「集合・位相入門」輪読会 - 1078049875

1：９ （SpxcWT76）：2004/02/29(日) 19:17: とりあえず立てておきます。
日程や進めかたなど、順次決めていきましょう。
177：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 03:22: 禿げしく納得いたしました。
　
何の映画見てたんですか？
178：Ενταξει(☆4)＠拳車 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 03:27: >>177
拳セレクトで
「クロコダイル･ダンディー　in L.A」でした。
楽しめましたよ。笑うとこいっぱいで。
179：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 03:34: いいですね。
今は"王の帰還"が見たいです。
1人で行こうかな。
180：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 03:50: >>179
知らない映画です。。。
問題の解答はもううｐしていいのかな？
181：拳（☆2） （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 04:04: >>179
ラーメン丸がどんな映画好きなのか分からないけど、
小林正樹監督の「切腹」は（･∀･）ｲｲ!!!!
二月の間に2回も見ちゃったYO！
時間あったら見てみてNE！
182：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 04:41: >>179
ああ、空騒ぎの後列の人が出てるやつでしたか。
183：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 18:11: >>182
そうです。実は似てないですけど。

さて、
184：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 18:12: >>183
さて
185：９ （SpxcWT76）：2004/03/07(日) 18:39: §2の問題逝きますか。
186：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 18:41: では

問題2　次のことをたしかめよ.
　　　　A∩B=φ⇔A^c⊃B⇔A⊂B^c

解答
対称性より最初の⇔のみ示せばよい。
x∈A∩B⇔(x∈A)∧(x∈B)⇔(x∈B)∧(x∈A)
⇔(x∈B)∧(￢(x∉ฺA)なので
もし
A∩B=φ
⇔(x∈B)∧(￢(x∉ฺA))は偽.
⇔(￢(x∈B))∨(x∉ฺA)は真
⇔(￢(x∈B))∨(￢(x∈A))は真
⇔((x∈B)⇒(￢(x∈A)))は真
⇔B⊂A^cが真.
187：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 18:42: 問題5　次の等式を証明せよ.
(a)　(A-B)-C=A-(B∪C)
(b)　A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C)

解答
(a)　(A-B)-C=(A∩B^c)∩C^c=A∩(B^c∩C^c)=A∩(B∪C)^c=A-(B∪C).
(b)　A-(B-C)=A∩(B-C)^c=A∩(B∩C^c)^c=A∩(B^c∪C)=(A∩B^c)∪(A∩C)=(A-B)∪(A∩C).
188：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 18:42: 問題8　次の等式を証明せよ.
(a)　A△φ=A(b)　A△X=A^c
(c)　A△A=φ(c)　A△A^c=X

解答
(a)　A△φ=(A∩φ^c)∪(φ∩A^c)=(A∩X)∪φ=A∪φ=A.
(b)　A△X=(A∩X^c)∪(X∩A^c)=(A∩φ)∪(X∩A^c)=φ∪A^c=A^c.
(c)　A△A=(A∩A^c)∪(A^c∩A)=φ∪φ=φ.
(d)　A△A^c=(A∩(A^c)^c)∪(A^c∩A^c)=(A∩A)∪(A^c∩A^c)=A∪A^c=X.
189：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 18:42: 御批判よろしく。
190：９ （SpxcWT76）：2004/03/07(日) 18:57: >>186
「もし」っていうのは何を仮定してるんでしょうか。

>>187
OKです。

>>188
OKです。
191：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 19:01: >>190
「もし」は消し忘れです。ｽﾏ
192：９ （SpxcWT76）：2004/03/07(日) 19:11: >>186
OKです。

たぶん同じだと思いますが

　　A∩B＝φ
⇔ ∀x∈X(￢(x∈A∧x∈B))
⇔ ∀a∈A(￢(a∈B))
⇔ A⊂B^c

こんな感じでもいいでしょうか。
193：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 19:19: 問題　(以下A,B,C･･･は、いずれも、ある集合Xの部分集合とする。)

１　次の式を簡単にせよ。
　(a)　(A∪B)∩(A∪B^c)　　(b)　(A∪B)∩(A^c∪B)∩(A∪B^c)

(a)　(A∪B)∩(A∪B^c)={A∩(A∪B^c)}∪{B∩(A∪B^c)}={(A∩A)∪(B^c∩A)}∪{(A∩B)∪(B^c∩B)}
　　={A∪(B^c∩A)}∪{(A∩B)∪Φ}=A∪(B^c∩A)∪(A∩B)=A　(A⊃A∩X,Y⊂Z⇔Y∪Z=Zより)

(b)　(A∪B)∩(A^c∪B)∩(A∪B^c)=(A∪B)∩(A∪B^c)∩(A^c∪B)=A∩(A^c∪B)　((a)より)
　　=(A∩A^c)∪(B∩A)=Φ∪(A∩B)=A∩B
194：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 19:28: >>192
2行目から3行目はどうしてですか？
3行目の主張と
a∈A⇒(￢(a∈B))
って同じだといっていいのかなあ。
195：９ （SpxcWT76）：2004/03/07(日) 19:33: >>194

ここですか？？
＞⇔ ∀x∈X(￢(x∈A∧x∈B))
＞⇔ ∀a∈A(￢(a∈B))

a∈A に対して、a∈B, ￢a∈B の一方のみが真ですが、
2行目より ∀A∈a(￢(a∈A∧a∈B)) なので、￢a∈B です。
196：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 19:35: >>193
OKです。
(a)の解答中のカッコ内の注のXは普遍集合のXではなくって
2^Xの任意の元のつもりですよね。
197：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 19:36: >>196
すいません。その通りです。
198：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 19:45: >>195
ごめん。ド･モルガン使ったわけじゃないんだよね。
もう少し詳しく説明お願いします。

あと>>194の後半の疑問についてもお願いします。
199：９ （SpxcWT76）：2004/03/07(日) 19:51: >>195最終行訂正
2行目より ∀a∈A(￢(a∈A∧a∈B)) なので、￢a∈B です。

>>198
えっと…
a∈B と仮定すると矛盾するので、￢a∈B じゃダメですか？？？

＞>>194の後半の疑問
すいません見逃してました。

∀a∈A(￢(a∈B)) ⇔ [a∈A ⇒ (￢(a∈B))]

が正しいかどうかってことですよね。
記号 ”∀a∈A(p)” の意味が「Aのすべての元aに対してpが成り立つ」
なので、これは自明的に正しいと言えませんか？？
200：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 20:11: ４　次の等式を証明せよ
　(a)　A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
　(b)　A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)
　(c)　(A∪B)-C=(A-C)∪(B-C)
　(d)　(A∩B)-C=(A-C)∩(B-C)
　(e)　A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C)

　(a)　A-(B∪C)=A∩(B∪C)^c=A∩B^c∩C^c=A∩B^c∩A∩C^c=(A-B)∩(A-C)
　(b)　A-(B∩C)=A∩(B∩C)^c=A∩(B^c∪C^c)=(A∩B^c)∪(A∩C^c)=(A-B)∪(A-C)
　(c)　(A∪B)-C=(A∪B)∩C^c=(A∩C^c)∪(B∩C^c)=(A-C)∪(B-C)
　(d)　(A∩B)-C=(A∩B)∩C^c=A∩C^c∩B∩C^c=(A-C)∩(B-C)
　(e)　左辺=A∩(B-C)=A∩B∩C^c
　　　右辺=(A∩B)-(A∩C)=(A∩B)∩(A∩C)^c=B∩A∩(A^c∪C^c)=B∩{(A∩A^c)∪(A∩C^c)}
　　　=B∩{Φ∪(A∩C^c)}=B∩A∩C^c
　　　　よって左辺=右辺。
201：９ （SpxcWT76）：2004/03/07(日) 20:13: 俺も逝きます。

3. 次のことを証明せよ．
(a) A－B＝(A∪B)－B＝A－(A∩B)＝A∩B^c
［解］　A－B＝{x| x∈A ∧ x∉ฺB}＝A∩B^c.
(A∪B)－B＝(A∪B)∩B^c＝(A∩B^c)∪(B∩B^c)＝A∩B^c.　（∵ B∩B^c＝φ）
A－(A∩B)＝A∩(A∩B)^c＝A∩(A^c∪B^c)　（de Morgan の法則）
　　　　　　＝(A∩A^c)∪(A∩B^c)＝A∩B^c　（∵ A∩A^c＝φ）
以上より与等式は成立する。　（終）

(b) A－B＝A ⇔ A∩B＝φ
［解］　Xは普遍集合とする。
　　A－B＝A ⇔ A∩B^c＝A ⇔ A⊂B^c ⇔ ∀x∈A(￢(x∈B))
⇔ ∀x∈X((￢x∈A)∨(￢x∈B)) ⇔ ∀x∈X(￢((x∈A)∧(x∈B))) ⇔ A∩B＝φ.　（終）

(c) A－B＝φ ⇔ A⊂B
［解］　A－B＝φ ⇔ A∩B^c＝φ ⇔ A⊂B^cc＝B.　（∵問題2）　（終）
202：９ （SpxcWT76）：2004/03/07(日) 20:13: 6. A⊂C ならば，任意のBに対して A∪(B∩C)＝(A∪B)∩C であることを示せ．
［解］　A⊂C のとき、A∪C＝C であるから、
A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)＝(A∪B)∩C.　（終）

9. A_1△A_2＝B_1△B_2 ならば，A_1△B_1＝A_2△B_2 であることを証明せよ．
［解］　問題7(a)(c)より、演算△は可換律、結合律を満たす。
A_1△A_2＝B_1△B_2 のとき、
A_1△B_1＝A_1△B_1△B_2△B_2＝A_1△A_1△A_2△B_2＝A_2△B_2.　（終）

以上。ツッコミ等おながいします。
203：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 20:24: >>195
＞⇔ ∀x∈X(￢(x∈A∧x∈B))
＞⇔ ∀a∈A(￢(a∈B))
2行目から1行目を導けるのれすか？
204：９ （SpxcWT76）：2004/03/07(日) 20:29: >>200
(e)はそうやるしかなさそうですね。
ベン図から明らか、とか言いたくなりますけどｗｗｗｗ

>>203
∀a∈A(￢(a∈B)) より、
x∈Aとx∈Bが同時に起こることはないので
∀x∈X(￢(x∈A∧x∈B))
じゃないでしょうか。

うーん。論理式だけで書けって言われると難しいですけど…
205：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 20:53: ７　集合A,Bの"対称差"A⊿Bを
　　A⊿B=(A-B)∪(B-A)=(A∩B^c)∪(A^c∩B)
　　で定義する。これについて、次の等式を証明せよ。
　(a)　A⊿B=B⊿A
　(b)　A⊿B=(A∪B)-(A∩B)
　(c)　(A⊿B)⊿C=A⊿(B⊿C）
　(d)　A∩(B⊿C)=(A∩B)⊿(A∩C)

　(a)　A⊿B=(A-B)∪(B-A)=(B-A)∪(A-B)=B⊿A
　(b)　A⊿B=(A∩B^c)∪(A^c∩B)={A∪(A^c∩B)}∩{B^c∪(A^c∩B)}={X∩(A∪B)}∩{(A^c∪B^c)∩X}
　　　　=(A∪B)∩(A∩B)^c=(A∪B)-(A∩B)
206：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 21:02: >>204
なるほど。
合ってると思うけど、複雑ですな。

>>205はこれから続きを書きます。
(b)は、Wを任意の集合として、X⊃WよりX∩W=W、を使ってます。
207：＜削除＞：＜削除＞: ＜削除＞
208：＜削除＞：＜削除＞: ＜削除＞
209：＜削除＞：＜削除＞: ＜削除＞
210：＜削除＞：＜削除＞: ＜削除＞
211：＜削除＞：＜削除＞: ＜削除＞
212：＜削除＞：＜削除＞: ＜削除＞
213：＜削除＞：＜削除＞: ＜削除＞
214：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 21:11: なんだこりゃ
215：９ （SpxcWT76）：2004/03/07(日) 22:42: >>205
(a)(b)OKです。

>>206-213
どんんんまい
216：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 23:07: >>199
前半
ああ、暗にド･モルガン使ってるわけですね。納得。

後半
量化記号∀,∃の後には本来変項だけを書き、その後に
条件を書くわけですよね。
だから違和感あるのかな。
∀a∈A(￢(a∈B)
ってのは
∀a,(a∈A⇒a∈B)
を略記したものなのだろうか。

>>192を略さずに書くと

　A∩B=φ
⇔￢(∃x(x∈A∩B))
⇔∀x(￢(x∈A∩B))
⇔∀x((￢(x∈A∧x∈B)))
⇔∀x((￢(x∈A)∨￢(x∈B)))
⇔∀x(x∈A⇒(￢(x∈B)))
⇔A⊂B^c,

というわけですかね。
217：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 23:10: >>200
(a)納得(b)納得(c)納得(d)納得(e)納得
(e)は右辺=…=左辺の格好で書けば分けなくても書けますね。
218：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 23:16: (c)　(b)より、(A⊿B)^c={(A∪B)∩(A∩B)^c}^c=(A∪B)^c∪(A∩B)=(A^c∩B^c)∪(A∩B)を使うと、
　　左辺=(A⊿B)⊿C={(A⊿B)∩C^c}∪{(A⊿B)^c∩C}=<{(A∩B^c)∪(A^c∩B)}∩C^c>∪<{(A^c∩B^c)∪(A∩B)}∩C>
　　　　=(A∩B^c∩C^c)∪(A^c∩B∩C^c)∪(A^c∩B^c∩C)∪(A∩B∩C)　　
　　右辺=A⊿(B⊿C)={A∩(B⊿C)^c}∪{A^c∩(B⊿C)}=<{A∩{(B^c∩C^c)∪(B∩C)}>∪<A^c∩{(B∩C^c)∪(B^c∩C)}>
　　　　=(A∩B^c∩C^c)∪(A∩B∩C)∪(A^c∩B∩C^c)∪(A^c∩B^c∩C)
　　したがって、左辺=右辺。

(d)　(b)と問題４の(e)を使うと、A∩(B⊿C)=A∩{(B∪C)-(B∩C)}={A∩(B∪C)}-{A∩(B∩C)}
　　　={(A∩B)∪(A∩C)}-{(A∩B)∩(A∩C)}=(A∩B)⊿(A∩C)
219：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 23:18: >>201
(a)納得
もう1つ「∀A(A∈2^X⇒φ∪A=A」も2行目3行目が成り立つ理由ですね。
(b)>>216的に納得
(c)ﾅﾄｰｸ
220：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 23:26: ＞管理人さん
>>207から>>214削除お願いします。読み返す時うざいので。

>>217
長くて見にくくなりそうだったので分けました。あまり意味ないです。

>>218は後ろの解答そのままです。全部展開すれば違うやり方で示せると思う
んですが途中で発狂しそうになって諦めますた。
221：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 23:38: >>202
6.ﾊﾗｼｮ
関連問題思いついた。

問題
A,B,CがXの部分集合で
A⊂B⇒A⊂C
のときB⊂Cといえるか？

9.△を2^X上の演算と見たとき
すべての元が冪零であること(問題8(c))
φが単位元(問題8(a))
もつかってますね。
222：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 23:41: >>205
(a)ﾅﾄｰｸ(b)ﾅﾄｸ
223：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/07(日) 23:42: 途中ですが、ちょと出てきます。
224：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 23:45: (p⇒q)⇔￢p∨qって結構良く使うんですね。
225：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/07(日) 23:53: ＞９
問題９の解答なんかｶｺｲｲ!(先生の補足含め)
９だけに(ｒｙ
これから問題９は９担当で・・・
226：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 00:05: （・３・）工エェー
　　　　　質問はありませんYO
227：９ （SpxcWT76）：2004/03/08(月) 00:48: >>216
どうやら知らぬうちにド・モルガン使ってたようです。

＞∀a∈A(￢(a∈B)
＞ってのは
＞∀a,(a∈A⇒a∈B)
＞を略記したものなのだろうか。
略記なのかどうかはわかりませんが
内容的には全く同じですよね。

＞>>192を略さずに書くと
そうです。

>>220
うぉぉー初めての削除（ﾄﾞｷﾄﾞｷ
やってみまつ。
228：９ （SpxcWT76）：2004/03/08(月) 00:48: >>221
関連問題やてみます。
8(a)(c)使いました。書き忘れです。ｽﾏｿ

>>225
面白い問題でしたよね。
229：９＠どうやら管理人★：2004/03/08(月) 00:55: 削除完了☆
あまり見栄えのいいもんじゃないですね。
230：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 01:10: >>229
そだね。
以後気をつけます。
231：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 01:33: 問題
A,B,CがXの部分集合で
A⊂B⇒A⊂C
のときB⊂Cといえるか？

A⊂B⇒A⊂C
⇔￢{￢(x∈A)∨(x∈B)}∨{￢(x∈A)∨(x∈C)}
⇔{(x∈A)∧(￢(x∈B))}∨(￢(x∈A))∨(x∈C)
⇔<{x∈A∨(￢(x∈A))}∧{(￢(x∈B)∨(￢(x∈A)}>∨(x∈C)
⇔{(￢(x∈B)∨(￢(x∈A)}∨(x∈C)
⇔￢{(x∈B)∧(x∈A)}∨(x∈C)
よって、A∩B⊂Cはいえるが、B⊂Cはいえないﾖｶｿ
232：Ενταξει(☆4)＠拳宅 （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 02:36: >>218
(c)納得(d)納得です。
233：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 02:42: 名前欄間違えてた。ロードオブの次のレスから＠拳宅じゃなくって＠自宅ですた。
「切腹」僕も見ました。仲代三國丹波ｲｲ!!

>>224
うん。よく使います。なんか高校生のときからよく使ってたような記憶がありますが。
234：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 02:44: >>231
2行目
{￢(x∈A)∨(x∈B)}
のｘと
{￢(x∈A)∨(x∈C)}
のxは同じ元を指してるわけでは必ずしもありませんよね。
235：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 04:35: ありゃ
どっか間違ってるだろうなーとは思ってましたが・・・
(p⇒q)⇔￢p∨qを使ってみたかっただけなんです・・・

ビデオ探して見ます。
236：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 04:44: >>235
えーっと。どうしよう。ヒントないしは補題をつけましょうか？
237：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 05:50: 眠れない夜・・・
A⊂B∩CがA⊂B⇒A⊂Cの必要十分条件で、B⊂Cとならない例は
簡単に見つかります。(A={1}B={1,2,3}C={1,2,4})
238：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 05:55: ぐもぉ
239：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 05:56: >>237
A⊂B⇒A⊂C
は
∀A(A∈2^X⇒(A⊂B⇒A⊂C))
の略ですよね。
240：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 06:02: >>239
問題文そのまま写したんですが・・・
変ですか？
241：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 06:05: >>240
A⊂B⇒A⊂C
は
Bのいかなる部分集合AもCの部分集合となっている
ってことですよね。
A={1}B={1,2,3}C={1,2,4}
はそういう例になっていないのでは。

見当違いのことをいってるのだろうか。。
242：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 06:10: 自分でもなんかA⊂B⇒A⊂Cの意味がよく把握できてない感じです。
わかってないけど書いてみました。
やっぱりわかってないみたい・・・
243：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 06:13: >>241
あ、そういう意味ですか。
出直してきます。
244：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 06:21: なんか変なメール来てるし
逝ってきます
245：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 06:24: ？
246：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 17:51: 再々チャレンジ

B⊂Cといえることを示す。
￢(A⊂B⇒A⊂C)∨(B⊂C)が真
⇔{￢(A⊂B)∨(A⊂C)}∧￢(B⊂C)が偽・・・#
￢(B⊂C)⇔￢{∀x(x∈B⇒x∈C)}⇔∃x(x∈B∧￢(x∈C))より、
このようなxのみからなる集合をAとすると、x∈Bより、A⊂Bを満たし、
￢(x∈C)より、A⊂Cとはならない。
よって、#が示された。
247：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 19:51: >>246
納得しました。

想定答案は
(A⊂B⇒A⊂C)
⇔(A∈2^B⇒A⊂2^C)
⇔2^B⊂2^C
よってB∈2^C.
∪2^C=C、C∈2^Cより
B⊂C
でした。
248：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 20:47: >>247
＞⇔(A∈2^B⇒A⊂2^C)
は⇔(A∈2^B⇒A∈2^C)ですか？
P∈2^C⇒P⊂Cは直観的には分かるんですが、証明できません・・・
249：９ （SpxcWT76）：2004/03/08(月) 21:13: だいぶ進んでますね。今から読みまつ。

§3の割り当てどうしますか？？？
250：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 21:21: じゃ９から頼む。ちょと疲れた。
後は交互に。
参加者増えないかな～
多い方がいいよね。
1人で読んでたら絶対こんなに多くのことできなかった。
251：９ （SpxcWT76）：2004/03/08(月) 21:25: >>250
じゃまずA, Bをやってみまつ。
参加者多いほうがいいですよねー。
あと1人加わるだけでも大分違うと思うんだけどなぁ。
252：９ （SpxcWT76）：2004/03/08(月) 21:49: >>246
おぉ、素晴らすぃ。完璧ですね。

>>247
おぉーこっちも素晴らすぃ。なるほどーって感じです。

>>248
そこは A∈2^C ですね。

えっと、後半ですけど、
∪2^C＝C∈2^C だから、
B∈2^C ⇔ ∀x∈B(x∈∪2^C) ⇔ ∀x∈B(x∈C) ⇔ B⊂C.
って感じでOKじゃないですか？
253：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/08(月) 21:58: >>248
A⊂2^CはA∈2^Cのミスでした。すみません。

∪2^C=Cは余計でしたね。
P∈2^C⇒P⊂C
は2^Cの定義が2^C={P|P⊂C}ですから。
254：９ （SpxcWT76）：2004/03/08(月) 22:04: >>253
あ、よく考えたらそうですね。
慣れないと難しいなー。
255：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/08(月) 22:16: >>253
あ
定義が記号で書かれてないと気づかない俺・・・
256：９ （SpxcWT76）：2004/03/09(火) 00:42: §3　対応，写像

A)　2つの集合の直積

A, Bを2つの集合としたとき、Aの元aとBの元bとの
順序付けられた組 (a, b) 全体のつくる集合を
AとBとの”直積”（または単に”積”）と言い、
　　A×B
で表します。
A×B の元 (a, b), (a', b') （a∈A, a'∈A, b∈B, b'∈B）は、
a=a', b=b' のとき、かつそのときに限って等しいとします。

A×B の元 (a, b) に対して、aをその”第1成分”または”第1座標”、
bをその”第2成分”または”第2座標”と言います。
257：９ （SpxcWT76）：2004/03/09(火) 00:42: 一般に、Aがm個、Bがn個の元から成る有限集合ならば、
A×B は明らかにmn個の元をもつ集合となります。

R×R の元 (x, y) は、Descartes（デカルト）座標を設けた平面上の点として表されます。
すなわち、座標平面は、R×Rの’幾何学的複写’と考えられます。
一般に、A×B に幾何学的な映像を与えるために、
A, B をそれぞれ水平線分（上の点集合）、垂直線分（上の点集合）で表し、
A×B をそれらの線分を2辺とする長方形で表すことがあります。（p.22 第3図を参照）
258：９ （SpxcWT76）：2004/03/09(火) 00:42: B)　対応の概念　～対応・写像について

対応の定義を述べます。
A, B を2つの集合とし、ある規則Γによって、
Aの各元aに対してそれぞれ1つずつBの部分集合Γ(a)が定められるとします。
（a≠a' に対してΓ(a)＝Γ(a') となることがあっても、またΓ(a)＝φとなるようなaがあっても、よい。）
その規則Γのことを”AからBへの対応”と言い、
Aの元aに対して定まるBの部分集合Γ(a)を、”Γによるaの像”と言います。
このとき、A, B をそれぞれ対応Γの”始集合”、”終集合”と言います。

ΓがAからBへの対応であることを、しばしば
　　Γ: A→B　（または A→B で、矢印の真上にΓ）
のように書き表します。

1つの対応 Γ: A→B を与えるということは、
Aの各元aに対して、その像 Γ(a) (⊂B) を定めることに他なりません。
したがって、’対応の相等’は次のように定義されます。

Γ, Γ' がいずれも A から B への対応であって、
∀a∈A（Γ(a)＝Γ'(a)）が成立するとき、
Γ, Γ' は等しいと言い、Γ＝Γ' と書きます。

# なお、2つの対応の相等を論じ得るためには、
もちろん、それらの始集合、終集合が一致していることが前提となります。
259：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/09(火) 01:52: >>256-258
了解しました。
260：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/09(火) 17:58: OK牧場

続きはちょっと待ってね
261：９ （SpxcWT76）：2004/03/09(火) 18:06: ラーメン氏どこまでやってくれますか？？？
262：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/09(火) 19:55: >>261
仮眠とってた。ｽﾏｿ｡

とりあえず今日はCを。
明日以降のことは明日９が帰ってから決めた方がいいのでは？

じゃ今から書きます。
263：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/09(火) 20:22: C)　対応のグラフ

　ΓをAからBへの対応とするとき、直積A*Bの部分集合
　　{(a,b)｜a∈A∧b∈Γ(a)}
　を、Γのグラフといい、G(Γ)と書く。
　定義によって、a∈A,b∈Bに対し、(a,b)∈G(Γ)とb∈Γ(a)とは同等である。(←b∈Bは要るんでしょうか？)
　したがって、Aの任意の元aに対して
　(3.1)　Γ(a)={b｜(a,b)∈G(Γ)}
　が成り立つ。
　(3.1)から、対応Γ:A→Bは、そのグラフG(Γ)によって一意的に定められること
　がわかる。すなわち、ΓとともにΓ'もAからBへの対応であるとき、G(Γ)=G(Γ')
　ならば、Γ=Γ'となる。実際、その場合は、(3.1)により、任意のa∈Aに対して
　Γ(a)=Γ'(a)となるからである。(逆に、Γ=Γ'ならばG(Γ)=G(Γ')であることはいう
　までもない。)
264：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/09(火) 20:46: 　上では、対応Γ:A→BからA*Bの部分集合G(Γ)を定めたが、逆に、次の定理が成り立つ。
　　定理1　A*Bの任意の部分集合Gに対し、G=G(Γ)となるようなAからBへの対応
　　　　　　Γが(ただ1つ)存在する。
　証明　そのような対応が1つより多くはないことは、すでに示した。
　また、Aの各元aに対し、Bの部分集合Γ(a)をΓ(a)={b｜(a,b)∈G}と定めて
　対応Γ:A→Bを決めれば、
　　(a,b)∈G⇔b∈Γ(a)⇔(a,b)∈G(Γ)
　であるから、G=G(Γ)となる。(証明終)
　以上によって、AからBへの1つの対応を定めることは、A*Bの1つの部分集合(すなわち2^(A*B)の1つの元)
　を指定する事と本質的には変わりが無いことがわかる。そこで、しばしば、対応Γ:A→Bを、そのグラフ　
　G=G(Γ)を用いて、Γ=(A,B;G)のように書き表す。
265：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/09(火) 20:59: 　対応Γ:A→BのグラフをGとするとき、(a,b)∈Gとなるb∈Bが(少なくとも1つ)存在する
　ようなAの元a全体のつくるAの部分集合を、Γの定義域という。また、(a,b)∈Gとなる
　a∈Aが(少なくとも1つ)存在するようなBの元b全体のつくるBの部分集合を、Γの値域
　という。以下では、Γの定義域、値域を、それぞれD(Γ)、V(Γ)で表す。すなわち、　　
　　D(Γ)={a｜(∃b(a,b)∈G)}
　　V(Γ)={b｜(∃a(a,b)∈G)}
　Aの元aに対して、(a,b)∈Gとなるb∈Bが存在することは、明らかに、Γ(a)≠Φであることと
　同等であるから、Γの定義域D(Γ)は、Γ(a)≠Φであるようなa全体のつくる集合ということもできる。
266：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/09(火) 21:04: つっこみよろ
267：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/09(火) 22:31: >>263
了解しました。
＞。(←b∈Bは要るんでしょうか？)
Γ(a)⊂Bだから特に書く必要はないと思います。

>>264
了解しました。

＃この考え方をはじめて知ったとき「！｣って感じがしました。
　現代数学を理解するコツのようなものがここにあると。
　二つの対象の非常に似ているところを抽出し、その観点において
　二者を同一視するってことは他にもいっぱい出てきます。

>>265
納得しました。

　　　「＃｣ってこういうときに使っていい記号でつか？
268：９ （SpxcWT76）：2004/03/09(火) 22:32: >>263
＞定義によって、a∈A,b∈Bに対し、(a,b)∈G(Γ)とb∈Γ(a)とは同等である。(←b∈Bは要るんでしょうか？)
わかりやすくするために書いただけじゃないでしょうか。
もちろん、b∈B じゃないと話が成立しませんけど。

>>265
どうでもいいことだけど、DとVって何の略なんでしょうか。

俺からは他には特にないです。
269：９ （SpxcWT76）：2004/03/09(火) 22:33: >>267
補足説明とか、P.S.みたいな感じで使うことがありますね。

# こんな感じで。
270：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/09(火) 22:34: >>268
domainとvalueかな
271：LAR-men （lBLdA0dk）：2004/03/09(火) 23:20: >>267
頭に入れておきます。

先は長い・・・
272：９ （SpxcWT76）：2004/03/10(水) 06:23: D)　逆対応

ΓをAからBへの1つの対応とします。そのとき、
Bの各元bに対して、b∈Γ(a) であるような a∈A 全体のつくるAの部分集合を
⊿(b) とすれば、BからAへの対応⊿が定められます。
このようにして定義された対応 ⊿: B→A を、Γの逆対応と言い、Γ^(-1) で表します。

定義から明らかに、a∈A, b∈B に対して、
　　(3.2)　　b∈Γ(a) ⇔ a∈(Γ^(-1))(b).

Γ^(-1) はBからAへの対応なので、そのグラフ G(Γ^(-1)) は B×A の部分集合であり、
グラフの定義 G(Γ):＝{(a, b)| a∈A, b∈Γ(a)} （注；ここでのΓ, A, B は一般の対応および集合を表す）
および (3.2) によって、
　　(b, a)∈G(Γ^(-1)) ⇔ a∈(Γ^(-1))(b) ⇔ b∈Γ(a) ⇔ (a, b)∈G(Γ),
したがって
　　G(Γ^(-1))＝{(b, a)| (a, b)∈G(Γ)}.
すなわち、G(Γ^(-1)) は G(Γ) の元の成分の順序を入れ替えた元全体の集合となります。

また、次のことが成り立ちます。
　　(3.3)　　D(Γ^(-1))＝V(Γ), 　　V(Γ^(-1))＝D(Γ).
　　(3.4)　　(Γ^(-1))^(-1)＝Γ.
［(3.3) の証明］　
　　V(Γ)＝{b| ∃a( (a, b)∈G(Γ) ) }＝{b| ∃a( (b, a)∈G(Γ^(-1)) ) }＝D(Γ^(-1)).　（終）
［(3.4) の証明］
　　(3.3)で Γ→Γ^(-1) と置き換えれば、(Γ^(-1))^(-1)＝Γ より、D(Γ)＝V(Γ^(-1)).　（終）

Γ^(-1) によるBの元bの像 (Γ^(-1))(b) を、Γによるbの”原像”または”逆像”とも言います。

(Γ^(-1))(b)≠φ となるのは、b∈V(Γ) のとき、かつそのときに限ります。…(☆)
［(☆)の証明］
　　(Γ^(-1))(b)≠φ ⇔ ∃a∈A(a=(Γ^(-1))(b))
⇔ ∃a∈A(Γ(a)=b) ⇔ ∃a∈A( (a, b)∈G(Γ) ) ⇔ b∈V(Γ).　（終）
273：９ （SpxcWT76）：2004/03/10(水) 06:24: 続き（Ｅ）は東京から帰ってきてからやります。
とりあえずここまで、つっこみよろです。

あと、問題全部で4問ありますが、どうしますか？？？
274：Ενταξει(☆4) （DTxrDxh6）：2004/03/10(水) 06:48: >>272
［(3.4) の証明］から先がおかしくないですか？
(3.3)の後半は証明していなくって、
[(3.4)の証明]と称してしていることは、どうも(3.3)の後半の証明
のようだし, その証明にまだ示してないはずの(3.4)を使っているのでは？？
[(☆)の証明]中の「=」は皆「∈｣ですね。

再反論よろしく。

>>273
いってらっしゃい。吉報を待ってます。
問題は適当に振り分けてください。私は決定に従います。
275：９ （SpxcWT76）：2004/03/10(水) 06:51: >>274
あ、すいません、またアホやりました。
これから準備しないといけないので、
訂正は帰ってきてからにします。

問題ですが、では俺は1と4をやります。
2と3をラーメンさんと振り分けしてください。
276：９ （SpxcWT76）：2004/03/11(木) 09:04: ［(3.3) 後半の証明］
　　D(Γ)＝{a| ∃b (a, b)∈G(Γ) }＝{a| ∃b (b, a)∈G(Γ^(-1)b) }＝V(Γ^(-1)).　（終）

［(3.4)の証明］
　　(3.2) より
　　b∈Γ(a) ⇔ a∈(Γ^(-1))(b) ⇔ b∈((Γ^(-1))^(-1))(a).
　　∴ Γ＝(Γ^(-1))^(-1).　（終）

これでよいでしょうか。