・・・(違いましたっけ?)
すごひ・・・
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>>45
(x=a ⇒ x∈A) ⇒ a∈A
は頭の中で対偶をとってみて、ああナルホドって思うけどあなたはなんであきらかだと思うの？
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一気に全部書くのはつらいので、小出しにしていきます。
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§２ 集合の間の演算
A) 和集合
２つの集合A,Bが与えられたとき、Aの元とBの元とを全部寄せ集めて得られる
集合を、AとBとの和集合といい、A∪Bとあらわす。
内包的記法で表せば
(2.1) A∪B={x｜x∈Aまたはx∈B}
である。
以下、和集合の基本的な性質をのべる。
(2.2) A⊂(A∪B),B⊂(A∪B)
これは、x∈A→x∈(A∪B)、x∈B→x∈(A∪B) を示せばよいが、(2.1)より明らか。
(2.3) A⊂C,B⊂C→(A∪B)⊂C
A⊂C,B⊂Cとし、x∈(A∪B)とする。(2.1)よりx∈Aまたはx∈B。
x∈AならばA⊂Cよりx∈C。x∈BならばB⊂Cよりx∈C。
したがって、x∈(A∪B)→x∈Cすなわち(A∪B)⊂C。
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>>48
(x=a ⇒ x∈A)においてxにaを代入するとa∈Aを得る
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(2.4) A∪A=A (巾等律)
(2.5) A∪B=B∪A (交換律)
(2.6) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (結合律)
これらは証明を要するものなのかどうかわからない・・・
証明するとすれば、論理学の範疇なので、真理値表とか・・・
(2.6)の両辺をカッコを省略してA∪B∪Cとも書く。さらに(2.6)から
{(A∪B)∪C}∪D=(A∪B)∪(C∪D)=A∪{B∪(C∪D)}=A∪{(B∪C)∪D}={A∪(B∪C)}∪D
が導かれる。この各辺の集合をA∪B∪C∪Dと書く。
1つ目の=は、(A∪B)をA'、CをB'、DをC'と置き換えてみればわかる。残りの=も同様。
一般に、n個の集合A_1,A_2,･･･,A_nがあるとき、A_1∪A_2∪･･･∪A_nという表現の
どこにどのような順序でカッコをつけていっても、結果として得られる集合は全部
同じになる。これは、上と同様に、例えば、A_1とA_2に()がついている場合全てについて
(A_1∪A_2)=B_1と置き換えれば(n-1)個の場合に帰着できる。A_2とA_3、A_3とA_4･･･
の場合も同様。また、k=1,2,･･･,(n-2)として、A_kとA_(k+1)にカッコが付いている場合の1つに、
C∪{(A_k∪A_(k+1))∪A_(k+2)}∪Dがある。A_(k+1)とA_(k+2)にカッコが付いている場合の1つに、
C∪{A_K∪(A_(k+1)∪A_(k+2))}∪Dがある。(CはA_1∪･･･∪A_(k-1)という表現に適当に(どうやっても良い)
カッコをつけた集合。DはA_(k+3)∪･･･∪A_nという表現に適当にカッコをつけた集合。）
よって、(A_k∪A_(k+1))∪A_(k+2)=A_K∪(A_(k+1)∪A_(k+2))より、どのようにカッコをつけても得られる集合
は同じであることを示すことができる。
これを、A_1∪A_2∪･･･∪A_nあるいは∪[i=1,n]A_iと書く。
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わかりにくくてすいません。
1行目にA_1,A_2に()がついたものの全ての組み合わせを書き並べて1個づつ=で結ぶ
2行目にA_2,A_3に・・・
で、各行の等式は(n-1)の場合に帰着できるから成立。
k行目の中の1つと(k+1)行目の中の1つが=。
よって全部=で結べる。
つっこみよろ。しかし時間かかりますな・・・。もっと細分化して回転増やす
っていうのはどうですか？次回、次々回は大変そうですし。
それとも、もっと省略してもいいんんでしょうか？
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>>48
>>51と同じ感じですが、
(a=a ⇒ a∈A), 「a=a」は真, ∴ a∈A.
でいいのではないでしょうか。
>>52
試しに、(2.6)証明してみてくださいｗｗｗｗ
>>53
俺も、思ったよりも時間がかかるなーと思いました。
もう少し細分化してどんどん回しましょうか。
適当なところで区切って、バトンタッチしちゃってください。
あと、細かいことですが
「ならば」は「⇒」を使ったほうがわかりやすいと思います。
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>>52
証明してください。
>>53
数学的帰納法によって示せるわけですね。
細分化するのはいいと思います。
省略はしない方針にしましょう。
>>54
了解しました。>>51氏の言いたかったのもこれかもしれませんが
x=aとして得られるものはあくまで(a=a⇒a∈A)なのであって
a∈Aそのものとは区別する必要があると思います。
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真理値表を使います。
(2.6)は(p∨q)∨r≡p∨(q∨r)を示せばよい。(p,q,rは命題)
ｐｑｒ ｐ∨ｑ （ｐ∨ｑ）∨ｒ ｑ∨ｒ ｐ∨（ｑ∨ｒ） (p∨q)∨r≡p∨(q∨r)
０００ ０ ０ ０ ０ １
００１ ０ ０ ０ ０ １
０１０ ０ ０ ０ ０ １
０１１ ０ ０ １ ０ １
１００ ０ ０ ０ ０ １
１０１ ０ ０ ０ ０ １
１１０ １ ０ ０ ０ １
１１１ １ １ １ １ １
(2.4)(2.5)も同様。
だめ？
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続き
(2.7) Ａ⊂Ｂ⇔(Ａ∪Ｂ)=Ｂ
(左⇒右)Ａ⊂ＢならばＡ⊂ＢかつＢ⊂Ｂだから(2.3)より(Ａ∪Ｂ)⊂Ｂ。
一方(2.2)より(Ａ∪Ｂ)⊃Ｂ。よって(Ａ∪Ｂ)=Ｂ。
(右⇒左)(Ａ∪Ｂ)=Ｂならば(2.2)よりＡ⊂(Ａ∪Ｂ)だからＡ⊂Ｂ。
(2.8) Ａ⊂Ｂ⇒(Ａ∪Ｃ)⊂(Ｂ∪Ｃ)
A⊂Bならばx∈A⇒x∈B･･･(#)。このとき、y∈(A∪C)⇒y∈(B∪C)を示す。
y∈(A∪C)のときy∈Aまたはy∈C。y∈Aのとき(#)よりy∈Bゆえにy∈(B∪C)。
またy∈Cのときy∈(B∪C)。
(2.9) Φ∪A=A
これは任意の集合Sに対してΦ⊂Sだから(前回参照)、(2.7)のAをΦ、BをAに
置き換えると得られる。
やっと和集合終わりか。ふぅ
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>>56
おぉ、すごい！！！
何か馬鹿にされそうだけど、
真理値表って初めて見ました。
>>57
ここら辺で交代にしますか？？？
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>>58
>>58
じゃ誰かお願いします。
"真理値表"って用語で合ってるかどうか・・・
論理学の単位は取ったんだけど、うろ覚えでつ。
先生これでいいんでしょうか？
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９３６の筆者さんも早く来てほすぃ
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>>60
あ、確かに。
９３６氏に物理学の講義とかしてもらいたいｗｗｗｗ
-
>>61
711氏も９３６氏もつっこみだけ参加もアリでいいよね？
-
>>59
じゃここから俺が代わります。
>>62
ＯＫですよ。是非参加してほしいです。
-
>>56
あれ、これって
0: 正 1: 偽
で読むのかなーって思ったんだけど違うっぽい…
どう読めばいいんでしょうか。
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× 0: 正 1: 偽
○ 0: 偽 1: 正
-
>>65
正じゃなくて真ね。
-
>>59
p, q, rを命題、A, B, Cを集合とし、
真理表
ｐｑｒ ｐ∨ｑ （ｐ∨ｑ）∨ｒ ｑ∨ｒ ｐ∨（ｑ∨ｒ） (p∨q)∨r≡p∨(q∨r)
０００ ０ ０ ０ ０ １
００１ ０ ０ ０ ０ １
０１０ ０ ０ ０ ０ １
０１１ ０ ０ １ ０ １
１００ ０ ０ ０ ０ １
１０１ ０ ０ ０ ０ １
１１０ １ ０ ０ ０ １
１１１ １ １ １ １ １
を(2.6''),
(p∨q)∨r≡p∨(q∨r)
を(2.6'),
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
を(2.6)
とします。
LAR-menさんは
(2.6'')⇒(2.6')…(i)
がいえるからだから
(2.6')⇒(2.6)…(ii)
は言えるっていってますね。
(i)は一目瞭然だとして(ii)はそうでもないような？
というかLAR-menさんもおっしゃるように(i)はむしろ論理学の範疇
であるので、
素朴集合論で
(2.6)を示せっていわれたら(ii)の部分を書けばいいのではないでしょうか。
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>>62>>63
そういってくれてよかった。
私も是非突っ込みだけの参加でもしてほしかったんですが
担当でもない私がいうのも気がひけたもんで黙ってました。
(ちょっと雑談スレ>>50でほのめかしたけど)
あと１０くんにも。こけくんにも。
個人的にはn （oBOk1n/o）くんのフル参加を期待したいところですが。
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>>67
(2.6')⇒(2.6)ですが・・・
x∈(A∪B)∪C⇔x∈(A∪B)∨x∈C⇔(x∈A∨x∈B)∨x∈C⇔x∈A∨(x∈B∨x∈C)
⇔x∈A∨x∈(B∪C)⇔x∈A∪(B∪C)
よって、(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
x∈S∨x∈T⇔x∈S∪Tとしていいものでしょうか・・・
-
おっと無意識に69げっとぉぉおぉ
-
>>69
ゲットおめ！！！
x∈S∨x∈T⇔x∈S∪T
はS={x|p(x)}, T={x|q(x)}とおくｔ
x∈S∨x∈T⇔p(x)∨q(x)⇔x∈{x|p(x)∨q(x)}
⇔x∈S∪Tでいいでしょう。
-
>>70
_、_
（ ,_ﾉ` )y━･~~~ 無意識ねぇ
-
真理表の読み方がわからない…orz
たとえば>>56の表で
ｐｑｒ ｐ∨ｑ （ｐ∨ｑ）∨ｒ ｑ∨ｒ ｐ∨（ｑ∨ｒ） (p∨q)∨r≡p∨(q∨r)
０１１ ０ ０ １ ０ １
の行だけ抜き出したとき、これはどうやって読めばいいのでしょうか。
p: 偽, q: 真, r: 真 のとき
p∨q: 偽, (p∨q)∨r; 偽, q∨r: 真, p∨(q∨r): 偽, (p∨q)∨r≡p∨(q∨r): 真
と読めばいいんでしょうか。
でもこれって間違ってませんか…？？？
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>>73
読み方はそれでいいけど、あなたのいうとおり
間違ってるね。ﾗﾒﾝ氏を信用してよく読んでなかった。スマ
…どうしよ。ﾗﾒ氏に直してもらいましょうか。
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すいません。andとorを勘違いしてました。訂正します。
ｐｑｒ ｐ∨ｑ （ｐ∨ｑ）∨ｒ ｑ∨ｒ ｐ∨（ｑ∨ｒ） (p∨q)∨r≡p∨(q∨r)
０００ ０ ０ ０ ０ １
００１ ０ １ １ １ １
０１０ １ １ １ １ １
０１１ １ １ １ １ １
１００ １ １ ０ １ １
１０１ １ １ １ １ １
１１０ １ １ １ １ １
１１１ １ １ １ １ １
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結果的に、ですが間違った真理表は(p∧q)∧r≡p∧(q∧r)を示すものです。
(∨を∧と読み替えればですが)
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>>75
訂正オッケーです。
念のため…
pq¬p ¬qp∨qp∧qp⇒q| ¬p∨q
00 1 1 0 0 1| 1
01 1 0 1 0 1| 1
10 0 1 1 0 0| 0
11 0 0 1 1 1| 1
です。これで(p⇒q)⇔(¬p∨q)が言えたりする訳です。
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>>77
ありゃりゃ。
大幅にズレた。
全角で書かないとだめなのかな
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これでいいかな？
ｐ ｑ ¬ｐ ¬ｑ ｐ∨ｑ ｐ∧ｑ ｐ⇒ｑ | ¬ｐ∨ｑ
０ ０ １ １ ０ ０ １ ｜ １
０ １ １ ０ １ ０ １ ｜ １
１ ０ ０ １ １ ０ ０ ｜ ０
１ １ ０ ０ １ １ １ ｜ １
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>>78
空白は全角で書かないとだめみたいですよ
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まだズレる…。
ｐ ｑ ¬ｐ ¬ｑ ｐ∨ｑ ｐ∧ｑ ｐ⇒ｑ | ¬ｐ∨ｑ
０ ０ １ １ ０ ０ １ ｜ １
０ １ １ ０ １ ０ １ ｜ １
１ ０ ０ １ １ ０ ０ ｜ ０
１ １ ０ ０ １ １ １ ｜ １
こうか？
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>>75-76
㌧クスです。これで漸く納得しますた。
試しに修正してみますた。
p q ¬p ¬q p∨q p∧q p⇒q | ¬p∨q
0 0 1 1 0 0 1 | 1
0 1 1 0 1 0 1 | 1
1 0 0 1 1 0 0 | 0
1 1 0 0 1 1 1 | 1
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あちゃ。微妙にズレちった。
>>57の続きは今日の夕方ごろにやりたいと思います。
んでは！！
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B) 共通部分
2つの集合A, Bの両方に共通な元全体の集合を
AとBとの共通部分と言い、A∩B で表します。
記号∩は”交わり（meet あるいは cap）”と読みます。
内包的記法で書けば
A∩B={x| x∈A, x∈B}
となります。 # 右辺のコンマは’かつ’の意味。
一般に、A∩B≠φのとき A, B は”交わる”と言い、
A∩B＝φのとき A, B は”交わらない”または”互いに素である”と言います。
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共通部分についても、和集合の場合と同様に、次の事柄が成立します。
(2.2)' A⊃(A∩B), B⊃(A∩B).
(2.3)' A⊃C, B⊃C ⇒ (A∩B)⊃C.
(2.2)', (2.3)' より、A∩B は A, B の両方に含まれる集合のうちで’最大’のものとなります。
(2.4)' A∩A＝A （巾等律） →読み方は「べきとうりつ」で合ってるでしょうか？？
(2.5)' A∩B＝B∩A （交換律）
(2.6)' (A∩B)∩C＝A∩(B∩C) （結合律）
(2.6)' から、>>52と同様にして、A_1∩A_2∩…∩A_n という表現のどこに
どのような順序で括弧をつけても、結果として得られる集合には変わりはありません。
（9-man註；これは結合律を有する演算全般について言えることです。）
そこで、括弧を省略して、この集合を
A_1∩A_2∩…∩A_n または ∩[i=1,n]A_i
と書きます。これは A_1, A_2, …, A_n の共通部分と呼ばれます。
(2.7)' A⊂B ⇔ A∩B＝A.
(2.8)' A⊂B ⇒ (A∩C)⊂(B∩C).
(2.9)' φ∩A＝φ.
ここらへんの証明は全部>>57と同様にしてできます。
(2.8)' の逆は必ずしも成り立たない…(☆) ことを示しておきます。
［(☆)の証明］ 以下に反例を1つ挙げる。
A＝{1, 2, 3}, B＝{1, 3, 4}, C＝{1, 4} とすると、
A∩C＝{1}, B∩C＝{1, 4} だから (A∩C)⊂(B∩C) が成り立つが、
このとき 2∈A, 2∉ฺB だから A⊄ฺB. （終）
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以上の (2.2)-(2.9), (2.2)'-(2.9)' はそれぞれ結び∪と交わり∩についての性質です。
さらに∪と∩との間には、次の分配律とよばれる関係が成立します。
(2.10) (A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C),
(2.10)' (A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C).
［(2.10)の証明］ # (2.10)'の証明は同様なので省略します。
x∈(A∪B)∩C
⇔ x∈A∪B かつ x∈C
⇔ (x∈A または x∈B) かつ x∈C
⇔ (x∈A かつ x∈C) または (x∈B かつ x∈C)
⇔ x∈A∩C または x∈B∩C
⇔ x∈(A∩C)∪(B∩C). （終）
また、次の吸収律と呼ばれる関係もあります。
(2.11) (A∪B)∩A＝A,
(2,11)' (A∩B)∪A＝A.
［(2.11)の証明］ #(2.11)'の証明は同様なので省略します。
(2.3) より (A∪B)⊃A, 部分集合の定義より明らかに A⊃A.
ゆえに、(2.3)' より ((A∪B)∩A)⊃A
一方、(2.2)' より ((A∪B)∩A)⊂A.
∴ (A∩B)∪A＝A. （終）
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とりあえずここまででストップします。
質問等あればどうぞ。
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>>87
質問じゃないけど、A∩Bは
the intersection of A and B
AとBのインターセクション
って読む人が圧倒的大多数でした。
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>>85
＞A∩B は A, B の両方に含まれる集合のうちで’最大’のものとなります。
この観点は重要です。
同様に
A∪BはA,Bの両方を含む集合のうち’最小’のものですね。
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>>88
あ、それ前にも教わったやつですね。
最近の教科書はそちらで書かれてるんでしょうか。
あと、>>85の「巾等律」の読み方を教えて下さい…
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>>89
デデキントカットのへんで出てきたやつに似てる気がします。
上界の最小が上限、下界の最大が下限、みたいな。
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>>90
教科書でどう読まれてるかはちょっと不勉強で知りません。
会話中ではインターセクションという言い方以外あまり耳にしません。
元のことを要素という人も現実には滅多にいません。元素というひとは
一人も知りません。
冪等律(←本字だとこう)は「べきとうりつ」って読みますよ。
この「冪」って字については解析概論に何か書いてあったような記憶が。。
巾の字を流行らしたのは高木貞治先生であったというのも聞いたことがあります。
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>>91
抽象代数でも測度論でもこんな感じの話は出てきます。
それで、こういう観点が重要だと思うのです。
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９乙
質問ありませぬ
＞A∪BはA,Bの両方を含む集合のうち’最小’のものですね。
ここ書いてませんでした。
重要な事なんですね・・・
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>>92
了解です。
解析概論、今手元にないのでわからないですが
また今度図書館に行って調べてみます。
>>93
了解。
>>94
どんまいｗｗｗｗ
続きの分担どうしますか。
§2はあと C, D, E, F, 問題1-9 がありますけど。
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本買えYO！
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俺Fは最後がよくわからんのでパス。
他の部分ならOK。
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>>97
じゃ、C, Dお願いできますか。
俺がE, Fをやります。
問題はラーメン氏、先生、俺の3人で分割くらいにしましょうか。
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OK。
だけど、先生はいいんだろうか？
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>>99
いいですよ。私がとくべき問題番号を指定してください。
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>>99-100
㌧クスです。どうしようかな。
問題番号を mod 3 で振り分けますか。
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