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「集合・位相入門」輪読会
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ところで、空集合φは元を1つも含まない集合であるから、それは、
いわば”最も小さい集合”だと考えることができます。
したがって、どんな集合Aに対しても、φはAに含まれるとみなすのが自然です。
そこで我々は、任意の集合Aに対して、
φ⊂A
であると約束することにします。
これは論理法則上の一般的な既約：
(a) qが無条件に正しいならば、pの正否に関わらず p⇒q は正しい。
を用いれば証明できます。
(a)において p→q' (qの否定), q→p' (pの否定) とすれば
(a') p'が無条件に正しいならば、q'の正否に関わらず q'⇒p' は正しい。
すなわち p⇒q は正しい。
となりますが、「p'が正しい」ことと「pが正しくない」ことは同値なので、
(b) pが正しくないならば、qの正否に関わらず p⇒q は正しい。
が言えます。
B)より、任意のxに対して x∉ฺφ であるから、
(b)より、x∈φ ⇒ x∈A が正しいことになります。
∴ φ⊂A.
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