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「集合・位相入門」輪読会
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以上の (2.2)-(2.9), (2.2)'-(2.9)' はそれぞれ結び∪と交わり∩についての性質です。
さらに∪と∩との間には、次の分配律とよばれる関係が成立します。
(2.10) (A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C),
(2.10)' (A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C).
［(2.10)の証明］ # (2.10)'の証明は同様なので省略します。
x∈(A∪B)∩C
⇔ x∈A∪B かつ x∈C
⇔ (x∈A または x∈B) かつ x∈C
⇔ (x∈A かつ x∈C) または (x∈B かつ x∈C)
⇔ x∈A∩C または x∈B∩C
⇔ x∈(A∩C)∪(B∩C). （終）
また、次の吸収律と呼ばれる関係もあります。
(2.11) (A∪B)∩A＝A,
(2,11)' (A∩B)∪A＝A.
［(2.11)の証明］ #(2.11)'の証明は同様なので省略します。
(2.3) より (A∪B)⊃A, 部分集合の定義より明らかに A⊃A.
ゆえに、(2.3)' より ((A∪B)∩A)⊃A
一方、(2.2)' より ((A∪B)∩A)⊂A.
∴ (A∩B)∪A＝A. （終）
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