とはずがたり数理解析研究所講究録 - 1489154682

1：とはずがたり：2017/03/10(金) 23:04:42: 名前負け及び過疎スレ化必至で恥ずかしいけど数学綜合スレ。
2：とはずがたり：2017/03/10(金) 23:04:56: 漢数字
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BC%A2%E6%95%B0%E5%AD%97

分数[編集]

中国では古くから小数が発達したため、分数の数詞は少なく、単独の字としては「半」しかない。古くは以下の語が使われた[24][25]。
数数詞
1⁄2 半、中半
1⁄3 少半、小半
2⁄3 太半、大半
1⁄4 弱半
3⁄4 強半

位取り記数法[編集]
漢数字を位取り記数法で用いることもできる。この場合、アラビア数字の 0 から 9 を単に〇から九に変えれば良い。読み方はそれぞれの言語による。小数点は中黒（・）を用いる。例えば 32.8 は数詞なら「三十二点八」だが、位取り記数法なら「三二・八」である。
漢数字の位取り記数法は新しい。漢字文化圏では、長らく算木が使われ、位取り記数法で漢数字を用いる必要がなかった。元までの漢文に「二八」とあったら、16 の意味 (2×8) であって 28 ではない。

算木
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E6%9C%A8

歴史[編集]
中国では紀元前から算木が使われていた。1954年、湖南省長沙の左家公山15号楚墓で、戦国時代の算木が四十数本発掘された[1][2]。文献の記録はさらに古く、老子には「善く数える者は籌策（ちゅうさく）を用いず」とある[3]。
13世紀にそろばんが使われるようになるまで、算木で計算を行った。算木はそろばんと異なり高次の代数方程式を解くことができたが（別項参照）、中国ではそろばんの普及により解法が失われた。江戸時代の日本の数学者はそろばんと並んで算木を用い、数学の発展に貢献した。

籌算
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B1%8C%E7%AE%97#.E9.80.A3.E7.AB.8B.E4.B8.80.E6.AC.A1.E6.96.B9.E7.A8.8B.E5.BC.8F

籌算（ちゅうさん、中: 筹算）とは、算木（中: 筹、算、策[1][2]）と呼ばれる一組の棒を用いる、一種の器具代数術。布の盤（算盤）上に算木を並べて行ったことから布算ともいう[3]。中国のほか朝鮮半島や日本をはじめとする漢字文化圏で広く利用された。

連立一次方程式[編集]
『九章算術』巻第八「方程」にはガウスの消去法に似た連立一次方程式の解法が述べられている[13]。以下を例題とする。
3：とはずがたり：2017/03/24(金) 16:39:35: 代数は一階述語論理だけど解析は違うと聞いたんだがちんぷんかんぷんだ…orz

一階述語論理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86
4：とはずがたり：2017/03/24(金) 16:45:40: どの辺からやればいいのかなあ。。

経路積分
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%8C%E8%B7%AF%E7%A9%8D%E5%88%86

経路積分（けいろせきぶん）あるいは径路積分は、リチャード・P・ファインマンが考案した量子力学の理論手法である。ファインマンの経路積分とも呼ばれる。
5：とはずがたり：2017/04/04(火) 20:46:57: 数理所か算数だけどｗ

「分数ものさし」小学生が発案　計算法、目盛りで理解
http://www.asahi.com/articles/ASK3X5Q9ZK3XUTPB00W.html?ref=goonews
張春穎2017年4月3日07時01分

http://tohazugatali.web.fc2.com/education/2017-04-04.jpg
分数ものさしでの割り算の計算方法。「６分の１÷２分の１」は、基準となる「１２分の１」が２個と６個と考えて、「６分の２＝３分の１」と解く

　苦手な子どもが多い分数の計算。それを視覚的に理解しようと、浜松市内の小学生＝当時＝が「分数ものさし」を考えた。長さ１２センチのものさしに５列の目盛りが付き、基準単位の「１２分の１」がいくつあるか数えて計算する――。この発想に静岡大が注目し、教材化に向けた研究も進む。

　浜松市立神久呂小学校を今春卒業した山本賢一朗君。小５の時、分数に苦手意識を感じたという。友人も悩んでいた。掛けるのになぜ、答えは小さくなるのか。割り算ではなぜ、割る方の分母と分子を入れ替えて逆数にするのか……。

　学習塾の経営に携わる父裕一朗さん（４０）にも疑問をぶつけ、やがてものさしで分数を考える発想にたどり着く。１とその数以外では割り切れない「素数」の目盛りだけがついた京都大の「素数ものさし」がヒントになった。

　分数ものさしには、１２分の１ずつ刻まれた目盛りに対応して「６分の１」「４分の１」「３分の１」「２分の１」ずつ刻まれた全５列の目盛りが付く。基準となる「１２分の１」が何個かを数えて計算する。「４分の３」と「３分の２」、どちらが長いかも分かる。

　では計算。足し算「４分の１＋…
6：とはずがたり：2017/07/09(日) 22:45:49: 大人になったら使わないのに、なぜ私たちは「分数」を学ぶのか
http://www.excite.co.jp/News/economy_clm/20170705/Itmedia_business_20170705013.html
ITmedia ビジネスオンライン 2017年7月5日 08時00分 (2017年7月6日 17時20分更新)

　なぜ、私たちは「分数の足し算」を学ぶのか？
　数学を苦手にする人の多くは、このようなことを考えたことがあるはず。「微分・積分なんて、二次関数なんて、日常生活に役立たないよ」と。そして、いまこのように感じているかもしれない。「分数の計算も、社会人になったら使わないよ」と。本当にそうなのか。かつて、分数は小学4年生で習っていたが、いまは2年生で学ぶ。2年生の子どもに「分数って、大人になったら役立つの？」と聞かれて、あなたはどのように答えるのか？

　「大人のための数学教室和（なごみ）」を運営する堀口智之社長に、納得いくまで話を聞いてきた。

　大人のための数学教室は開校以来、生徒数がじわじわと増え続け、現在は約400人が通っているという。普段、統計学などの難問に対応している堀口先生は「分数の計算を学ぶ理由」について、どのように答えたのか。聞き手は、ITmedia ビジネスオンラインの土肥義則。

●数学は物事を抽象化している

土肥：　学生時代に数学を苦手にしていた人って、社会人になっても「微分・積分なんて仕事で使わないよ」「二次関数って、一度も使ったことがないよ」と思っている人が多いのではないでしょうか。「微分・積分も二次関数もいらない。社会人になっても必要なのは、足し算、引き算、掛け算、割り算だけでいい」と考えている人が多いのかもしれない。いや、ひょっとしたら、微分・積分、二次関数をどのように使えばいいのかよく分からないので、「必要なのは、足し算、引き算、掛け算、割り算だけでいい」と自分に言い聞かせているのかもしれません。
そこで、堀口先生にズバリお聞きしたい。分数の計算って、何のために学んでいるのでしょうか？

堀口：　数学や算数の役割とは何か。たくさんあるのですが、そのひとつに物事をより抽象化している役割があるんですよね。
　例えば、リンゴが2個あるとします。でも、本当に2個と言えるのでしょうか。よーく見ると、そのリンゴは形がそれぞれ違うかもしれません。1つは、キズが入っている。もう1つは、へこんでいる。そうした場合でも、同じ1個と言えるのでしょうか？
　リンゴは1個あるよね、そしてもう1個あるよね。片方のリンゴは大きい、もう片方は少し小さい。でも、同じ1個として数える。とりあえず大きさ、形も違うけれど同じ1個なんですよね。そして、合わせて2個と呼ぼうね、というのが数学の役割なんです。現実にはさまざまな情報が詰まっているのに、特定の情報を抜き出しているのが数学なんですよ。
　数学に比べて、算数はより現実に近いんです。疑問に感じられている分数についても、現実に近いですね。
　分数の足し算は社会人になってから一度も使ったことがないということですが、その前に大切な話が抜け落ちているんですよね。そもそも私たちは何のために数学や算数を学ぶのか。
　なぜ私たちが算数を学ぶかというと、「数の感覚を身につける」ためなんです。5分の3って、どのくらいかな。3分の1って、どのくらいかな。どちらが大きいのかを考えなければいけません。「5分の3のほうが大きい」ことはすぐに分かりますよね。では、会社の売り上げは5分の3になりました。何％ダウンですか？　と聞かれたらどうしますか？
　いきなり聞かれると、すぐに答えるのは難しいですよね。答えは、40％。ここで私が言いたいことは何か。世の中というのは「割合」で考えなければいけないことが多いんです。
　人間って常に、何かと何かを「比べて」生活しているんですよね。
　では、比べるということはどういうことか。A社の売り上げは100億円。分数を学んでいない小学生は、この数字を見て「スゴーい」と思うかもしれませんが、実感することは難しい。一方の大人はどうか。A社の売り上げが100億円と聞いて、子どもと同じように「スゴーい」と思うかもしれませんが、それだけでは終わりません。どのくらいスゴいのかという話になる。対前年比でどのくらい伸びたのか、競合他社と比べてどのくらいの差があるのか、といったことを知ったうえで、A社の100億円がどのくらいすごいのかを判断するんです。

堀口：　では、ここで問題。5分の3、7分の4、9分の5……このうち、どれが一番大きいですか？簡単そうに見えるのですが、実はこの問題は難しいんですよ。大学で数学科を卒業していても、すぐに答えることができる人は少ないはず。なぜすぐに答えられないかというと、数字の感覚が身についていないから。私たちは小学生のころから数字の感覚を鍛えてきたはずなのに、「十分に鍛えた」と言える人は少ないんです。
7：とはずがたり：2017/07/26(水) 18:16:45: 確かにそうだった(;´Д｀)

英語のquadratic functionsはなぜ二次関数?
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1021852595

yu_ki1077さん2009/1/109:51:46
英語のquadratic functionsはなぜ二次関数?
質問です。

quad は"４"という意味だと思います。なぜquadratic functionsは二次関数と訳されているのでしょうか。

gef00675さん 2009/1/114:30:16
quadraticは、「平方の」とか「二乗の」という意味。正方形から意味が転じた。
だから、quadraticといえば、常に、二乗というニュアンスがはいる。
例 quadraric equation（二次関数）
, quadratic function（二次方程式）.
一方、第二次導関数は、second derivativeで、quadraticは使わない。

ちなみに、quadr-は「4つの」という意味のラテン語由来の接頭辞で、派生語には
quadrangle = 四角形
quadrant = 象限、四分円
quadratic = 平方の、二次の
などがある。
8：とはずがたり：2017/07/26(水) 18:17:28: 確かにそうだった(;´Д｀)

英語のquadratic functionsはなぜ二次関数?
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1021852595

yu_ki1077さん2009/1/109:51:46
英語のquadratic functionsはなぜ二次関数?
質問です。

quad は"４"という意味だと思います。なぜquadratic functionsは二次関数と訳されているのでしょうか。

gef00675さん 2009/1/114:30:16
quadraticは、「平方の」とか「二乗の」という意味。正方形から意味が転じた。
だから、quadraticといえば、常に、二乗というニュアンスがはいる。
例 quadraric equation（二次関数）
, quadratic function（二次方程式）.
一方、第二次導関数は、second derivativeで、quadraticは使わない。

ちなみに、quadr-は「4つの」という意味のラテン語由来の接頭辞で、派生語には
quadrangle = 四角形
quadrant = 象限、四分円
quadratic = 平方の、二次の
などがある。
9：とはずがたり：2017/07/27(木) 17:31:31: なんで円周が直径×3.14で出るのかを解説してくれないと納得出来ないよねえ。元のサイトも行方不明だし。。

円の面積はなぜ「半径×半径×3.14」なの？ → 一目で理由が分かるサイトが話題に
円を長方形にしてみれば一目瞭然。
http://nlab.itmedia.co.jp/nl/articles/1305/14/news085.html#utm_source=excite&utm_medium=feed&utm_campaign=20170725-076&utm_term=nl&utm_content=rel5-01

　円の面積の求め方が「半径×半径×3.14」だということは覚えていても、どうしてそんな公式になるのか忘れてしまったという方は多いのでは？　その理由を図でわかりやすく解説してくれるFlashが人気になっています。

　サイトでは円を細かいパーツに分けて並べ替えることで、長方形の面積を求める公式「たて×よこ」で考えればいい、ということを教えてくれます。「小学校でも同じ教え方をされた」という人も多いはずですが、順を追って丁寧に解説してあり、図に動きがあるのでスムーズに頭に入ってきます。

まず円を32等分します
それをこんなふうに並べると……おお、長方形になった！

　この長方形を円に戻して考えると、「たて＝半径」「よこ＝円周の半分の長さ」になります。あとはそれぞれに数字を当てはめるだけ。円周の長さは「直径×円周率（3.14）」で求めることができるので、その半分の長さだから「半径×3.14」。つまり「半径×半径×3.14」になります。
10：とはずがたり：2017/07/27(木) 17:52:34: 円周率は直径に対する円周の比率だから定義そのものって所か。

疑問のコアはなんで直径と円周が比例関係にあるかってところか？
11：とはずがたり：2017/07/29(土) 07:06:06: 女性でイラン出身のミルザハニ。若くして癌で亡くなったそうな。。ご冥福をお祈りする。

2014.08.24 SUN 19:50
とびきりの想像力が、女性初のフィールズ賞数学者を生んだ：マリアム・ミルザハニ【前編】
https://wired.jp/2014/08/24/maryam-mirzakhani-2/
https://wired.jp/2014/08/25/imagination-of-mirzakhani-2/

数学界最高の栄誉を得た、マリアム・ミルザハニ。2014年フィールズ賞受賞に輝いた37歳のイラン人女性数学者はこれまでどんな人に会い、どんな青春時代を送り、いまどんな理想を描いているのか。

…
1999年に、テヘランのシャリフ工科大学で数学の学士号を取得したあと、ミルザハニはハーバード大学の大学院に進み、マクマレンの講義を受講しはじめる。当初、彼女は彼の話す内容についてあまり理解できなかったと言うが、そのテーマ、双曲線幾何学の美しさに魅了される。彼女はマクマレンの研究室に通い始め、彼を質問攻めにし、夢中でペルシャ語でメモをとった。

「彼女はある意味、斬新な想像力をもっていた」。自身、1998年のフィールズ賞受賞者であるマクマレンは、こう振り返る。「頭のなかで、自分の予測に基づいた想像図を描いていた。そして、研究室にやってきて、その図について説明するんだ。説明が終わると、彼女はわたしに向かって『これで合っていますよね？』と聞く。わたしはいつも、彼女がわたしのことを理解者だと感じてくれていることを誇らしく思ったよ」。

ミルザハニは、双曲面に取り憑かれるようになる。

ドーナツ型のある表面上に開いた、ざっくり言えば鞍のようなかたちをつくっている穴。この双曲線ドーナツは、通常の空間ではつくることはできない。それらはあくまで、抽象的な概念上のもので、ある方程式にもとづいて距離と角度が計算されている場合においてのみ観察できる。その方程式のもとでは、面上に存在する想像上の生き物が「鞍」を形成する。

多数の穴の空いたドーナツには、無限に多くのパータンで双曲線構造が存在しうることがわかっている。大きな穴のあるドーナツから、狭い穴のもの、また両者を組み合わせたものまで。こうした双曲面が1世紀半前に発見されて以来、このテーマは幾何学における中心の研究対象のひとつとなり、数学やさらには物理の分野においても多くの関連分野をもつ。

だが、ミルザハニが大学院に入った時点では、そうした面に関する基本的な問題のいくつかに対して、解がまだ見出されていなかった。そのひとつが、ある双曲面における直線もしくは「測地線」に関するものだった。曲がった空間においても「直線」という概念は存在し、それは単に2つの点を結ぶ最短な線である。双曲面においては、平面上の直線のように無限に長く伸びる測地線もあれば、球面上の大円のように閉じて円になる線もある。

ある双曲面において、閉じた測地線の数はその長さが大きくなるにつれて指数関数的に増えていく。こうした測地線の多くは、始点と終点が結ばれる前に何度も交差する場合が多いが、わずかな割合が“シンプルな”測地線と呼ばれ、線上で交わることがない。そうしたシンプルな測地線は、「その構造と全体の面の幾何学を紐解く上で重要なもの」である。

ひとつの問いを解決するだけでも偉大だ

しかしながら、数学者はある特定の大きさの双曲面において、こうしたシンプルな閉じた測地線がいくつ存在するのかを特定することができなかった。閉じた測地線の円の中でも、シンプルなものは「ほぼ0パーセントの確率でしか起こらない奇跡」であるとファーブは言う。そのため、その数を正確に理解するのはとてつもなく難しかった。「ちょっとでも間違いをすれば、その存在を見逃してしまう」と彼は言う。

2004年に完成した博士論文において、ミルザハニはこの問いに対する解を示した。Lの長さのシンプルな測地線の数が、Lの長さと比例してどれだけ増えるかを導く方程式を考案したのだ。

その過程で、彼女はその他の2つの重要な研究課題の関連性を確立し、両方の問いに対する解を出した。ひとつは、いわゆる「モジュライ」空間と呼ばれる、ある面において存在可能な全ての双曲線構造の体積に関する問いだった。もうひとつは、プリンストン高等研究所の物理学者エドワード・ウィッテンが過去に提示した、弦理論に関連するモジュライ空間を位相幾何学を用いて測定する方法に関する予想を驚くべき方法で証明するものだ。

ウィッテンの予想を証明するのは非常に難しかったため、それを最初に証明した数学者であるパリ近郊のフランス高等科学研究所のマキシム・コンツェビッチは、その業績が理由のひとつとなり、1998年にフィールズ賞を受賞した。

両方の問題を解決することは「ひとつの問いを解決するだけでも大きな出来事であり、両者を結びつけたことはまた重大な出来事だ」とファーブは言う。ミルザハニはなんと、どちらもやってのけたのだ。
12：とはずがたり：2017/07/29(土) 07:06:20: 彼女の論文は、数学界のトップに位置する学術誌である『Annals of Mathematics』『Inventiones Mathematicae』『Journal of the American Mathematical Society』に掲載された。数学者の大半が、生涯一度もこのような偉業を成し遂げることはないとファーブは言う。「彼女はそれを博士論文でやり遂げたんだ」。

偉大な業績

ミルザハニは、自身のことをマイペースだと言う。ある問題に対してすぐに解をひらめく数学者とは違って、彼女は何年にもわたってじっくり取り組めるような深い問題に引き寄せられる。

そうした問題について彼女は、「数カ月、数年後になってはじめて、まったく新しい側面が見えてきます」と言う。実際、10年以上も考えつづけている問題もある。「いまでも、そうした問題についてできることは、あまりありません」。

ミルザハニは、問題を次から次へと片付けていく数学者の存在を前に怖じ気づくことはない。「簡単には失望しないタイプなんです」彼女は言う。「ある意味、かなり自信があるのかもしれませんね」。

彼女のマイペースな姿勢は、生活のほかの場面においても見られるものだ。彼女がハーバードで大学院生だったころ、当時マサチューセッツ工科大学の大学院生でその後彼女の夫となる男性は、ミルザハニと2人でランニングに出かけたときに彼女のこうした性格を知ることになる。

「彼女はとても小柄で、一方でぼくは体をよく鍛えていたから、ぼくの方がいい走りができるだろうと思っていた。実際、最初はぼくが先を走っていたよ」。現在は、カリフォルニア州のサンノゼにあるIBMアルマデン研究所で理論コンピュータサイエンティストとして勤めるヤン・ヴォンドラークは、そう振り返る。

「でも、彼女は決してペースを落とさないんだ。30分後、ぼくはもうランニングを止めたけど、彼女は最初と同じペースで走り続けていた」

ミルザハニは数学について考えるとき、よく図を描いていく。面の図や、研究テーマに関するものの絵を描いていく。

「彼女は床にでっかい紙を広げて、何時間もひたすら、ぼくにとってはまったく同じものにしか見えない図を描き続けるんだ」。ヴォンドラークは言い、そうした紙や本が自宅のオフィスにばらばらに散らかっていることも付け加える。「どうやったらこんな風に研究ができるのかまったく分からないけど、最終的にはうまくいくみたいだ」。

彼女がこうした方法をとるのは「取り組んでいる問題があまりに抽象的で複雑なため、一つずつ論理的なステップを踏んでいくことができず、大きな思考の飛躍が必要になるからだろう」と彼は推測する。

図を描くことで集中できると、ミルザハニは言う。難しい数学の問題を考えるときには「その詳細のすべてを書き留めたいとは思わないものです」と、彼女は言う。「ですが、図を描くことで、問題に対する意識を保つことができるようになるのです」。

3歳の娘アナヒタはしょっちゅう「マミーがまたお絵かきしてる」と、彼女が数学の図を描いているときに叫ぶそうだ。「娘はわたしのことを絵描きだと思っているかもしれませんね」

ミルザハニの研究は、数学の多くの分野に関係する。その分野には微分幾何学、複素解析、力学系も含まれる。「わたしは、各分野の境界に人が引いた想像上の線を横断するのが好きなんです。それはとても爽快なことです」と彼女は言う。「多くの手法が存在しますし、どの手法を使えばうまくいくかも分かりません。楽観的であること、異なる物事を結びつけることが重要です」。

ときに、ミルザハニが物事を結びつける方法は衝撃的だとマクマレンは言う。例えば2006年、彼女は、ストライクスリップ型の地震に似た仕組みによって双曲線の面構造が歪むときに起こることを解明しようと取り組んだ。ミルザハニがこの研究に手をつける前は「誰も取り組むことのなかった問題だった」とマクマレンは言う。だが、彼によればたった1行の証明で「彼女は、この完全に謎に満ちた理論と非常に明瞭な別の理論の関連性を構築した」のだという。

2006年、ミルザハニはエスキンとの実り多い共同研究をスタートする。エスキンにとって、彼女はお気に入りの共同研究者の1人だ。「彼女はとても楽観的で、その姿勢は周囲に伝染するんだ」彼は言う。「彼女と一緒に仕事をすると、最初はまったく手がかりすら見えなかった問題でもきっと解決できるんじゃないかと思うようになるんだよ」。

数個のプロジェクトにともに取り組んだあと、ミルザハニとエスキンは、彼らの専門領域において最大の未解決問題のひとつに取り組むことを決意した。それは、多角形のような形をしたビリヤード台上で、合理的な範囲の角度で球を打つことを前提に、球の動きがつくる範囲に関する問題だ。
13：とはずがたり：2017/07/29(土) 07:06:36: >>11-13
ビリヤードは、もっともシンプルな力学システムの例を提示する。ある決まったルールにおいて、時間を経るうちに進化するシステムだ。だが、球の動きはとてつもなく予測が難しいことが証明されていた。

「合理的ビリヤードというのは、1世紀前にスタートした」と説明するのは、スタンフォード大学で博士後研究員であるアレックス・ライトだ。「何人かの物理学者が集まって“三角形の中で転がる球の動きを理解しよう” と提案されたとき、おそらく彼らは、その問いは1週間で解決できると思ってただろう。でも100年経ったいまも、その問いに対する追究は続いている」。

ビリヤード球の動きがつくる長い軌道の研究において、有用なアプローチというのは、球が進む方向に向かって押しつぶすように、徐々に変形していくビリヤード台を想像することだ。

一定の時間内における球の動きのほとんどが見えるように。すると、元々のビリヤード台から、新しいビリヤード台がつなげられていき、数学者が用いる「モジュライ」空間において台が動いていくことになる。一定数の側面をもつビリヤード台がつながった空間だ。

各ビリヤード台を「Translation surface」と呼ばれる抽象的な面に変形させることで、すべての「Translation surface」から構成されるより大きなモジュライ空間を理解でき、数学者はビリヤードの力学を分析することが可能になる。過去の研究によって、モジュライ空間上を押しつぶすようにしながら描かれる、特定の「Translation surface」の軌道について理解することで、元々のビリアード台に関する多くの問いの解が導けることが判明している。

ぱっと見ると、この軌道はとてつもなく複雑に見えるかもしれない。だが、2003年、マクマレンは「Translation surface」が2つの穴の空いたドーナツ型（通称「ジーニアス・トゥー」）である場合には、その軌道は複雑ではないということを証明した。各軌道は、空間全体かもしくは部分多様体と呼ばれる空間の部分集合を内を満たすのだ。

マクマレンの研究結果は、同研究において大きな進展であると認められた。だが、彼の論文が発表される前に、当時はまだ大学院生だったミルザハニが研究室を訪れ「なぜジーニアス・トゥーだけを対象にしたのですか？」と尋ねたという。

「まさに、彼女らしい指摘だったよ」彼は言う。「なにかさらに深いものが隠れていると感じるものを、彼女はより明確に理解したいと考えるんだ」。

数年の研究を経て、2012年と2013年に、ミルザハニとエスキン、そして部分的に研究に加わったテキサス州立大学オースティン校のアミル・モハンマディは、マクマレンの研究結果は、2つ以上の穴をもつドーナツ型表面のすべてに当てはまることを証明する。

彼らの分析は「偉大な業績」であり、その結果の示唆するものはビリヤード台の理論のはるか先まで及ぶものだと、ゾリチは言う。モジュライ空間は「過去30年間、熱心な研究が進められてきた」と彼は言う。「だが、その構造については、まだ分からないことばかりなんだ」。

ミルザハニとエスキンの研究成果は「新しい時代の幕開けだ」と、彼らの172ページに及ぶ論文を数カ月かけて読み込んだライトは言う。「まるで、これまでおのを片手に森に入って木を切っていたのが、今やチェーンソーが開発されたようなものだ」と彼は言う。その研究成果は、すでにいくつかの分野に応用されている。たとえば、複雑な鏡張りの部屋における警備員の視線を解明するといった問題において。

2人の書いた論文を読むとき「積み重なる難問の一つひとつをめくると、その下に隠れていたアイデアが見えてくる」と、ライトはメールで説明してくれた。「そして、その問いの中心に到達したとき、2人が築いた手法に感嘆したよ」

ミルザハニの楽観主義と粘り強さのおかげで前に進んでいくことができたとエスキンは言う。「行き詰まったことも何度かあったけど、彼女は決してうろたえなかった」。

ミルザハニでさえも、いま振り返ると、2人がその問題に頑に取り組みつづけたことに驚いている。「こんなにも問題が複雑であると事前に分かっていたら、あきらめていたことでしょう」彼女は言う。間を置いて、彼女は再び口を開く。「いえ、やっぱりそんなことはないかもしれません。わたしは簡単に諦めませんから」。
15：とはずがたり：2017/12/23(土) 07:26:12: 複雑ネットワークの理論(2)　スケールフリー・ネットワークの提唱
http://syodokukai.exblog.jp/20771928/
Emergence of scaling in random networks.

Barabasi AL, Albert R.

Science. 1999 Oct 15;286(5439):509-12.

【背景】
複雑ネットワークを考えるときに、1998年に提唱されたスモールワールド・ネットワーク (ワッツ・ストロガッツモデル)は画期的なものだった。しかし、現実のネットワークにはハブ(枝の数が非常に大きい頂点)が存在し、これはスモールワールド・ネットワークでは説明できない。このことに直面したノートルダム大学のアルバート・ラズロ・バラバシは、それまでのネットワークモデルにおけるランダムな世界観を捨てて、新しいモデルの構築を目指した。
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Albert-Laszlo Barabasi (1967-)　以下の背景の多くは、バラバシの著書『新ネットワーク思考―世界のしくみを読み解く』(青木薫訳、NHK出版)によっている。

① 「ハブ」の存在
現実社会の友人ネットワークについて考えてみると、大多数の人は友人の数は数名だが、「友人の数がずば抜けて多い」人物が何人かはいる。これはウェブでも同様で、全ドキュメント(1999年で10億以上と言われる)の90％以上はリンクされる数は10以下であるが、ごく少数のページは100万近くリンクされている。後者はネットワーク上では「ずば抜けて枝の多い頂点」であり、ハブと呼ばれる。このハブは現実に存在するにもかかわらず、エルデシュのランダムネットワークでやワッツ・ストロガッツのスモールワールド・ネットワークでは生じない。では、ハブが生じるネットワークとはどのようなものなのか？

②　ベキ法則
1900年代、イタリアの経済学者ヴィルフレード・パレートは、「収入分布は“ベキ法則”にしたがう」ことを発見。これは「世の中にはごく一握りのきわめて収入の多い人たちがおり、人口の大多数はわずかな収入しかない」ということを表す法則であり、後にパレートの法則とか「80対20の法則」などと呼ばれた(世の中のお金の80％は人口の20％の人という一握りの人たちが持っており、お金の20％はその他大勢の80％が持っている、ということ)。

これをネットワークでは、頂点の枝の数の度数分布として考える。枝の数がkである頂点の数をN(k)とし、全頂点についてkを横軸、Nの頻度を縦軸にプロットする。その結果は下記の式のようになる。

N(k)=1/k^r

これは、一般的には

f(x)=a x^k

で表される「ベキ法則 (power law)」に従うプロットとなる。(aは定数、kはスケーリング指数と呼ばれる定数で、ここではマイナスの値になる。「ベキ法則」は、べき乗則、ベキ則などとも訳される。ベキ(冪)乗は今では累乗と同じことだが、もともとは累乗と混同されて用いられ始めた用語らしい。「冪」の字は当用数字に含まれないため「ベキ」のように書かれる。)…

③ スケールフリー・ネットワーク
ベキ法則は、正規分布(釣鐘型の分布)とは違って、①どこにもピークがなく、なめらかに減少する、②分布のすそ野は正規分布よりも広い、③ごく少数のきわめて大きい事象と無数の小さい事象が共存する状態を表すなどの特徴を持つ。バラバシは、枝の数と頂点の数がベキ法則に分布をスケールフリー・ネットワークと呼んだ。
16：とはずがたり：2017/12/23(土) 07:26:39: >>15-16

スケールフリー・ネットワークはグラフで見ると分かるように、「平均的な数」の枝をもつ頂点というものは存在しない。枝の数には、なめらかに減少するヒエラルキーがあるのみである(これは「ロングテール」とも呼ばれる)。この分布は、ある枝の数を持つ頂点数に平均や分散などの尺度(スケール)が存在しないので「スケール」「フリー」と名付けられた。

下の図は、『新ネットワーク思考―世界のしくみを読み解く』(アルバート・ラズロ・バラバシ、青木薫訳)より改変引用させていただいた。左は従来考えられていたランダムネットワークで、k本の枝を持つ頂点の数N(k)は確率的に分布するため、正規分布に従っている。ここでは、ずば抜けて多くの枝を持つ頂点が存在する確率はきわめて低い(存在しない)。右はスケールフリー・ネットワークで、k本の枝を持つ頂点の数はベキ法則に従う。大多数の頂点はごく少ない数の枝しか持たないが、一部のごく少数の頂点は莫大な多さの頂点を持つことを表している。それぞれの下に例として、都市をつなぐ高速道路網(ランダムネットワーク)と、空港をつなぐ航空経路網(スケールフリー・ネットワーク)が示されている、左では高速道路がものすごく多数集中する都市などというものは存在しないが、右では航空便が非常に多く集まる空港(ハブ空港)がいくつか存在している。このようにスケールフリー・ネットワークはランダムネットワークとは全く異なるネットワークである。

http://syodokukai.exblog.jp/iv/detail/?s=20771928&i=201406%2F03%2F74%2Fd0194774_2161124.jpg

（そもそも、確率に支配されるようなランダム・無秩序な事象は正規分布に従うとされる。一方、そこから秩序が生まれると(秩序の創発、相転移とも呼ばれる)、ベキ法則に従うようになると言われる。したがって、現実のネットワークは、全く無秩序な状態ではなく、秩序が創発した、ちょうど相転移を起こしたような状態でありベキ法則に従うことが多いとされる。なぜ、相転移でベキ法則が出現するかは、1971年にケネス・ウィルソンによる「繰り込み群」理論で証明されている。）

④ 「ネットワークの成長」と「ハブの優先的選択」
ランダムモデルは、(a)頂点は最初からすべて存在し、頂点数は一定という仮説の上に成り立っていた。(b)すべての頂点は対等という仮定もあり、互いに区別できないからこそランダムにリンクできたといえる。しかし、現実に存在するネットワークでは(a)(b)のような仮定は成り立たない。

現実のネットワークは、(1)頂点は1つ1つ増えていく(ネットワークは成長する)。(2)すでに多くのリンクを獲得している頂点(ハブ)は、新しくできた頂点から高い確率でリンクされる(ハブは優先的に選択される)、という2つの特徴を示す。バラバシは、この(1)と(2)の特徴を両方組み込むと、ネットワークはスケールフリーになることを以下の論文で示している。

ここに来て、古典的なモデル(ランダムグラフやスモールワールド・ネットワーク)は「静的」(?成長する)で、「ランダム性の仮定の上に成立」(?優先的選択)していたことに初めて気づいたわけである。
17：とはずがたり：2017/12/23(土) 08:25:15: 数学の超難問・ＡＢＣ予想を「証明」　望月京大教授
https://www.asahi.com/articles/ASKDD5Q6MKDDPLBJ007.html
石倉徹也2017年12月16日03時01分

　長年にわたって世界中の研究者を悩ませてきた数学の超難問「ＡＢＣ予想」を証明したとする論文が、国際的な数学の専門誌に掲載される見通しになった。執筆者は、京都大数理解析研究所の望月新一教授（４８）。今世紀の数学史上、最大級の業績とされ、論文が掲載されることで、その内容の正しさが正式に認められることになる。

　望月さんは２０１２年８月、論文を自身のホームページ上で公開。数理研が発行する数学誌「ＰＲＩＭＳ」が、外部の複数の数学者に依頼し、間違いがないか確かめる「査読」を続けてきた。同誌は研究者の間で一流の国際数学誌と評価されており、早ければ来年１月にも掲載が決まる。

　数学の難問の証明としては、「フェルマーの最終定理」（１９９５年解決）や「ポアンカレ予想」（２００６年解決）などと並ぶ快挙。数学のノーベル賞といわれる「フィールズ賞」が与えられた過去の業績に匹敵するという。

　ＡＢＣ予想は、整数の性質を研究する「整数論」の難問で、８５年に提示された。整数ａと整数ｂの和がｃのときに成立する特別な関係を示す。

　望月さんは、１９歳で名門・米…
18：とはずがたり：2017/12/23(土) 08:25:50: スター続々、なぜ？　京大数理研で語り継がれる言葉とは
https://www.asahi.com/articles/ASK3T52FZK3TPLBJ004.html?iref=pc_extlink
石倉徹也2017年4月10日10時04分

　国内で唯一の数学全般を専門にした研究所である京都大学の数理解析研究所（ＲＩＭＳ〈リムス〉、京都市）。数学のノーベル賞と言われるフィールズ賞受賞者ら、世界でもトップレベルの頭脳が集う。その魅力は「数学に没頭できる環境」にある。

　実績は抜きんでている。日本人でフィールズ賞を受けた３人のうち２人は、いずれも数理研に在籍、所長も務めた広中平祐・京大名誉教授（８６）と国際数学連合の森重文総裁（６６）。森さんは「個性がある人が多く、最先端の数学に出あえる」。１９６３年の設立当初から研究者は４０人程度、入れる大学院生は毎年数人の狭き門だ。

　大学の学部と違い、学生への授業が義務づけられていない。前所長の向井茂教授（６３）は「若手には雑用をさせず、自由に研究させている」。数学は若い時に成果をあげることが多いためだ。いつでも式を書けるよう、休憩スペースに巨大ホワイトボードもある。

　恵まれた環境は米プリンストン高等研究所などと並び称される。今も在籍する森さんは数理研を「静謐（せいひつ）な空間」と表現する。「数学は思考の繰り返し。静かな時間がすべて」。５年間在籍した小林俊行・東京大教授（５４）は「過去にいた偉大な数学者の気を感じ、相撲でいう『力水』を受けているようだった」と振り返る。

　もう一つの特長は共同研究。年８０回以上開かれ、分野ごとに国内外から延べ４千人の研究者が集まる世界でも珍しい取り組みだ。論文になる前のひらめきやアイデアを数日間話し合い、「データの解釈は？」と質疑も白熱する。「自分の知識は小さい。他人との議論で考えが発展する」。幾何学上の新しい空間「箙（えびら）多様体」の発見で昨年度の朝日賞を受けた中島啓（ひらく）教授（５４）はいう。

「本質見抜く力」脈々と
　数理研に在籍したスターの一人が佐藤幹夫・京大名誉教授（８８）。微分・積分などの解析を代数の手法で考える「代数解析学」などの理論を切り開き、ノーベル賞と並ぶとされるウルフ賞を２００３年に受けた。三輪哲二・京大国際高等教育院特定教授（６８）は東大４年の時に佐藤さんの講義を聴いて数理研へ。「見たことない数学が出てきて、わからないのに興奮した」

　育った弟子らは「佐藤スクール…
19：とはずがたり：2017/12/23(土) 08:26:16: ＡＢＣ予想とは？　整数論の未解決問題
https://www.asahi.com/articles/ASKDG73TVKDGPLBJ003.html?iref=pc_extlink
2017年12月16日03時02分

　〈ＡＢＣ予想〉１９８５年に、Ｄ・マッサーとＪ・オステルレにより提示された整数論の未解決問題。整数ａと整数ｂの和である「ｃ」と、三つの数ａ、ｂ、ｃそれぞれの素因数の積との間に生じる特別な関係を示している。積と和の関係は未解明の部分も多く、さらに不等式で示されていることが、解決を一層難しくさせてきた。整数論の様々な問題の根幹に関わる重要な予想と位置づけられている。
20：とはずがたり：2017/12/28(木) 22:30:09: これはすげえｗ

たった1つの数式で「ポン・デ・リング」を表示することに成功
https://twinavi.jp/topics/tidbits/5a43c68e-d018-4a7b-b55e-273c5546ec81
ツイッター　2017年12月27日 21時51分　[人気度]1,205
[タグ]画像

CHARTMAN?
@CHARTMANq
フォローする @CHARTMANqをフォローします
その他
3時間に及ぶ試行錯誤の末，たった1つの数式で3Dの「ポン・デ・リング」を表示することに成功．(2Dのもあるよ)

https://twitter.com/CHARTMANq/status/946000672746487808/photo/1
4:51 - 2017年12月27日

CHARTMAN
@CHARTMANq
22 時間22 時間前
その他
「おっぱい関数の人か」という意見が出ておりますが，その通り，名古屋大学代表のあの人です．

「"お城"スコープの人か」という意見も出ておりますが，その通り，レポートにお城を召喚したあの人です．

またくだらないことをしでかしましたが，あたたかく見守ってやってください(^_^;)

おっぱい函数！？
こんなのひっかかったｗこれもすげえっｗ

東大参戦！大学対抗おっぱい関数選手権ついにトップ10大学発表！
https://www.youtube.com/watch?v=sqcHd4tI99Y
21：とはずがたり：2018/05/30(水) 10:22:24: DSGE モデルとMATLAB
寺井晃
https://ksu.repo.nii.ac.jp/?action=repository_action_common_download&item_id=2351&item_no=1&attribute_id=22&file_no=1

そこで本論文は、MATLAB を用いたDSGE モデルの解法を、最も単純な
Ramsey-Cass-Koopmans モデルを例として論じていく。紙と鉛筆で解くことができるモデ
ルを、MATLAB のコードと対応させることにより、PC ソフトを用いてDSGE モデルを解
く際の見通しを良くする。このことが、本論文の目的の一つである。

…以上が、Ramsey-Cass-Koopmans モデルの設定である。資本蓄積、技術、資源の各制約を前提に、消費者は効用が最大になる消費を選ぶのである。主体（消費者）が最適な値を選ぶという意味で、c_tはcontrol variable とも呼ばれる2。また、各期において、主体が所与とする変数をstate variable と呼ぶ。このモデルの場合は、k_t、A_tがstate variable である。
State variable は、主体が環境を変えられる変数と変えられない変数に分けられる。前者をendogenous state variable という場合もあり、このモデルでは資本蓄積を通して変更されるk_tである。後者はexogenous state variable という場合もあり、このモデルの場合はA_tである。

…解をclosed form で得ることは難しい。
従って、そのようなモデルを扱う場合、定常状態周りで解がどのような振る舞いなのか、対数線形近似して求めるという手法が用いられる。1 次の近似を行えば、変数同士の関係を線形で表すことができるので、行列による差分方程式の表現が可能となる。そして、この行列による表現を操作すれば、policy function を求めることができるのである。

一般に、k_tは過去からの蓄積があるため、backward に解かれる。λ_tは横断面条件を満たすために、forward に解かれる。これらを上手く識別し、それぞれの変数についての比較的簡単な解法を与えたのがBlanchard and Kahn (1980)である。

この式のＷ(ヤコビアンに相当？)を固有値分解し、固有値の絶対値が1 より大きいか小さいかにより、(k_t，λ_t)に含まれる変数をforward に解くかbackward に解くか区別する。一般に、絶対値が1 より小さい固有値の数と、過去からの蓄積によって求まる変数（predetermined variable という）の数が等しくないと、解の経路が発散したり複数均衡となる。通常のモデルを想定している場合、predetermined variable の数と絶対値が1 より小さい固有値の数は一致することが要請される。
22：とはずがたり：2018/05/30(水) 10:23:33: https://led.kenjisato.jp/intro.html

1.2.2 制御理論との違い
経済学と制御理論の扱う対象にはわずかながら違いがある。制御理論では，制御変数を導入しなくても勝手に動作している対象を扱う一方で，経済理論では制御変数（例えば消費）は分析対象のモデルを構成する要素の一部である。したがって，経済モデルは A が正則であったとしても forward-looking（非因果的）な現象を表すように作られている。

力学系理論や制御理論で式(1.3)のようなシステムを扱うときには，通常 x と同じ数だけの初期条件 (initial codition) を与える。そのようなケースでは初期条件から出発してシステムの解を逐次的に求めることができるから，解を求める上で特段の難しさはない。一方，経済学における forward-looking の表現は，システム方程式(1.3)とは独立している。すなわち，変数（ベクトル） x の一部の要素に初期条件が与えられて，残りの要素には初期条件が与えられないという形で forward-looking を扱う。初期条件を持つ成分を先決成分 (predetermined component) とか先決変数 (predetermined variable)と呼ぶ。初期条件を持たない成分を非先決成分 (non-predetermined component) とか非先決変数 (non-predetermined variable) と呼ぶ3。

例えば, 株式保有量を a ，株価を p ，株価に対する外的な影響を u として，ベクトル (a,p) が次の動学方程式を満たすというモデルを作ったとしよう。

[at+1pt+1]=B[atpt]+[0ut]

このとき a0 は初期値として与えられているが， p0 は a0 および u に対する予想に基いて決まるというのが典型的なマクロ経済学の問題である.

1.2.3 安定性と決定性
さて，一部の変数に初期条件が与えられていない問題をどのように解けばよいだろうか。もちろん， a1,a2,… や p0,p1,… に対して何の制約も置かなければこのような問題を解くことはできない。

Blanchard and Kahn (1980) が提案した条件は次のようなものである。経済主体は幾何級数よりも早いスピードで発散するような予想に基いて行動することはない。すなわち，幾何級数より早く発散するような初期値を除いた結果，初期値を1点に定めることができれば，その点は一意の均衡である。しかし，動学方程式を満たしつつ，安定性（非幾何的発散）を満足するような経路は一般には無数に存在する。一意的であるようなケースを決定的 (deterinate) と呼び，決定的でないケースを不決定的 (indeterminate) と呼ぶ。
23：とはずがたり：2018/05/30(水) 10:36:46: 微分方程式の求解
https://jp.mathworks.com/help/symbolic/solve-a-single-differential-equation.html
24：とはずがたり：2018/05/30(水) 10:52:23: Rをつかってる

講義ノート―動学マクロ経済学入門 - Warehouse
http://www.rhasumi.net/wiki/wiki.cgi?page=%B9%D6%B5%C1%A5%CE%A1%BC%A5%C8%A1%BD%C6%B0%B3%D8%A5%DE%A5%AF%A5%ED%B7%D0%BA%D1%B3%D8%C6%FE%CC%E7
2017/09/04
25：とはずがたり：2018/06/05(火) 13:29:07: 上級マクロ経済学
Summer 2010 講義ノート(RBC)
by Naohito Abe
http://www.ier.hit-u.ac.jp/~nabe/2010lec/rbc2010.pdf

、ごく最近の展開としては、経済主体間の情報の非対称性を強調する
Angeletos and La’o [2009] “Noisy Business Cycles,” NBER Working Paper
14982.
は、リーマンショック以降の、今後のマクロ動学分析の方向性を示しているも
のとして注目されている。ルーカスの誤認識モデルやケインズの美人投票のよう
に、マクロ経済学が 40 年周期で期待形成、とくに市場全体の期待形成に関心が
戻るのは興味深い。

MATLABによる
動的システムシミュレーション入門
2001年度前期（制御機器）
島根大学総合理工学部
電子制御システム工学科
吉田和信
http://www.ecs.shimane-u.ac.jp/~kyoshida/matlab%282001%29.pdf
26：とはずがたり：2018/06/12(火) 19:49:27: Wintpicで作図。
浮動小数点エラー(想像で意訳)が出て保存出来なくなる。(前も出た)
ソフトをシャットダウンしようとして保存を選ぶと保存は出来た。

で，今度はTeXでコンパイルしようとすると浮動小数点エラー(想像で意訳)が出る。

TeXではエラー箇所が出るので秀丸でptexファイル(Wintpic用のファイルをこういう名前にしている)を開いて問題ありそうな箇所を検索してみる。

どっかの曲線とかでエラーが出てるのかと思いきや一番初めの

\begin{picture}(35.0500,35.7000)(5.9500,-38.1000)

の部分のようであった。

ちゃんと動いた(エラー出る前の当該箇所の)バージョンのに書き換えると何事も無かった様に動いた。

勝手にこの部分を書き換えて勝手にエラー出してやがるのか？？
27：とはずがたり：2018/06/12(火) 19:52:04: また起きた。

エラーメッセージは浮動小数点オーバーフロー(概ね)だった。

当該箇所は
\begin{picture}(13127708.0000,38.1200)(-13127667.0000,-38.1000)%
となってる
28：とはずがたり：2018/06/12(火) 19:58:37: 整形する度に出る。。

\begin{picture}(1488412.8000,38.1200)(-1488371.8000,-38.1000)%
29：とはずがたり：2018/06/12(火) 21:46:52: 元ファイルを整形した後。一寸ずつ毎回変わるのか？？

\begin{picture}(35.0500,36.2000)(5.9500,-38.2500)%%
30：とはずがたり：2018/06/12(火) 21:50:34: 正確には”浮動小数点数のオーバーフロー”だった
31：とはずがたり：2018/06/15(金) 14:28:59: 時間遅れをもつ微分方程式の経済学への援用について
井本　伸
http://harp.lib.hiroshima-u.ac.jp/onomichi-u/file/12408/20160516192621/%E8%AB%96%E9%9B%86vol15_no2_02_%E4%BA%95%E6%9C%AC%E8%AB%96%E6%96%87.pdf

時間遅れをもつ常微分方程式の基礎理論入門
Introduction to the theory of delay differential equations
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1713-08.pdf
静岡大学宮崎倫子(Rinko Miyazaki)
Shizuoka University
32：とはずがたり：2018/06/24(日) 02:14:04: 包絡分析法（ＤＥＡ）について
http://energia.co.jp/eneso/keizai/research/pdf/MR1209-2.pdf

米国で公立学校の教育プログラムを評価するため
に開発された包絡分析法（DEA：Data Envelopment
Analysis）は，効率性を分析する方法の 1 つであり，
民間企業だけでなく，効率性を評価することが難し
い非営利公企業（学校，図書館，公立病院等）など
幅広い分野で利用されている。
一般的に，効率性を評価する方法として，収益率
や資本利益率などの比率をとる方法や，費用便益分
析などすべての効果を金額で表して算出する方法が
考えられる。収益率や資本利益率はそれぞれの項目
で評価対象を比較する場合は分かりやすいが，複数
の項目をまとめて総合的に判断する場合はそれぞれ
の項目をどのように扱うかが難しくなる。費用便益
分析はすべての項目を貨幣という同一の尺度で計測
しているため，複数項目の相対比較が容易であるが，
効果を金額に換算する方法が問題となる。DEA は
複数の項目を一度に扱うことができ，単位が異なっ
ても取り扱うことができるため，これらの問題に対
応することができる。
また，回帰分析のような平均を基に相対的に判断
する手法と異なり，DEA はそれぞれの対象ごとに
最も有利になるように評価したうえで，相対比較を
行うため，模範的な対象だけでなく，個性的な対象
も評価される特徴がある。さらに，DEA は定量的
に項目を扱うため，相対的な順位だけではなく，具
体的な改善値も把握することができる。このような
DEA の特徴を大きく 3 つに分けると次のようにな
る。
…
33：とはずがたり：2018/07/31(火) 20:56:53: 数学を駆使して材料科学のフロンティアに挑む――「数学は文脈を読み解く学問なのです」
https://mugendai-web.jp/archives/8532

材料科学と数学を融合させ、物質・材料科学の新領域を切り拓く――そんな世界初の試みに挑戦するのが、東北大学材料科学高等研究所（AIMR＊）だ。所長を務めるのは国際的な数学者である小谷元子教授。「数学で何ができるの？」という周囲の見方をよそに、優れた研究成果を次々と発表している。
小谷教授の懸念は、数学の有用性や楽しさが日本では十分に認識されていないこと。数学ができる学生が優遇される世界の大勢から取り残されている。「数学は、科学の専門分野を超える共通の言葉。その面白さや楽しさを、ぜひ子どもたちに伝えたい」と小谷教授は言う。
しかし、現実には受験勉強が優先され、子どもたちは数学が持つ本来の面白さを実感する機会が乏しい。とりわけ数学を避けるため理系に進む女性の数が少ない。小谷教授は「研究時間を自分でコントロールできる数学は、自宅で研究できて育児と両立できるので、女性が職業とするにはベストな選択」と力説する。
いろいろな学問分野の土台になる数学の重要性は増している。AIMRで異分野融合を大胆に進める小谷教授に、数学の面白さや広がる役割について伺った。

＊AIMRは、文科省の指定する「世界トップレベル研究拠点プログラム（WPI）」の1つ。
34：とはずがたり：2018/08/01(水) 20:46:06: モンティ・ホール問題

【衝撃】地球上で最もIQの高い人TOP５。IQ228の人が解いた問題も掲載！
https://youtube.com/watch?v=5otLpPrR-r4
35：とはずがたり：2018/09/25(火) 15:46:06: ついにリーマン予想が証明された！？
2018年09月25日 00時30分00秒 | 物理学、数学
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/7213521ebacdecfa839616ce756ec8ab

ひとつ前の記事を書いている最中に、とてつもないニュースが飛び込んできた。あの「リーマン予想」が証明されたというのだ。ドキドキして気もそぞろである。これは今から160年前（日本は幕末）にドイツの数学者「ベルンハルト・リーマン」により提唱された予想で、「ミレニアム懸賞問題」という難問のうちのひとつである。リーマン予想は素数の謎を解明するために必要になる重要なステップと考えられている。そして素数は「ゼータ関数」と深いつながりをもち、宇宙や自然の有り様を決定づける秘密とも結びついているという。

リーマン予想のことは「素数に憑かれた人たち～リーマン予想への挑戦～：ジョン・ダービーシャー」という本の紹介記事に書いておいたので、よくわかっていない方は、まずこの記事をお読みいただきたい。ＮＨＫで放送された番組の画面をお借りすれば、このようなものだ。

この予想を証明したというのが「マイケル・アティヤ」という89歳のイギリスの老数学者である。現代最高の数学者の一人とみなされているし、「アティヤ＝シンガーの指数定理」や「ゲージ理論」という素粒子物理の根幹をなす研究をし、大きな業績を残しているから、数学だけでなく物理学の世界でも第一人者なのだ。この大先生が証明したというのだから、大騒ぎになっているわけである。僕も以前、「数学とは何か―アティヤ科学・数学論集」という記事でアティヤ先生の著書を紹介している。

さらに騒ぎに拍車がかかっているのは、次の２つのことが明らかになったからだ。（アティヤ先生による講演も生中継されていた。）

１）証明の論文はたった５ページであること。
２)　証明は微細構造定数を導出するという物理学上の研究から、副次的に得られたこと。

証明の論文はたった５ページであること

論文はここに公開されている。

THE RIEMANN HYPOTHESIS (MICHAEL ATIYAH)：リーマン予想
https://www.dropbox.com/s/pydoj0a8hguebc6/2018-The_Riemann_Hypothesis.pdf?dl=0

もちろんこの中でアティヤ先生はリーマン予想の証明をされているが、注目すべきはこの論文の最後のほうに書かれている次のことだ。

There are also logical issues that will emerge. To be explicit, the proof of RH in this paper is by contradiction and this is not accepted as valid in ZF, it does require choice. I fully expect that the most general version of the Riemann Hypothesis will be an undecidable problem in the Godel sense.

日本語訳：いくつかの論理的な問題も現れた。はっきり言えば、この論文におけるリーマン予想の証明は背理法によるものだが、矛盾を導くためには「ツェルメロ＝フレンケル(ZF)の公理系」では不十分で「選択公理」を必要とする。そして最も一般的なバージョンのリーマン予想はゲーデルの意味において「非決定的」であることを強く期待している。

補足説明：選択公理は、それ自身もまたその否定もほかの公理からは証明できないものであること、すなわち独立であることが示されたが、これは「公理的集合論」における大きな成果であろう。なお、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）に「一般連続体仮説」を加えると選択公理を証明できる。従って、一般連続体仮説と選択公理は何れもZFとは独立だが、前者の方がより強い主張であると言える。ZFに選択公理を加えた公理系をZFCと呼ぶ。

証明は微細構造定数を導出するという物理学上の研究から、副次的に得られたこと

その論文は17ページあり、ここに公開されている。

THE FINE STRUCTURE CONSTANT (MICHAEL ATIYAH)：微細構造定数
https://drive.google.com/file/d/1WPsVhtBQmdgQl25_evlGQ1mmTQE0Ww4a/view

この論文では素粒子物理を基礎づける「微細構造定数」をトッド関数を使って数学的に導き出している。

トッド関数は関・ベルヌーイ数の母関数としてあらわれるだけでなく、黒体輻射に関するプランクの公式やリーマン・ロッホ問題の位相幾何公式にもその姿を現す。そしてトッド関数を通常のコホモロジー理論と K 理論とにおけるオイラー類の比と理解し直すことで、アティヤ=シンガー指数定理の公式にも結びついていく。（参考資料：「調和級数から指数定理へ - 日本数学会」）

(以下略)
36：とはずがたり：2018/09/25(火) 19:08:29: https://twitter.com/Auf_Jugendtraum/status/1044528632385826817
数学の歩みbot
@Auf_Jugendtraum
フォローする @Auf_Jugendtraumをフォローします
その他
高木貞治が東大数学科の学生であったとき，藤沢利喜太郎教授の試験の際，物理学科の本多光太郎が「俺はノートを4へん読んだから，どこから出てもいい」と言うと，高木は皮肉な微笑を浮かべて「数学って，暗記する学問ですかね」と言った．（このときの高木の点数は，100点満点で140点であった．）

19:06 - 2018年9月24日
37：とはずがたり：2018/10/28(日) 09:43:38: 2018年10月25日 11時50分サイエンス
「涼宮ハルヒの憂鬱」のおかげで25年解けなかった数学の難問が解決されるかもしれない
https://gigazine.net/news/20181025-suzumiya-haruhi-superpermutation/
by engelene

海外の掲示板「4chan」での議論が、数学者を25年以上悩ませてきた「The Minimal Superpermutation Problem(最小超置換問題)」という難問を解決するかもしれないと、世界中の数学者から大きな関心を集めています。解決の糸口となったのは、テレビアニメ「涼宮ハルヒの憂鬱」のエピソードの視聴順についてでした。

/sci/ - The Haruhi problem (lower bound) - Science ＆ Math - 4chan
http://boards.4chan.org/sci/thread/10089701/the-haruhi-problem-lower-bound

An anonymous 4chan post could help solve a 25-year-old math mystery - The Verge
https://www.theverge.com/2018/10/24/18019464/4chan-anon-anime-haruhi-math-mystery

2006年に放送されたテレビアニメ「涼宮ハルヒの憂鬱」の第1期は全14話から構成されています。2006年のテレビ放送時では、物語の時系列と異なる順序でエピソードが放映され、話題となりました。

4chanのアニメファンコミュニティの間では「涼宮ハルヒの憂鬱」をどのエピソード順に見るのがよいかという話題がしばしば取り扱われていました。その中で「可能な限りの順序で全てのエピソードを見たい場合、最も少ない組み合わせは何通りになるか」という問題が提起され、このテーマはやがて「Haruhi Problem(ハルヒ問題)」という問題に昇華し、数学コミュニティで議論されるようになりました。このハルヒ問題は、数学の世界では「最小超置換問題」と呼ばれる難問にあたります。

「最小超置換」とは、全ての組み合わせを内包した文字列のこと。例えば、A・Bという2要素の組合せは「AB」と「BA」となりますが、この2文字の最小超置換は「ABA」となります。「ABA」という最小超置換文字列には、「AB」と「BA」という2通りの組み合わせが内包されています。

また、A・B・Cという3要素の組み合わせは「ABC」「ACB」「BAC」「BCA」「CAB」「CBA」の6通り。そして3文字の最小超置換は「ABCABACBA」という9文字の文字列となります。「ABCABACBA」という文字列には、6通りの組み合わせが全て内包されています。

この最小超置換の文字列の長さは、要素が増えるごとに爆発的に増えると考えられています。記事作成時点では、最小超置換の文字数は4要素までしか判明していません。最小超置換問題とは、要素の数を「n」と置いたときに最小超置換の文字列の定式化とその証明を求めるというものでした。

この問題が論文で提起されたのは1993年のことでしたが、25年以上かけてこの問題が解決されることはありませんでした。しかし、4chanの数学フォーラムで、nを14とするハルヒ問題の解法をきっかけに証明が投稿され、論文という形式ではないものの、最小超置換問題の解決の糸口となるのではと世界中の数学者から注目を集めてました。

マケット大学の数学者であるジェイ・パントーン氏は、当初この投稿の内容に懐疑的でしたが、この投稿を元にした論文(PDFファイル)を発表しています。パントーン氏によると、「涼宮ハルヒの憂鬱」のエピソードを全組合せで視聴するには少なくとも939億2423万411話のエピソードを見る必要があるとのこと。

また、コンピュータ科学者のロビン・ヒューストン氏は以前から最小超置換問題に取り組んでいた数学者で、ハルヒ問題を皮切りに数学の難問が解き明かされようとしていることについて「興味深い状況だ」と興奮しています。
38：とはずがたり：2018/11/03(土) 10:47:50: https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13177138543
素数の全ての積は4π^2になる。ということがよく分かりません。

回答)

実は、これは一種の詭弁です。

とりあえず証明します。

(略)

しかし，「解析接続」という手法を使うことによって，

"2×3×5×7×11×13×…"=4π2

が成り立ってしまうことをこれから証明していこうと思う．

(略)

2×3×5×7×11×…=4π2
という書き方は、本当は間違いです。

左辺は、2×3×5×7×11×....→素数の無限積を解析接続したもの
です。

読者をびっくりさせるためにこのような記述をする場合があるということです。

同じように

自然数の無限和　1+2+3+.... =-1/12
や
自然数の2乗和　1+4+9+16+....=0
というものもあります。
これもまた、「解析接続」をした計算です。
「普通の和」ではありません
39：とはずがたり：2018/11/03(土) 10:50:02: ！？┐('～`；)┌

解析接続
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%8E%A5%E7%B6%9A

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。
出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（2015年7月）
解析学において、解析接続 (かいせきせつぞく、英: analytic continuation, analytic prolongation) とはリーマン球面 C 上の領域で定義された有理型関数に対して定義域の拡張を行う手法の一つ、あるいは、その拡張によって得られた関数の事である。

定義
ここでは、有理型関数の解析接続を定義する。正則関数に限って定義することもあるが、有理型関数は、分母分子ともに正則関数である分数で表されるような関数なので、有理型関数の解析接続の定義は、正則関数の解析接続の定義も含んでいる。正則関数で定義する場合はローラン級数の代わりに、テイラー級数を用いる。

関数要素
リーマン球面 C の領域 D において定義された有理型関数 f(z) は任意の w ∈ D においてローラン展開が可能であり k を整数として

{\displaystyle f_{w}(z)=\sum _{n=k}^{\infty }a_{n}(z-w)^{n}} f_w(z) = \sum_{n=k}^{\infty} a_n (z-w)^{n}
という級数と同一視できる。
40：とはずがたり：2018/11/03(土) 10:50:32: >>39

解析接続
fm(z) は、複素平面の領域 Dm を定義域とする有理型関数とする。

D1 ∩ D2 が空でないとし、その連結成分の一つ P1 を取る。 f1 と f2 の w ∈ P1 での関数要素が等しいとき、連結成分 P1 全体で f1(z) ≡ f2(z) となる。このとき f2(z) を f1(z) の直接解析接続(direct analytic continuation) あるいは単に直接接続(direct continuation) という。
41：とはずがたり：2018/11/03(土) 11:04:12: >やっていることとしては、かなり乱暴に言うと、こういうことに似ています。例えば、1+x+x^2+x^3+…というのは、xの絶対値が1より小さい場合、1/(1-x)と一致します。ここにむりやりx=2として「1+2+4+8+…=-1」としているようなものです。
むむう！

2014/12/08 08:08
「1+2+3+4+…=-1/12」をわかったつもりになる
https://nakaken88.com/2014/12/08/080818

様々な総和法を用いることで、上記のごとき発散級数にさえ有限な数値を割り当てることができ、特にゼータ函数正規化やラマヌジャン総和法では件の級数に ?1/12 を値として割り当てる。この事実をよく知られた公式1+2+3+4+…=-1/12として式に表す。

1+2+3+4+…
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
https://ja.wikipedia.org/wiki/1%2B2%2B3%2B4%2B%E2%80%A6

総和可能性について
様々知られた古典的な発散級数の中でも 1 + 2 + 3 + 4 + … は有限値へ持ち込むことが比較的難しい。発散級数に有限な数値を割り当てる総和法は多数存在するが、それらの中には総和法としての強さが比較可能なものがある。例えば、チェザロ総和法は緩やかに発散するグランディ級数 1 ? 1 + 1 ? 1 + … を
1
2
に総和することはよく知られているが、アーベル総和法はグランディ級数を 1/2 に総和するのみならず、より扱いの難しい級数 1 ? 2 + 3 ? 4 + … までも
1
4
に総和することができる。

これらの級数と異なり、1 + 2 + 3 + 4 + … はチェザロ総和可能でもアーベル総和可能でもない。これらの総和法が適用できるのは収束級数と振動級数に対してのみであり、+∞ に発散する級数については有限な値を生み出すことはできないのである[5]。そこでより発展的な総和法が必要になるのであるが、それは例えばゼータ関数正規化やラマヌジャン総和法である。だいたいそういった方法による経験論を用いて、この級数の値が ?
1
12
であると論ずることができる。

さて、「1+2+3+4+…=-1/12」についてですが、「わかりにくい概要」から書いていきましょう。「わかりやすい概要」ではありませんので注意してください。むしろ、ここは飛ばしてもいいくらいです。

この式の左辺はゼータ関数の解析接続前の姿であり、右辺はゼータ関数の解析接続後の姿です。解析接続の前後で中身は変わっているため、両辺は一致しません。しかし、解析接続の前と後を比べたとき、両者にはとても密接な関係があります。なので、「等式」にしてしまっている。これが概要です。

しかし、この数式の説明は、出てくる用語を解説するだけではダメです。「両辺が一致しているわけではないのに、両辺を等式で結ぶ」ということについて触れなければなりません。これがかなりやっかいだと個人的には思っています。

「違うのに等しいとする」。回答時にこれをどう表現するかを悩んだのですが、そういえば複素数も似たようなことをやっているのではないか、と後日思いついたんですよね。

やっていることとしては、かなり乱暴に言うと、こういうことに似ています。例えば、1+x+x^2+x^3+…というのは、xの絶対値が1より小さい場合、1/(1-x)と一致します。ここにむりやりx=2として「1+2+4+8+…=-1」としているようなものです。

もちろん、これを本気で言うのはただのバカです（そもそもx=2のときには、上の和は1/(1-x)に収束しないからです）。しかし、これが複素解析という分野の話になると、少し事情が異なってきます。複素解析では、一部で定義した関数を拡張して考える、というのはとても自然な発想なんです。本題に入るまえに、ちょっと長いですが複素解析の話を簡単に書きます。
42：とはずがたり：2018/11/03(土) 12:03:11: どうやら一致定理とやらを調べる必要がありそう。。なんで一分で一致してたら全部一致してんだよ？可怪しいやろ。
>>41
複素解析とは、複素数の関数に対して微分や積分を考える分野です。基本的には実数の関数のときと似ているのですが、複素関数の微分というのは、実数の関数の微分より条件が厳しいんです。

微分というのは、ざっくりいうと「xをちょっと動かしたときにf(x)がどれだけ動くか」という比率を表したものですが、実数の場合、直線なのでxの動かし方が大小2方向しかありません。しかし複素数の場合は平面なので、動かし方がたくさんあるんですよね。上下左右に加え、斜めもあるし、回転しながらもありえる。どんな動かし方をしても、収束値が1つにならないと微分可能とはいえません。なので、「実数の世界で微分可能」というのと「複素数の世界で微分可能」というのは、ぜんぜん厳しさが違うんです。

＜いわゆる一致の定理の説明＞
「複素数の世界で微分可能」という条件が厳しすぎるため、次のような不思議なことが成り立ってしまいます：「微分可能な2つの複素関数が、一部分で一致していたら、全体でも一致している（ざっくり表現）」(←！？)。他にも不思議なことが成り立つのですが、このようにもはや「実数の世界の微分可能」とは全く違うため、「複素数の世界で微分可能」な関数には「正則関数」という新たな名前がついているくらいです。

「2つの正則関数が部分的に一致⇒全体でも一致」を使えば、「正則な関数の定義域を正則のまま広げて得られる関数は1つしかない」ということがわかります。なので、できる限り広げたくなるし、広げた後は新しい関数に置き換えて考えていこう、という発想になります。

Σn^(-s)　（nはすべての自然数を走る、sは任意の複素数）

これには「ゼータ関数」という名前がついていて、ζ(s)と表します。ちなみに、ζ(-1)というのが、「1+2+3+4+…」と一致しているわけですね（この時点では）。

このゼータ関数は、sの実部が1以下の場合は発散しますが、それ以外では収束します。そこで、その収束する部分に対しては収束値を計算し、次に上述の解析接続をするんですね。収束している領域では一致していて、かつ、正則な関数というのは1個しかないので、「発散している領域に対しては、その正則な関数で上書きする」ということです。

つまり、ζ(-1)はもともと発散していたんだけれども、解析接続によってζ(-1)が定義できるようになったんです（正則なまま拡張する、という条件で広げているので定義できるようになった）。複素解析の世界では、この新しい関数をゼータ関数だと思い直して扱うんです。もちろん、もともと発散していた領域に対しては、中身は違っているんですよね。

この新しいゼータ関数でのζ(-1)は、特殊な計算をすると-1/12と計算できるんですね。ただ、このζ(-1)を「1+2+3+4+…」と書いちゃうのは、厳密に言えば間違っているんです。解析接続した後は、式も変わっているはずだからです。

しかし、複素解析を学んだ人たちにとっては、解析接続をするのは自然なことだし、ゼータ関数が上のように解析接続して得られた関数であることも知っています。なので、「1+2+3+4+…=-1/12」と書いただけで、「あぁ、Σn^(-s)を解析接続してs=-1を入れた値が-1/12なんだな」とわかるんですね。

ちなみに、「無理やり」-1/12となる計算も書いておきましょう。上のように解析接続をすることには意味はありますが、次の式変形にはあまり意味はないです。その点ご注意ください。

まず、xの絶対値が1未満なら次が成り立ちますね。等比級数の和です。
1+x+x^2+… = 1/(1-x)

これをxの関数だと思って、両辺微分するとこうなります。
1+2x+3x^2+… = 1/(1-x)^2

上の式は、x=-1の時は成り立ちませんが、「無理やり」代入します。
1-2+3-4+5-… = 1/4

ここで左辺を「1+2+3+4+…」が無理やり出てくるように変形します。よくみると、偶数の箇所だけ符号が違うので、そこだけひけばいいですね。
1-2+3-4+…
= (1+2+3+4+…) -2×(2+4+6+…)
= (1+2+3+4+…) -4×(1+2+3+…)
= -3×(1+2+3+4+…)

これが上の式の右辺1/4に一致するので、1+2+3+4+…は-1/12と「無理やり」計算できます。しかし、何回も書きますが、数学的にはこの式変形は意味がないです。発散する式に値を代入しているからです。ただ、分かったつもりにはなるかもしれません。。「無理やり」というのは、「数学的には正しくないけど、形式的に式変形をする」という意味です。